请问巫师 #336
南加州的莫龙戈赌场正在进行一项促销活动：如果庄家拿到硬 16 点，他们将支付 16 美元的奖金。这笔钱值多少钱？
这对玩家来说是个好消息！他们的网站没有详细说明，所以我假设它只适用于前两张牌。我从2018年10月的《当代二十一点》简报上看到，大多数牌桌都有以下规则：
- 庄家拿到软17
- 六副甲板
- 二十一点赔率为 3 比 2
- 允许分牌后加倍
- 允许重新分牌
我的二十一点庄家优势计算器显示，这些规则的庄家优势在连续洗牌的情况下为 0.55%，在切牌的情况下为 0.57%。
无论规则如何，前两张牌出现硬16的概率是6.51%。如果以6.51%的概率赢得16美元，那么每手牌价值1.04美元。我假设最低下注额为25美元，因为在新冠疫情期间，大多数赌场都提高了最低下注额。不计奖金，25美元下注，每手牌预期亏损为0.14美元。这意味着每手牌预期盈利为1.04美元 - 0.14美元 = 0.90美元。相对于下注金额，这意味着玩家优势为3.59%！
如果我们假设一个好的情况，即以每小时 80 轮的速度玩三手 25 美元的牌，那么预计每小时赢利将达到 216 美元！
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
有一块 5x5 的钉板和 3 个钉子。三个随机放置的钉子形成三角形的概率是多少？
[剧透=解决方案]
首先，对于钉子来说，有 combin(25,3) = 2,300 种可能的组合。
这些组合中有多少种可以组成三角形？让我们用这个棋盘来帮忙：
首先，棋盘有五行、五列和两条对角线。对于其中任意一条对角线，棋子排列成一条直线的方式有 (5,3) = 10 种组合方式。因此，这样一共有 12*10 = 120 种组合方式。
其次，有四种方法可以将一行/列的中心方块连接到相邻行/列的中心方块。换句话说，这三种放置方式：
- A3、B4、C5
- C5、D4、E3
- E3、D2、C1
- C1、B2、A3
所以，现在是 120 + 4 = 124
第三，有四条不同的对角线，即四个空间：
- A2、B3、C4、D5
- B5、C4、D3、E2
- E4、D3、C2、B1
- D1、C2、B3、A4
对于每个棋子，有(4,3)=4种组合方式来放置三个棋子。这样一来，棋子总数就增加了4*4 = 16。
我们现在有 124+16 = 140
第四，考虑一下国际象棋中骑士的移动方式，在2x1的L形棋盘中。骑士在每个角上有两种移动方式。在所有这些方式中，骑士都可以沿着第一步形成的直线再次移动。所以，还有4*2 = 8种移动方式：
- A1、C2、E3 A1、B3、C5
- A5、B3、C1
- A5、C4、E3
- E5、C4、A3
- E5、D3、C1
- E1、D3、C5
- E1、C2、A3
还有四条这样的骑士线穿过中心：
- A2、C3、E4
- A4、C3、E2
- B5、C3、D1
- D5、C3、B1
加上 12 条骑士线，我们得到 140+12= 152
如果总共有 2,300 种组合，其中 152 种形成线条，那么 2300-152 = 2,148 种组合不会形成线条，因此会形成三角形。
因此，我们的答案是 2,148/2,300 = 93.39%。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
我找到了一款四副牌的西班牙式21点游戏，分牌后如果出现A/10，赔率为3-2。这条规则值多少钱？
为了简单起见，我们假设不允许重新分牌。另外，西班牙21点使用48张西班牙牌，没有10。最后，请记住，在西班牙21点中，21点自动获胜。
即使没有这条规则，玩家也应该始终分牌。在四副西班牙牌游戏中，拿到一对 A 的概率是 combin(16,2)/combin(192,2) = 120/18336 = 0.65%。
每张A牌凑成10的概率为(4*12)/(48*12-2) = 48/190 = 25.26%。如果是两张A牌，那么凑成黑杰克的概率为2*48/190 = 96/190 = 0.5053。
每张黑杰克都会额外值半个单位。因此，该规则的价值为 (120/18336)*(96/190)*(1/2) = 0.17%。
即使有这条规则，玩家仍然不应该分牌，所以我们不必担心。所以，这条规则将赌场优势降低了0.17%。
有多少个独特的矩形，其周长的瓷砖数量等于内部的瓷砖数量？
[剧透=解决方案]
令 x 和 y 为内矩形的尺寸。
该矩形的面积是 x*y。
周长面积为 2x + 2y + 4
已知 xy = 2x+2y+4
xy-2x = 2y + 4
x(y-2) = 2y+4
x=(2y+4)/(y-2)
y 必须大于或等于 3。让我们看看当 y 值等于或大于 3 时 x 是多少。
如果 y = 3，则 x = 10
如果 y = 4，则 x = 6
如果 y = 5，则 x = 14/3
如果 y = 6，则 x=4
因此，3x10 和 4x6 是解。6x4 不是，因为它不是唯一解。随着 y 增大，x 会变小。就像 y 必须等于或大于 3 一样，x 也必须等于或大于 3。由于 x 的值随着 y 的增大而减小，因此 x 只有一个可能的值，即 x=3。但是，如果 x=3，则 y=10，这也不是唯一的解。
所以答案是2：内矩形有3x10和4x6个答案。如果你更喜欢用外矩形来计算答案，那么答案应该是5x12和6x8。
[/spoiler]我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。