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请问巫师 #340

如果赌场将平局赌注的赢率从通常的 8 比 1 提高到 9 比 1，那么它需要在平局上额外下注多少才能获得相同的预期赢率？

dandolos2000

百家乐平局的概率是0.095155968。

在通常的 8 比 1 的胜率下，玩家的预期回报为 0.095156 × (8+1) - 1 = -0.143596。

当获胜比例为 9 比 1 时，玩家的预期回报为 0.095156 × (9+1) - 1 = --0.048440。

当赢利为 8 比 1 时，预期玩家损失将高出 0.143596/0.048440 = 2.9643960 倍。因此，如果赌场将赢利提高到 9 比 1，则赌场需要对平局采取 2.9643960 倍的行动，才能使预期赌场赢利保持不变。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

假设一个箱子里有100个球，编号从1到100。随机抽取10个球，不重复。抽取的最小球的平均编号是多少？

ThatDonGuy

下表显示了组合数、概率以及对最低球的贡献（球与概率的乘积）。右下角单元格显示预期最低球为 9.1818182。

最低球

最低
球		组合可能性预期的
低球
1 1,731,030,945,644 0.100000 0.100000
2 1,573,664,496,040 0.090909 0.181818
3 1,429,144,287,220 0.082560 0.247681
4 1,296,543,270,880 0.074900 0.299600
5 1,174,992,339,235 0.067878 0.339391
6 1,063,677,275,518 0.061448 0.368686
7 961,835,834,245 0.055564 0.388950
8 868,754,947,060 0.050187 0.401497
9 783,768,050,065 0.045278 0.407498
10 706,252,528,630 0.040800 0.407995
11 635,627,275,767 0.036720 0.403915
12 571,350,360,240 0.033006 0.396076
十三512,916,800,670 0.029631 0.385199
14 459,856,441,980 0.026565 0.371917
15 411,731,930,610 0.023785 0.356780
16 368,136,785,016 0.021267 0.340271
17 328,693,558,050 0.018988 0.322801
18 293,052,087,900 0.016929 0.304728
19 260,887,834,350 0.015071 0.286354
20 231,900,297,200 0.013397 0.267933
21 205,811,513,765 0.011890 0.249680
22 182,364,632,450 0.010535 0.231771
23 161,322,559,475 0.009319 0.214347
24 142,466,675,900 0.008230 0.197524
二十五125,595,622,175 0.007256 0.181388
二十六110,524,147,514 0.006385 0.166007
二十七97,082,021,465 0.005608 0.151425
二十八85,113,005,120 0.004917 0.137673
二十九74,473,879,480 0.004302 0.124766
三十65,033,528,560 0.003757 0.112708
31 56,672,074,888 0.003274 0.101491
三十二49,280,065,120 0.002847 0.091100
33 42,757,703,560 0.002470 0.081512
三十四37,014,131,440 0.002138 0.072701
三十五31,966,749,880 0.001847 0.064634
三十六27,540,584,512 0.001591 0.057276
三十七23,667,689,815 0.001367 0.050589
三十八20,286,591,270 0.001172 0.044534
三十九17,341,763,505 0.001002 0.039071
40 14,783,142,660 0.000854 0.034160
41 12,565,671,261 0.000726 0.029762
四十二10,648,873,950 0.000615 0.025837
43 8,996,462,475 0.000520 0.022348
四十四7,575,968,400 0.000438 0.019257
45 6,358,402,050 0.000367 0.016529
46 5,317,936,260 0.000307 0.014132
四十七4,431,613,550 0.000256 0.012032
四十八3,679,075,400 0.000213 0.010202
49 3,042,312,350 0.000176 0.008612
50 2,505,433,700 0.000145 0.007237
51 2,054,455,634 0.000119 0.006053
52 1,677,106,640 0.000097 0.005038
53 1,362,649,145 0.000079 0.004172
54 1,101,716,330 0.000064 0.003437
55 886,163,135 0.000051 0.002816
56 708,930,508 0.000041 0.002293
57 563,921,995 0.000033 0.001857
58 445,891,810 0.000026 0.001494
59 350,343,565 0.000020 0.001194
60 273,438,880 0.000016 0.000948
61 211,915,132 0.000012 0.000747
62 163,011,640 0.000009 0.000584
63 124,403,620 0.000007 0.000453
64 94,143,280 0.000005 0.000348
65 70,607,460 0.000004 0.000265
66 52,451,256 0.000003 0.000200
67 38,567,100 0.000002 0.000149
68 28,048,800 0.000002 0.000110
69 20,160,075 0.000001 0.000080
70 14,307,150 0.000001 0.000058
71 10,015,005 0.000001 0.000041
72 6,906,900 0.000000 0.000029
73 4,686,825 0.000000 0.000020
74 3,124,550 0.000000 0.000013
75 2,042,975 0.000000 0.000009
76 1,307,504 0.000000 0.000006
77 817,190 0.000000 0.000004
78 497,420 0.000000 0.000002
79 293,930 0.000000 0.000001
80 167,960 0.000000 0.000001
81 92,378 0.000000 0.000000
82 48,620 0.000000 0.000000
83 24,310 0.000000 0.000000
84 11,440 0.000000 0.000000
85 5,005 0.000000 0.000000
86 2,002 0.000000 0.000000
87 715 0.000000 0.000000
88 220 0.000000 0.000000
89 55 0.000000 0.000000
90 10 0.000000 0.000000
91 1 0.000000 0.000000
全部的17,310,309,456,440 1.000000 9.181818

有一种更简单的方法可以解决这类问题，其中最低球的值为 1。最低球的公式是 (m+1)/(b+1)，其中 m 是球的最大值，b 是球的数量。在本例中，m=100，n=10，所以最低球的值为 101/11 = 9.181818。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

以下谜题出现在 2021 年 3 月 6 日的《纽约时报》上。

规则非常简单：

  1. 每行、每列和每个区域必须恰好有两颗星。
  2. 任何两颗星星都不能相接，即使是对角线也不行。

您能帮忙解决一下吗？

anonymous

这道题叫做“Two not Touch”谜题。下面的按钮显示了我的答案和答案。

[剧透=答案]

两个不接触解决了

[剧透]

这是我的解决方案（PDF）。

一个公平的六面骰子，如果任意一面掷出六次，预期掷出的次数是多少？

Ace2

单击下面的按钮查看我的答案。

答案是 2597868106693535971 / 131621703842267136 = 近似值：19.73738396371749

这是我的解决方案（PDF）。