请问巫师 #335
我在《维加斯巫师》杂志上读到您关于可逆皇家牌局的文章，它的回报率高达 105.22% 。这个回报率假设了最佳策略，包括牌序。如果我假设皇家牌局获胜率一般，回报率是多少？如果我使用普通的 6-5 Bonus Poker 策略（基本赔付表）呢？
假设策略无偏差，每60个皇家牌中会有1个连续出现。可逆皇家大奖的赔率为161,556/1。其他皇家牌的赔率为1800/1。因此，平均皇家牌中奖金额为(1/60)*161,556 + (59/60)*800 + 17,396/1。
如果我们假设所有皇室成员支付 17,396 并根据皇室胜利采取最佳策略，那么回报率将下降到 103.56%。
如果我们玩标准的 6-5 红利扑克策略，即基本支付表，那么回报率将进一步下降到 101.97%。
考虑坐标为 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) 的单位正方形。线 A 从 (0,0) 延伸到 (1,1)。线 B 从 (1,0) 延伸到 0.5,1。与线 A、B 和圆底相切的圆的半径是多少？
这个谜题出现在 2020 年 10 月版的门萨公报中。
[剧透=提示]tan(2x)=2tan(x)/(1-tan 2 (x))[/剧透]
这是我的解决方案（PDF）。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
如果卡片上只剩下 Yahtzee 类别，那么获得该类别的概率有多大？
为了方便不熟悉Yahtzee的读者，这个问题是问五个骰子掷三次，掷出五点的概率是多少。每次掷完后，你必须选择保留哪个骰子，以及重新掷哪个骰子。
[剧透=解决方案]
以下是第一次掷骰子或玩家掷出 4 个或 5 个骰子的任何掷骰子后可能出现的结果。
- 五张相同的牌 = 6*(1/6)^5 = 0.000772
- 四条 = (1/6)^3*(5/6)*4 = 0.015432
- 三条 = (1/6)^2*(5/6)^2*COMBIN(4,2) = 0.115741
- 两张相同的牌 = 4*(1/6)*(5/6)^3 = 0.385802
- 独一无二 = 6*5!/6^5 = 0.092593
以下是持有一对后的概率。
- 五张相同的牌 =(1/6)^3 = 0.004630
- 四张相同的牌 = 3*(1/6)^2*(5/6) = 0.069444
- 三张同点牌 = 3*(1/6)*(5/6)^2+5*(1/6)^3 = 0.370370
- 两张相同的牌 = (5/6)^3-5*(1/6)^3 = 0.555555
以下是持有三张同点牌后的概率：
- 五张相同的牌 =(1/6)^3 = 0.002778
- 四张同点牌 = 2*(1/6)*(5/6) = 0.27778
- 三张相同的牌 = (5/6)^2 = 0.694444
以下是拿到四张同点牌后的概率：
- 五张相同的牌 =1/6 = 0.166667
- 四张同点牌 = 5/6 = 0.83333
根据这些进步的概率，以下是第二次掷骰子后每个状态的概率：
- 五张相同的牌 = 0.000772 + 0.015432*0.166667 + 0.115741*0.002778 + 0.385802*0.004630 + 0.092593* 0.000772 = 0.012631
- 四张相同的牌 = 0.015432*0.166667 + 0.115741*0.27778 + 0.115741*0.27778 = 0.116970
- 三张相同的牌 = 0.115741*0.694444 + 0.385802*0.370370 + 0.092593*0.115741 = 0.409022
- 两张相同的牌 = 0.385802*0.555555 + 0.092593*0.385802 = 0.450103
- 独一无二 = 0.092593 * 0.092593 = 0.008573
使用相同的前进概率，这是第三次掷骰子后赢得 Yahtzee 的概率：
五张相同的牌 = 0.012631 + 0.116970*(1/6) + 0.409022*(1/6)^2 + 0.450103*(1/6)^3 + 0.008573*(1/6)^4 = 0.046029。
对于那些喜欢矩阵代数的人来说，有一个转换矩阵：
| 0.092593 | 0.694444 | 0.192901 | 0.019290 | 0.000772 |
| 0.000000 | 0.555556 | 0.370370 | 0.069444 | 0.004630 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.694444 | 0.277778 | 0.027778 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.833333 | 0.166667 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 1.000000 |
如果上面的矩阵是M，那么掷三次之后的状态就是M3 ，如下：
| 0.000794 | 0.256011 | 0.452402 | 0.244765 | 0.046029 |
| 0.000000 | 0.171468 | 0.435814 | 0.316144 | 0.076575 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.334898 | 0.487611 | 0.177491 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.578704 | 0.421296 |
| 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 1.000000 |
右上角的单元格中可以找到三次掷骰子后获得 Yahtzee 的概率。
[剧透]看完《后翼弃兵》后，我注意到节目里没有一盘棋以平局结束。我以为高水平的国际象棋比赛有很多平局。对于大师级的国际象棋来说，平局的概率是多少？
根据 ChessBase.com 上的文章《国际象棋中的和棋次数增加了吗？》 ，作者周奇宇指出，在 78,468 场评分 2600 分或以上的选手（达到 2500 分才能成为大师）的比赛中，结果如下：
- 黑棋胜率：18.0%
- 白棋胜率：28.9%
- 平局：53.1%