请问巫师 #339
我在第55届超级碗比赛中看到一个赌注，赌这场比赛是否会以NFL历史上从未出现过的独特比分组合结束，这个赌注叫做“Scorigami”。赔率如下：
是：+1100
编号：-1400
您认为赔率是多少？
好问题！好在有NFL Scorigami可以告诉我们 NFL 历史上所有比分组合的次数。
我确信频率论者会讨厌我的答案，但我必须做出一些假设才能得到从未发生过的事件的概率。
首先，为了得到单支球队的得分，我查阅了NFL的历史比赛。特别是1994年至2018年之间的比赛。我选择1994年的原因是，两分转换规则从那一年开始实施，这应该会使单支球队的得分分布稍微平滑一些。我选择2018年作为结束日期，因为那是我目前掌握的数据中上限。下图是当时的分布情况。
1994-2018 年 NFL 球队个人得分
| 积分 | 数数 | 可能性 |
|---|---|---|
| 0 | 170 | 0.013490 |
| 1 | 0 | 0.000000 |
| 2 | 2 | 0.000159 |
| 3 | 303 | 0.024044 |
| 4 | 0 | 0.000000 |
| 5 | 5 | 0.000397 |
| 6 | 267 | 0.021187 |
| 7 | 420 | 0.033328 |
| 8 | 二十九 | 0.002301 |
| 9 | 188 | 0.014918 |
| 10 | 706 | 0.056023 |
| 11 | 三十二 | 0.002539 |
| 12 | 123 | 0.009760 |
| 十三 | 646 | 0.051262 |
| 14 | 530 | 0.042057 |
| 15 | 128 | 0.010157 |
| 16 | 434 | 0.034439 |
| 17 | 892 | 0.070782 |
| 18 | 91 | 0.007221 |
| 19 | 282 | 0.022377 |
| 20 | 860 | 0.068243 |
| 21 | 511 | 0.040549 |
| 22 | 189 | 0.014998 |
| 23 | 548 | 0.043485 |
| 24 | 821 | 0.065148 |
| 二十五 | 118 | 0.009364 |
| 二十六 | 267 | 0.021187 |
| 二十七 | 673 | 0.053404 |
| 二十八 | 382 | 0.030313 |
| 二十九 | 131 | 0.010395 |
| 三十 | 336 | 0.026662 |
| 31 | 578 | 0.045866 |
| 三十二 | 61 | 0.004841 |
| 33 | 146 | 0.011585 |
| 三十四 | 394 | 0.031265 |
| 三十五 | 200 | 0.015870 |
| 三十六 | 71 | 0.005634 |
| 三十七 | 163 | 0.012934 |
| 三十八 | 265 | 0.021028 |
| 三十九 | 三十 | 0.002381 |
| 40 | 50 | 0.003968 |
| 41 | 146 | 0.011585 |
| 四十二 | 78 | 0.006189 |
| 43 | 二十五 | 0.001984 |
| 四十四 | 58 | 0.004602 |
| 45 | 85 | 0.006745 |
| 46 | 7 | 0.000555 |
| 四十七 | 16 | 0.001270 |
| 四十八 | 四十七 | 0.003730 |
| 49 | 三十五 | 0.002777 |
| 50 | 5 | 0.000397 |
| 51 | 15 | 0.001190 |
| 52 | 14 | 0.001111 |
| 53 | 1 | 0.000079 |
| 54 | 4 | 0.000317 |
| 55 | 6 | 0.000476 |
| 56 | 6 | 0.000476 |
| 57 | 2 | 0.000159 |
| 58 | 3 | 0.000238 |
| 59 | 5 | 0.000397 |
| 60 | 0 | 0.000000 |
| 61 | 0 | 0.000000 |
| 62 | 2 | 0.000159 |
| 全部的 | 12602 | 1.000000 |
虽然这并不重要，但团队平均得分是 21.60165。
其次，对于每个从未发生过的比分 xy，我计算其概率为 2×prob(x)×prob(y)。为什么要乘以 2？因为 xy 的比分可能有两种结果。例如，第 55 届超级碗的最终结果可能是堪萨斯城 x -- 坦帕湾 y，或者堪萨斯城 y -- 坦帕湾 x。超级碗可能不会以平局结束，所以我们不需要关心 xx 的比分。如果我们关心的话，就不会乘以 2。
例如，11-15分的成绩从未发生过。我将11分的概率设为0.002539，将15分的概率设为0.010157。这样，11-15分的概率就是2×0.002539×0.010157 = 0.0000515835。
对每个从未发生过的比分都进行同样的计算，总概率为 0.0179251。公平投注赔率应该是 +5479，也就是 55 比 1。所以，只投注 11 比 1 的赔率就很不错了！真希望我能用上这个方法。
我承认，这意味着两队各得一分的可能性为零，虽然这种情况从未发生过，但确实有可能。没错，确实存在“一分安全”的情况。但我认为两队各得一分的概率微乎其微。
实际上，第55届超级碗的胜负比分是56.5。如此高的比分肯定会增加“Scorigami”的概率。如果非要估算的话，我会把它定为2%，也就是49比1的公平赔率。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
掷 15 个骰子，点数总和为 53 的概率是多少？
[剧透=解决方案]
有一种简单的方法可以在电子表格中得到这样的答案。为了说明这一点，我们考虑另一个问题：用八个骰子掷出总点数 20 的概率是多少？
对于“1 个骰子”列，显然有一种方法可以将总数从 1 掷到 6。
对于每个包含两个或更多骰子的单元格，向左移动一个单元格，然后将该单元格上方的六个单元格相加。这样做的原理应该很明显。复制并粘贴此公式到包含八个骰子且总数为 20 的单元格中。
您可以看到单元格总数为 36,688。掷八个六面骰子共有 8 6 = 262,144 种方法。因此，八个骰子总点数为 20 的概率答案为 36688 / 262,144 = 0.139954。
使用相同的逻辑，20 个骰子总数为 53 的概率是 0.059511。
骰子总数
| 全部的 | 1天 | 2个骰子 | 3个骰子 | 4个骰子 | 5个骰子 | 6个骰子 | 7个骰子 | 8个骰子 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | 0 | |
| 8 | 5 | 21 | 三十五 | 三十五 | 21 | 7 | 1 | |
| 9 | 4 | 二十五 | 56 | 70 | 56 | 二十八 | 8 | |
| 10 | 3 | 二十七 | 80 | 126 | 126 | 84 | 三十六 | |
| 11 | 2 | 二十七 | 104 | 205 | 252 | 210 | 120 | |
| 12 | 1 | 二十五 | 125 | 305 | 456 | 462 | 330 | |
| 十三 | 21 | 140 | 420 | 756 | 917 | 792 | ||
| 14 | 15 | 146 | 540 | 1161 | 1667 | 1708 | ||
| 15 | 10 | 140 | 651 | 1666 | 2807 | 3368 | ||
| 16 | 6 | 125 | 735 | 2247 | 4417 | 6147 | ||
| 17 | 3 | 104 | 780 | 2856 | 6538 | 10480 | ||
| 18 | 1 | 80 | 780 | 3431 | 9142 | 16808 | ||
| 19 | 56 | 735 | 3906 | 12117 | 25488 | |||
| 20 | 三十五 | 651 | 4221 | 15267 | 36688 |
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
你是一名烟火技师，负责游乐园的夜间烟火表演。你收到了一些来自欧洲的新型烟花，正在测试其中一枚，以便让它与表演的音乐同步。
烟花火箭以4米²的恒定加速度垂直向上发射，直至化学燃料耗尽。随后，其上升速度在重力作用下减缓，直至达到138米的最大高度并爆炸。
假设没有空气阻力，重力加速度为每秒9.8米，火箭需要多长时间才能达到最大高度？
[剧透=解决方案]
让：
t = 火箭燃料耗尽后的时间。
r = 火箭燃料持续的时间。
我将用向上的方向来表示加速度。因此，火箭燃料燃尽后的加速度是-9.8。
提醒一下，加速度的积分是速度，速度的积分是位置。我们假设位置是相对于地面的。
当火箭首次发射时，我们已知加速度为 4。
取积分，r秒后火箭的速度等于4r。
对速度进行积分可以得出 2r 2的 r 秒后火箭的位置。
现在让我们看看火箭燃料烧完后会发生什么。
我们已知重力加速度为-9.8。
t时刻的重力速度为-9.8t。然而，它从火箭向上也有4r的速度。
设 v(t) = 时间 t 时的速度
v(t) = -9.8t + 4r
当 v(t) = 0 时，火箭将达到最大高度。让我们来解决这个问题。
v(t) = 0 = -9.8t + 4r
4r = 9.8t
t = 40/98 r = 20r/49。
换句话说，无论火箭燃料持续多长时间，火箭都会在其中的 20/49 时间内继续飞行。
我们还知道，在达到的最大高度行驶的距离是 138。
让我们对 v(t) 进行积分，得到行进距离的公式，我们将其称为 d(t)。
d(t) = -4.9t 2 + 4rt + c，其中 c 是积分常数。
正如我们已经证明的，当燃料耗尽时，火箭的行程为 2r 2 ，因此这必定是积分常数。由此可得：
d(t) = -4.9t² + 4rt + 2r²
我们知道在时间 20r/49 时达到了最大高度 138，因此让我们将 t=20r/49 代入方程来求解 r：
d((20r/49) = -4.9((20r/49) 2 + 4r(20r/49) + 2r 2 = 138
r2 *(-1960/2401 + 80/49 + 2) = 138
r2 = 49
r = 7
因此，火箭燃料可持续使用七秒。
我们已经知道火箭在这段时间内继续上升了 20/49，也就是 140/49 = 约 2.8571 秒。
因此，从发射到最大速度的时间为 7 + 140/49 = 483/49 = 约 9.8571 秒
[剧透]我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。