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请问巫师 #331

假设美国众议院所有435名有投票权的议员都参加了同一场Zoom会议，会议安排在上午9点至10点进行。然而，他们无需参加整个会议，只需参加其中的一部分即可。每位议员都会随机选择一个确切的时间，在一小时的时间内加入和退出会议。那么，至少有一位议员在会议中与其他所有议员重叠的概率是多少？换句话说，在会议期间，他们可以看到其他所有议员的面孔，但不一定同时出现。

anonymous

点击下面的按钮获取答案。

[剧透=答案]2/3[/剧透]

这是我的解决方案（PDF）。

这个问题已在我的Wizard of Vegas论坛中提出并讨论过。

它改编自 FiveThirtyEight 上的谜题“ 你能参加世界上最大的 Zoom 会议吗？” 。

如果玩家已达到重新分牌的限制，并且允许抽牌分牌，则您的基本策略图表不会说明如何处理一对 A。

J.R. 来自 Las Vegas

几乎不可能找到一款允许抽牌分牌A，然后拿到一对A，最后达到分牌限制的二十一点游戏。尽管如此，我还是尽力解决最棘手的情况，并且承认我当时的基本策略表并没有说明在这种情况下该怎么做。

答案是要牌，但双倍除外，如果：

  • 庄家有 6 点明牌（任意数量的牌）
  • 发牌人有一副或两副牌，牌面为五点。

这是在各种此类情况下这种情况的预期值。

击中并加倍软 12 的期望值

甲板站立
软 17		经销商
明牌		打
电动汽车		双倍的
电动汽车		最好的
玩
1站立5 0.182014 0.215727双倍的
1打5 0.182058 0.215933双倍的
1站立6 0.199607 0.247914双倍的
1打6 0.201887 0.258415双倍的
2站立5 0.169241 0.170637双倍的
2打5 0.169339 0.171311双倍的
2站立6 0.192311 0.213109双倍的
2打6 0.194397 0.227011双倍的
4站立5 0.162849 0.148228打
4打5 0.162955 0.149183打
4站立6 0.18902 0.196249双倍的
4打6 0.19074 0.211466双倍的

预期值取自我的二十一点手持计算器。

在即将到来的2020年总统大选中，候选人至少需要获得多少比例的普选票才能获胜？假设所有候选人都投票，并且只投给两位候选人中的一位。

anonymous

答案是，候选人即使只获得 21.69% 的普选票，仍然能够获胜。

具体来说，下表显示了各州的人口和选举人票数。人口数据截至2019年，选举人票数则为2010年上次调整时的数据。提醒一下美国以外的读者，每个州还会额外获得两张选举人票。因此，人口较少的州对选举的影响力远大于人口较多的州。截至2020年大选，怀俄明州选民在总统选举中的影响力几乎是德克萨斯州选民的四倍。

根据规则，一位候选人可以在德克萨斯州、佛罗里达州、加利福尼亚州、北卡罗来纳州、纽约州、佐治亚州、亚利桑那州、弗吉尼亚州、俄亥俄州、宾夕法尼亚州、新泽西州和密苏里州获得100%的选票，并在其他每个州获得一半（少一票）的选票，从而获得总计257,085,170张普选票。与此同时，另一位候选人只能获得71,215,374张普选票，并以刚好所需的270张选举人票获胜。

下表按每张选举人票对应的人口（百万）进行细分（从少到多）。

选举团假设情景

状态人口选举
投票		百万人
每张选举人票		投票给A投票给 B
德克萨斯州28,995,881三十八1.311 - 28,995,881
佛罗里达21,477,737二十九1.350 - 21,477,737
加利福尼亚州39,512,223 55 1.392 - 39,512,223
北卡罗来纳州10,488,084 15 1.430 - 10,488,084
纽约19,453,561二十九1.491 - 19,453,561
乔治亚州10,617,423 16 1.507 - 10,617,423
亚利桑那7,278,717 11 1.511 - 7,278,717
弗吉尼亚州8,535,519十三1.523 - 8,535,519
俄亥俄州11,689,100 18 1.540 - 11,689,100
宾夕法尼亚州12,801,989 20 1.562 - 12,801,989
科罗拉多州5,758,736 9 1.563 2,879,369 2,879,367
华盛顿7,614,893 12 1.576 3,807,447 3,807,446
新泽西州8,882,190 14 1.576 - 8,882,190
伊利诺伊州12,671,821 20 1.578 6,335,911 6,335,910
马萨诸塞州6,949,503 11 1.583 3,474,752 3,474,751
密歇根州9,986,857 16 1.602 4,993,429 4,993,428
田纳西州6,833,174 11 1.610 3,416,588 3,416,586
密苏里州6,137,428 10 1.629 - 6,137,428
印第安纳州6,732,219 11 1.634 3,366,110 3,366,109
马里兰州6,045,680 10 1.654 3,022,841 3,022,839
俄勒冈州4,217,737 7 1.660 2,108,869 2,108,868
威斯康星州5,822,434 10 1.717 2,911,218 2,911,216
路易斯安那州4,648,794 8 1.721 2,324,398 2,324,396
南卡罗来纳州5,148,714 9 1.748 2,574,358 2,574,356
俄克拉荷马州3,956,971 7 1.769 1,978,486 1,978,485
明尼苏达州5,639,632 10 1.773 2,819,817 2,819,815
肯塔基州4,467,673 8 1.791 2,233,837 2,233,836
阿拉巴马州4,903,185 9 1.836 2,451,593 2,451,592
犹他州3,205,958 6 1.872 1,602,980 1,602,978
爱荷华州3,155,070 6 1.902 1,577,536 1,577,534
内华达州3,080,156 6 1.948 1,540,079 1,540,077
康涅狄格州3,565,287 7 1.963 1,782,644 1,782,643
阿肯色州3,017,825 6 1.988 1,508,913 1,508,912
密西西比州2,976,149 6 2.016 1,488,075 1,488,074
堪萨斯州2,913,314 6 2.060 1,456,658 1,456,656
爱达荷州1,787,065 4 2.238 893,533 893,532
新墨西哥州2,096,829 5 2.385 1,048,415 1,048,414
内布拉斯加州1,934,408 5 2.585 967,205 967,203
西弗吉尼亚州1,792,147 5 2.790 896,074 896,073
蒙大拿1,068,778 3 2.807 534,390 534,388
夏威夷1,415,872 4 2.825 707,937 707,935
新罕布什尔1,359,711 4 2.942 679,856 679,855
缅因州1,344,212 4 2.976 672,107 672,105
特拉华州973,764 3 3.081 486,883 486,881
南达科他州884,659 3 3.391 442,330 442,329
罗德岛1,059,361 4 3.776 529,681 529,680
北达科他州762,062 3 3.937 381,032 381,030
阿拉斯加州731,545 3 4.101 365,773 365,772
直流705,749 3 4.251 352,875 352,874
佛蒙特623,989 3 4.808 311,995 311,994
怀俄明州578,759 3 5.184 289,380 289,379
全部的328,300,544 538 71,215,374 257,085,170

资料来源：

假设七出局不会导致 Fire Bet 输掉，平均需要掷多少次才能赢得全部六个点数？

anonymous

答案是 219.149467。

我能想到两种解决这个问题的方法。第一种是使用马尔可夫链。下表显示了在128种可能状态下，任意给定一个状态所需的预期掷骰结果。

火注——马尔可夫链

要点 4
制成		要点 5
制成		要点 6
制成		第 8 点
制成		第 9 点
制成		第 10 点
制成		预期的
面包卷
不不不不不不219.149467
不不不不不是的183.610129
不不不不是的不208.636285
不不不不是的是的168.484195
不不不是的不不215.452057
不不不是的不是的177.801038
不不不是的是的不203.975216
不不不是的是的是的160.639243
不不是的不不不215.452057
不不是的不不是的177.801038
不不是的不是的不203.975216
不不是的不是的是的160.639243
不不是的是的不不211.272344
不不是的是的不是的170.911638
不不是的是的是的不198.520513
不不是的是的是的是的150.740559
不是的不不不不208.636285
不是的不不不是的168.484195
不是的不不是的不196.113524
不是的不不是的是的149.383360
不是的不是的不不203.975216
不是的不是的不是的160.639243
不是的不是的是的不189.938796
不是的不是的是的是的137.865939
不是的是的不不不203.975216
不是的是的不不是的160.639243
不是的是的不是的不189.938796
不是的是的不是的是的137.865939
不是的是的是的不不198.520513
不是的是的是的不是的150.740559
不是的是的是的是的不182.290909
不是的是的是的是的是的121.527273
是的不不不不不183.610129
是的不不不不是的136.890807
是的不不不是的不168.484195
是的不不不是的是的113.177130
是的不不是的不不177.801038
是的不不是的不是的126.849235
是的不不是的是的不160.639243
是的不不是的是的是的98.046264
是的不是的不不不177.801038
是的不是的不不是的126.849235
是的不是的不是的不160.639243
是的不是的不是的是的98.046264
是的不是的是的不不170.911638
是的不是的是的不是的113.931818
是的不是的是的是的不150.740559
是的不是的是的是的是的75.954545
是的是的不不不不168.484195
是的是的不不不是的113.177130
是的是的不不是的不149.383360
是的是的不不是的是的80.208000
是的是的不是的不不160.639243
是的是的不是的不是的98.046264
是的是的不是的是的不137.865939
是的是的不是的是的是的53.472000
是的是的是的不不不160.639243
是的是的是的不不是的98.046264
是的是的是的不是的不137.865939
是的是的是的不是的是的53.472000
是的是的是的是的不不150.740559
是的是的是的是的不是的75.954545
是的是的是的是的是的不121.527273
是的是的是的是的是的是的0.000000

简而言之，任何给定状态的预期掷骰次数是直到得分或失分（5.063636）的预期掷骰次数加上玩家前进到下一个状态的预期掷骰次数，再除以不前进的概率。

另一种方法是使用积分。首先计算每种可能结果的预期掷骰次数。然后将每种结果的概率与平均掷骰次数进行点积，得到解决过关投注的平均掷骰次数，右下角显示的结果是 3.375758 = 557/165。

火注 — 预期掷骰结果

事件可能性平均掷骰数预期卷
4分获胜0.027778 5 0.138889
第 5 部分胜利0.044444 4.6 0.204444
第 6 部分胜利0.063131 4.272727 0.269743
第 8 部分胜利0.063131 4.272727 0.269743
第 9 部分胜利0.044444 4.6 0.204444
第 10 部分胜利0.027778 5 0.138889
第 4 部分损失0.055556 5 0.277778
第 5 部分损失0.066667 4.6 0.306667
第 6 部分损失0.075758 4.272727273 0.323691
第 8 部分损失0.075758 4.272727273 0.323691
第 9 部分损失0.066667 4.6 0.306667
第 10 部分损失0.055556 5 0.277778
出来赢0.222222 1 0.222222
出来滚动损失0.111111 1 0.111111
全部的1.000000 3.375758

从那里我们可以得到任何给定点获胜之间的预期结果：

  • 在 4 点之间掷骰子获胜 = (3/36)*(3/9)*5*(557/165) = 6684/55 = 约 121.527273。
  • 在 5 点之间掷骰子获胜 = (4/36)*(4/10)*4.6*(557/165) = 1671/21 = 约 75.954545。
  • 在 6 点之间滚动获胜 = (5/36)*(5/11)*(47/11)*(557/165) = 6684/125 = 约 53.472。

10、9 和 8 分获胜者的预期掷点数分别与 4、5 和 6 分获胜者的预期掷点数相同。

假设点数为 4 的获胜者不是离散发生的，而是服从均值为 6684/55 的指数分布。该随机变量持续 x 个单位时间而不发生的概率为 exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684)。

它在 x 个时间单位内至少发生一次的概率是 1-exp(-55x/6684)。

如果我们将这六个点表示为连续变量，那么这六个点在 x 个时间单位内发生的概率是 (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2。

六个事件中至少有一个事件在 x 个时间单位内没有发生的概率是 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2。

通过将上述内容从 0 积分到无穷大，我们可以得到所有六个事件发生的预期时间。

使用此积分计算器可得出答案 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = apx 219.1494672902。

这为何有效很难解释，所以请相信这一点。