请问巫师 #332

设 a(x) = 仅使用一分硬币和五分硬币赚取 x 美分的方法数，其中 x 可以被 5 整除。

a(x) = 1+(x/5)

换句话说，方法数就是找零中可能的五分硬币的数量，范围从 0 到 x/5。

设 b(x) = 仅使用 1 美分、5 美分和 10 美分硬币赚取 x 美分的方法数，其中 x 可以被 5 整除。

b(0)=1
b(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10)，其中 x>=10。

用简单的英语来说，赚取 x 美分的方法数是 (1) b(x-10) = 通过在每种方式中添加一角硬币赚取 x-10 美分的方法数和 (2) a(x) = 不使用一角硬币的方法数之和。

令 c(x) = 赚取 x 美分的方法数，仅使用 1 分硬币、5 分硬币、10 分硬币和 25 美分硬币，其中 x 可以被 25 整除。

c(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25)，其中 x>=25。

用简单的英语来说，赚取 x 美分的方法数是 (1) c(x-25) = 通过在每种方法上加 25 美分赚取 x-25 美分的方法数，以及 (2) b(x) = 不使用 25 美分赚取的方法数。

令 d(x) = 赚取 x 美分的方法数，仅使用 1 美分、5 美分、10 美分、25 美分和半美元，其中 x 可以被 50 整除。

d(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50)，其中 x>=50。

用简单的英语来说，得到 x 美分的方法数是 (1) d(x-50) = 通过在每种方法上加半美元得到 x-50 美分的方法数和 (2) c(x) = 不使用半美元的方法数之和。

下表显示了 x = 5 至 100 的这些值。

最后，加上 1 美元硬币，答案就是 292+1 = 293。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

您预计球落在 1 到 12 的次数为 3000*(12/38) = 947.37。

您的结果与预期之间的差异是 947.37 - 742 = 205.37。

方差为 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20。

标准差是方差的平方根 = sqrt(648.20) = 25.46。

您的结果比预期低 205.37/25.46 = 11.75 个标准差。

p 值，即偏离 11.75 个标准差或更多的概率是 28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 分之一。

我很想知道轮子在哪里。

让我们忽略拆分十，因为即使有此规则，玩家仍然应该在 20 时对抗任何数字。

假设有六副牌，一对 A 的概率为 combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0.5689%。

两张 A 牌能够发展成黑杰克的预期数量为 2*(16*6)/(312-2) = 0.619355。

庄家没有黑杰克的概率是 1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95.590354%。

庄家拿到21点的概率是7.7981%。这其中的数学原理太复杂，难以解释。

该规则有用的概率是 0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044%。

每次事件的收益 = Pr(庄家未拿到 21 点) * (0.2) + Pr(庄家拿到 21 点) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778。

该规则的总体收益是情况发生的频率与发生时的收益的乘积 = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11%。

[剧透=答案]

骰子 1 = 1,2,2,3,3,4。
骰子 2 = 1,3,4,5,6,8。

恐怕我对这个问题的解决方案基本上是反复试验。

提醒一下，以下是提到的支付表：

不那么丑的小鸭子：1-2-3-4-4-10-16-25-200-800。
伊利诺伊州平分：1-2-3-4-4-9-15-25-200-800

接下来，这是“不那么丑小鸭”的回报表，遵循该游戏的最佳策略。

接下来，这是伊利诺伊州双骰子彩票的赔付表，使用了该赔付表的正确策略。右下角单元格显示赔付为0.989131。

下表显示了使用“不那么丑小鸭”组合和概率的赔付表，得出的“伊利诺伊双人赛”赔付表的回报率。右下角单元格显示回报率为0.989131。

错误成本是伊利诺伊 Deuces 的最佳回报（第二个表）减去使用 NSUD 策略的伊利诺伊 Deuces 的回报（第三个表）= 0.989131 - 0.989038 = 0.000093。