请问巫师 #348
两座城市，方特勒罗伊和索思沃思，横跨一条海峡。两艘渡轮整天往返于两座城市之间。两艘渡轮以不同的速度航行。它们同时从两座城市出发。
他们第一次过河是在距离Southworth 5英里的地方。第二次过河是在距离Fauntleroy 3英里的地方。假设没有时间装卸货物，但两辆车都立即掉头。同时假设他们沿直线行驶。
这两个城市相距多远？
[spoiler=解决方案] 令 t 1 = 第一次穿越的时间
令t2 = 第二次穿越的时间
r = 渡轮最初离开 Fauntleroy 的速度与渡轮最初离开 Southworth 的速度之比。
c = 两座城市之间的海峡距离。
已知他们第一次过河的地点距离Southworth有5英里。用公式来表达：
c-5 = r*t 1
5 = t 1
使 t 1相等，我们得到：
c-5 = 5r，或 r = (c-5)/5
我们还已知，他们第二次过河时，距离方特勒罗伊有3英里。用公式来表达：
3c-3 = r*t 2
c+3 = t2
使 t 2相等，我们得到：
2c - 3 = r*(c+3)
代入 r=(c-5)/5
2c-3 = [(c-5)/5] * (c+3)
10c - 15 = c^2 - 2c - 15
c^2 - 12c = 0 c - 12 = 0 c = 12
因此，该水道长 12 英里。
[剧透]如果在无骰子掷骰子游戏中提供 Fire Bet，那么获胜的概率是多少？
提醒一下，在无骰子掷骰子游戏中，2、3、11 和 12 不会立即决定通过线投注，但会被视为点数，就像 4、5、6、8、9 和 10 一样。
我的解决方案的第一步需要计算通过线投注的任何给定结果的概率，如下所示。
无废话掷骰子可能的结果
| 事件 | 公式 | 可能性 | 分数 |
|---|---|---|---|
| 出来滚 | 1/6 | 0.166667 | 1/6 |
| 2分获胜 | （1/36）*（1/7） | 0.003968 | 1/252 |
| 3分获胜 | （2/36）*（2/8） | 0.013889 | 1/72 |
| 4分获胜 | （3/36）*（3/9） | 0.027778 | 1/36 |
| 5分获胜 | （4/36）*（4/10） | 0.044444 | 2/45 |
| 6分获胜 | （5/36）*（5/11） | 0.063131 | 25/396 |
| 8分获胜 | （5/36）*（5/11） | 0.063131 | 25/396 |
| 9分获胜 | （4/36）*（4/10） | 0.044444 | 2/45 |
| 10分获胜 | （3/36）*（3/9） | 0.027778 | 1/36 |
| 11分获胜 | （2/36）*（2/8） | 0.013889 | 1/72 |
| 12分获胜 | （1/36）*（1/7） | 0.003968 | 1/252 |
| 2分损失 | （1/36）*（6/7） | 0.023810 | 1/42 |
| 3分损失 | （2/36）*（6/8） | 0.041667 | 1/24 |
| 4分损失 | （3/36）*（6/9） | 0.055556 | 1/18 |
| 5分损失 | （4/36）*（6/10） | 0.066667 | 1/15 |
| 6分损失 | （5/36）*（6/11） | 0.075758 | 5/66 |
| 8分损失 | （5/36）*（6/11） | 0.075758 | 5/66 |
| 9分损失 | （4/36）*（6/10） | 0.066667 | 1/15 |
| 10分损失 | （3/36）*（6/9） | 0.055556 | 1/18 |
| 11分损失 | （2/36）*（6/8） | 0.041667 | 1/24 |
| 12分损失 | （1/36）*（6/7） | 0.023810 | 1/42 |
如果将所有输的方式加起来，您将得到 7303/13860 = 约 0.526912。
我解决这个问题的下一步是运用微积分。它基于这样一个事实：如果过线投注结算间隔一段随机时间，答案将保持不变。我们将投注结算间隔的平均时间为1，并服从指数分布，这意味着它具有无记忆性。
让 x 代表射手开始射击以来的时间。
投掷者未获得 2 分胜利的概率为 exp(-x/252)。因此，获得至少一次 2 分胜利的概率为 1-exp(-x/252)。
投手未获得3分胜利的概率是exp(-x/72)。因此，获得至少一次3分胜利的概率是1-exp(-x/72)。
投手没能获得4分胜利的概率是exp(-x/36)。因此，至少获得一次4分胜利的概率是1-exp(-x/36)。
投手未获得 5 分胜利的概率为 exp(-2x/45)。因此，获得至少一次 5 分胜利的概率为 1-exp(-2x/45)。
投手没能获得6分胜利的概率是exp(-2x/45)。因此，至少获得一次6分胜利的概率是1-exp(-x/72)。
请注意，这些概率对于 8 到 12 是相同的，因此我们可以对它们进行平方，以表明它们各自实现了两次。
射手没有失败的概率是 exp(-7303x/13860)。
输的概率是7303/13860。
我们可以通过从 t = 0 到无穷大积分来解决这个问题，即所有获胜要求都已满足、失败结果尚未满足以及给定赌注的失败概率已经解决的乘积的概率。
被积分的函数是 exp(-7303x/13860)*(1-exp(-x/252))^2*(1-exp(-x/72))^2*(1-exp(-x/36))^2*(1-exp(-2x/45))^2*(1-exp(-25x/396))^2*(7303/13860)。
将其输入积分计算器，例如integral-calculator.com上的那个。记住输入从 0 到无穷大的极限。答案就是上面的答案。
[剧透]感谢您对“必须击中”累进牌的分析。我的问题是，您计算出牌生命值的公式是假设玩家立即获得优势，还是假设一开始可能略微不利，但随着玩家对计量表的贡献，很快就会转为有利？
好问题。之前它给出了一个针对“短期”玩家的公式，其中第一次下注的累积奖金必须为正。
然而，对于那些能够坚持玩到中大奖的长期玩家来说，他们的生命值较低。我更新了页面，添加了针对这两类玩家的公式。简而言之，这两个公式如下：
j（短期）= m × (1-f)/(1-f+r)
j（长期）= m × (1-fr)/(1-f+r)
在哪里：
j = 盈亏平衡累积奖金大小（庄家优势为 0%）
f = 所有固定奖金加上老虎机俱乐部积分和奖励的价值。
m = 最大累积奖金（必须击中的点数）
n = 最低累积奖金（重新播种点）
r = 米上升率
你想玩一个需要普通六面骰子的游戏。很遗憾，你把骰子弄丢了。不过，你有四张索引卡，你可以随意标记。玩家必须从这四张卡中随机选择两张，不能重复，然后计算两张卡的点数之和。
如何给卡片编号，使得两张不同卡片的总和代表掷骰子的次数？
[剧透=答案]
给它们编号为 0、1、2 和 4。
从四张牌中抽出两张的方法有以下六种。
- 0+1=1
- 0+2=2
- 1+2=3
- 0+4=4
- 1+4=5
- 2+4=6
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。