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请问巫师 #332

使用 1、5、10、25、50 美分和 1 美元的标准美国硬币，有多少种方法可以兑换 1 美元？

Gialmere

答案是 293。

[剧透=解决方案]

设 a(x) = 仅使用一分硬币和五分硬币赚取 x 美分的方法数，其中 x 可以被 5 整除。

a(x) = 1+(x/5)

换句话说，方法数就是找零中可能的五分硬币的数量，范围从 0 到 x/5。

设 b(x) = 仅使用 1 美分、5 美分和 10 美分硬币赚取 x 美分的方法数，其中 x 可以被 5 整除。

b(0)=1
b(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10)，其中 x>=10。

用简单的英语来说，赚取 x 美分的方法数是 (1) b(x-10) = 通过在每种方式中添加一角硬币赚取 x-10 美分的方法数和 (2) a(x) = 不使用一角硬币的方法数之和。

令 c(x) = 赚取 x 美分的方法数，仅使用 1 分硬币、5 分硬币、10 分硬币和 25 美分硬币，其中 x 可以被 25 整除。

c(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25)，其中 x>=25。

用简单的英语来说，赚取 x 美分的方法数是 (1) c(x-25) = 通过在每种方法上加 25 美分赚取 x-25 美分的方法数，以及 (2) b(x) = 不使用 25 美分赚取的方法数。

令 d(x) = 赚取 x 美分的方法数，仅使用 1 美分、5 美分、10 美分、25 美分和半美元，其中 x 可以被 50 整除。

d(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50)，其中 x>=50。

用简单的英语来说，得到 x 美分的方法数是 (1) d(x-50) = 通过在每种方法上加半美元得到 x-50 美分的方法数和 (2) c(x) = 不使用半美元的方法数之和。

下表显示了 x = 5 至 100 的这些值。

做出改变的方法

x斧头） b(x) c(x) d(x)
0 1 1 1
5 2 2 0
10 3 4 0
15 4 6 0
20 5 9 0
二十五6 12十三
三十7 16 0
三十五8 20 0
40 9二十五0
45 10三十0
50 11三十六49 50
55 12四十二0
60十三49 0
65 14 56 0
70 15 64 0
75 16 72 121
80 17 81 0
85 18 90 0
90 19 100 0
95 20 110 0
100 21 121 242 292

最后，加上 1 美元硬币，答案就是 292+1 = 293。

[/spoiler]

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

我追踪了双零轮盘赌的3000次旋转，因为前12个数字出现的次数似乎不如后20个数字出现的次数多。在这3000次旋转中，1到12范围内的数字出现了742次。这个概率是多少？

anonymous

您预计球落在 1 到 12 的次数为 3000*(12/38) = 947.37。

您的结果与预期之间的差异是 947.37 - 742 = 205.37。

方差为 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20。

标准差是方差的平方根 = sqrt(648.20) = 25.46。

您的结果比预期低 205.37/25.46 = 11.75 个标准差。

p 值，即偏离 11.75 个标准差或更多的概率是 28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 分之一。

我很想知道轮子在哪里。

我发现一款二十一点游戏，如果玩家分牌后拿到黑杰克，赔率为5赔6。不允许重新分牌。庄家黑杰克仍然胜过任何牌型，除了与自然牌玩家黑杰克的平局。如果庄家抽到21点，玩家分牌后拿到A和10即为赢。

Scrooge

让我们忽略拆分十，因为即使有此规则，玩家仍然应该在 20 时对抗任何数字。

假设有六副牌，一对 A 的概率为 combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0.5689%。

两张 A 牌能够发展成黑杰克的预期数量为 2*(16*6)/(312-2) = 0.619355。

庄家没有黑杰克的概率是 1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95.590354%。

庄家拿到21点的概率是7.7981%。这其中的数学原理太复杂，难以解释。

该规则有用的概率是 0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044%。

每次事件的收益 = Pr(庄家未拿到 21 点) * (0.2) + Pr(庄家拿到 21 点) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778。

该规则的总体收益是情况发生的频率与发生时的收益的乘积 = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11%。

你有两个骰子。你可以随意给两个骰子的每一面编号，只要每一面都是大于或等于1的整数即可。你可以在同一个骰子上重复相同的数字，并且可以随意增加点数。除了制作标准骰子外，如何给它们编号，使任何给定点数的概率都与标准骰子相同？

anonymous

骰子 1 = 1,2,2,3,3,4。
骰子 2 = 1,3,4,5,6,8。

恐怕我对这个问题的解决方案基本上是反复试验。

如果我采用“伊利诺伊州双打”游戏中“不那么丑小鸭”的最佳策略，玩家失误的代价是多少？

anonymous

提醒一下，以下是提到的支付表：

不那么丑的小鸭子：1-2-3-4-4-10-16-25-200-800。
伊利诺伊州平分：1-2-3-4-4-9-15-25-200-800

接下来，这是“不那么丑小鸭”的回报表，遵循该游戏的最佳策略。

不那么丑的小鸭子——正确的策略

事件支付组合可能性返回
天然皇家同花顺800 458,696,304 0.000023 0.018409
四张 2 200 3,721,737,204 0.000187 0.037342
狂野皇家同花顺二十五38,006,962,464 0.001907 0.047668
五张相同的牌16 61,961,233,656 0.003108 0.049735
同花顺10 102,392,435,976 0.005137 0.051368
四条4 1,216,681,289,508 0.061038 0.244151
客满4 520,566,943,104 0.026116 0.104462
冲洗3 413,870,908,056 0.020763 0.062289
直的2 1,142,885,476,800 0.057336 0.114671
三条1 5,325,911,611,716 0.267188 0.267188
没有什么0 11,106,773,222,412 0.557199 0.000000
全部的19,933,230,517,200 1.000000 0.997283

接下来，这是伊利诺伊州双骰子彩票的赔付表，使用了该赔付表的正确策略。右下角单元格显示赔付为0.989131。

伊利诺伊州平分——正确策略

事件支付组合可能性返回
天然皇家同花顺800 459,049,128 0.000023 0.018423
四张 2 200 3,727,422,492 0.000187 0.037399
狂野皇家同花顺二十五38,117,987,136 0.001912 0.047807
五张相同的牌15 62,201,557,608 0.003120 0.046807
同花顺9 98,365,859,016 0.004935 0.044413
四条4 1,221,942,888,444 0.061302 0.245207
客满4 522,030,131,520 0.026189 0.104756
冲洗3 407,586,633,720 0.020448 0.061343
直的2 1,145,767,137,120 0.057480 0.114961
三条1 5,342,397,992,292 0.268015 0.268015
没有什么0 11,090,633,858,724 0.556389 0.000000
全部的19,933,230,517,200 1.000000 0.989131

下表显示了使用“不那么丑小鸭”组合和概率的赔付表，得出的“伊利诺伊双人赛”赔付表的回报率。右下角单元格显示回报率为0.989131。

伊利诺伊州平局——NSUD 策略

事件支付组合可能性返回
天然皇家同花顺800 458,696,304 0.000023 0.018409
四张 2 200 3,721,737,204 0.000187 0.037342
狂野皇家同花顺二十五38,006,962,464 0.001907 0.047668
五张相同的牌15 61,961,233,656 0.003108 0.046627
同花顺9 102,392,435,976 0.005137 0.046231
四条4 1,216,681,289,508 0.061038 0.244151
客满4 520,566,943,104 0.026116 0.104462
冲洗3 413,870,908,056 0.020763 0.062289
直的2 1,142,885,476,800 0.057336 0.114671
三条1 5,325,911,611,716 0.267188 0.267188
没有什么0 11,106,773,222,412 0.557199 0.000000
全部的19,933,230,517,200 1.000000 0.989038

错误成本是伊利诺伊 Deuces 的最佳回报（第二个表）减去使用 NSUD 策略的伊利诺伊 Deuces 的回报（第三个表）= 0.989131 - 0.989038 = 0.000093。