请问巫师 #331
假设美国众议院所有435名有投票权的议员都参加了同一场Zoom会议，会议安排在上午9点至10点进行。然而，他们无需参加整个会议，只需参加其中的一部分即可。每位议员都会随机选择一个确切的时间，在一小时的时间内加入和退出会议。那么，至少有一位议员在会议中与其他所有议员重叠的概率是多少？换句话说，在会议期间，他们可以看到其他所有议员的面孔，但不一定同时出现。
点击下面的按钮获取答案。
[spoiler=答案]2/3[/剧透]
这是我的解决方案（PDF）。
这个问题已在我的Wizard of Vegas论坛中提出并讨论过。
它改编自 FiveThirtyEight 上的谜题“ 你能参加世界上最大的 Zoom 会议吗？” 。
如果玩家已达到重新分牌的限制，并且允许抽牌分牌，则您的基本策略图表不会说明如何处理一对 A。
几乎不可能找到一款允许抽牌分牌A，然后拿到一对A，最后达到分牌限制的二十一点游戏。尽管如此，我还是尽力解决最棘手的情况，并且承认我当时的基本策略表并没有说明在这种情况下该怎么做。
答案是要牌，但双倍除外，如果：
- 庄家有 6 点明牌（任意数量的牌）
- 发牌人有一副或两副牌，牌面为五点。
这是在各种此类情况下这种情况的预期值。
击中并加倍软 12 的期望值
| 甲板 | 站立 软 17 | 经销商 明牌 | 打 电动汽车 | 双倍的 电动汽车 | 最好的 玩 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 站立 | 5 | 0.182014 | 0.215727 | 双倍的 |
| 1 | 打 | 5 | 0.182058 | 0.215933 | 双倍的 |
| 1 | 站立 | 6 | 0.199607 | 0.247914 | 双倍的 |
| 1 | 打 | 6 | 0.201887 | 0.258415 | 双倍的 |
| 2 | 站立 | 5 | 0.169241 | 0.170637 | 双倍的 |
| 2 | 打 | 5 | 0.169339 | 0.171311 | 双倍的 |
| 2 | 站立 | 6 | 0.192311 | 0.213109 | 双倍的 |
| 2 | 打 | 6 | 0.194397 | 0.227011 | 双倍的 |
| 4 | 站立 | 5 | 0.162849 | 0.148228 | 打 |
| 4 | 打 | 5 | 0.162955 | 0.149183 | 打 |
| 4 | 站立 | 6 | 0.18902 | 0.196249 | 双倍的 |
| 4 | 打 | 6 | 0.19074 | 0.211466 | 双倍的 |
预期值取自我的二十一点手持计算器。
在即将到来的2020年总统大选中，候选人至少需要获得多少比例的普选票才能获胜？假设所有候选人都投票，并且只投给两位候选人中的一位。
答案是，候选人即使只获得 21.69% 的普选票，仍然能够获胜。
具体来说，下表显示了各州的人口和选举人票数。人口数据截至2019年，选举人票数则为2010年上次调整时的数据。提醒一下美国以外的读者，每个州还会额外获得两张选举人票。因此，人口较少的州对选举的影响力远大于人口较多的州。截至2020年大选，怀俄明州选民在总统选举中的影响力几乎是德克萨斯州选民的四倍。
根据规则，一位候选人可以在德克萨斯州、佛罗里达州、加利福尼亚州、北卡罗来纳州、纽约州、佐治亚州、亚利桑那州、弗吉尼亚州、俄亥俄州、宾夕法尼亚州、新泽西州和密苏里州获得100%的选票，并在其他每个州获得一半（少一票）的选票，从而获得总计257,085,170张普选票。与此同时，另一位候选人只能获得71,215,374张普选票，并以刚好所需的270张选举人票获胜。
下表按每张选举人票对应的人口（百万）进行细分（从少到多）。
选举团假设情景
| 状态 | 人口 | 选举 投票 | 百万人 每张选举人票 | 投票给A | 投票给 B |
|---|---|---|---|---|---|
| 德克萨斯州 | 28,995,881 | 三十八 | 1.311 | - | 28,995,881 |
| 佛罗里达 | 21,477,737 | 二十九 | 1.350 | - | 21,477,737 |
| 加利福尼亚州 | 39,512,223 | 55 | 1.392 | - | 39,512,223 |
| 北卡罗来纳州 | 10,488,084 | 15 | 1.430 | - | 10,488,084 |
| 纽约 | 19,453,561 | 二十九 | 1.491 | - | 19,453,561 |
| 乔治亚州 | 10,617,423 | 16 | 1.507 | - | 10,617,423 |
| 亚利桑那 | 7,278,717 | 11 | 1.511 | - | 7,278,717 |
| 弗吉尼亚州 | 8,535,519 | 十三 | 1.523 | - | 8,535,519 |
| 俄亥俄州 | 11,689,100 | 18 | 1.540 | - | 11,689,100 |
| 宾夕法尼亚州 | 12,801,989 | 20 | 1.562 | - | 12,801,989 |
| 科罗拉多州 | 5,758,736 | 9 | 1.563 | 2,879,369 | 2,879,367 |
| 华盛顿 | 7,614,893 | 12 | 1.576 | 3,807,447 | 3,807,446 |
| 新泽西州 | 8,882,190 | 14 | 1.576 | - | 8,882,190 |
| 伊利诺伊州 | 12,671,821 | 20 | 1.578 | 6,335,911 | 6,335,910 |
| 马萨诸塞州 | 6,949,503 | 11 | 1.583 | 3,474,752 | 3,474,751 |
| 密歇根州 | 9,986,857 | 16 | 1.602 | 4,993,429 | 4,993,428 |
| 田纳西州 | 6,833,174 | 11 | 1.610 | 3,416,588 | 3,416,586 |
| 密苏里州 | 6,137,428 | 10 | 1.629 | - | 6,137,428 |
| 印第安纳州 | 6,732,219 | 11 | 1.634 | 3,366,110 | 3,366,109 |
| 马里兰州 | 6,045,680 | 10 | 1.654 | 3,022,841 | 3,022,839 |
| 俄勒冈州 | 4,217,737 | 7 | 1.660 | 2,108,869 | 2,108,868 |
| 威斯康星州 | 5,822,434 | 10 | 1.717 | 2,911,218 | 2,911,216 |
| 路易斯安那州 | 4,648,794 | 8 | 1.721 | 2,324,398 | 2,324,396 |
| 南卡罗来纳州 | 5,148,714 | 9 | 1.748 | 2,574,358 | 2,574,356 |
| 俄克拉荷马州 | 3,956,971 | 7 | 1.769 | 1,978,486 | 1,978,485 |
| 明尼苏达州 | 5,639,632 | 10 | 1.773 | 2,819,817 | 2,819,815 |
| 肯塔基州 | 4,467,673 | 8 | 1.791 | 2,233,837 | 2,233,836 |
| 阿拉巴马州 | 4,903,185 | 9 | 1.836 | 2,451,593 | 2,451,592 |
| 犹他州 | 3,205,958 | 6 | 1.872 | 1,602,980 | 1,602,978 |
| 爱荷华州 | 3,155,070 | 6 | 1.902 | 1,577,536 | 1,577,534 |
| 内华达州 | 3,080,156 | 6 | 1.948 | 1,540,079 | 1,540,077 |
| 康涅狄格州 | 3,565,287 | 7 | 1.963 | 1,782,644 | 1,782,643 |
| 阿肯色州 | 3,017,825 | 6 | 1.988 | 1,508,913 | 1,508,912 |
| 密西西比州 | 2,976,149 | 6 | 2.016 | 1,488,075 | 1,488,074 |
| 堪萨斯州 | 2,913,314 | 6 | 2.060 | 1,456,658 | 1,456,656 |
| 爱达荷州 | 1,787,065 | 4 | 2.238 | 893,533 | 893,532 |
| 新墨西哥州 | 2,096,829 | 5 | 2.385 | 1,048,415 | 1,048,414 |
| 内布拉斯加州 | 1,934,408 | 5 | 2.585 | 967,205 | 967,203 |
| 西弗吉尼亚州 | 1,792,147 | 5 | 2.790 | 896,074 | 896,073 |
| 蒙大拿 | 1,068,778 | 3 | 2.807 | 534,390 | 534,388 |
| 夏威夷 | 1,415,872 | 4 | 2.825 | 707,937 | 707,935 |
| 新罕布什尔 | 1,359,711 | 4 | 2.942 | 679,856 | 679,855 |
| 缅因州 | 1,344,212 | 4 | 2.976 | 672,107 | 672,105 |
| 特拉华州 | 973,764 | 3 | 3.081 | 486,883 | 486,881 |
| 南达科他州 | 884,659 | 3 | 3.391 | 442,330 | 442,329 |
| 罗德岛 | 1,059,361 | 4 | 3.776 | 529,681 | 529,680 |
| 北达科他州 | 762,062 | 3 | 3.937 | 381,032 | 381,030 |
| 阿拉斯加州 | 731,545 | 3 | 4.101 | 365,773 | 365,772 |
| 直流 | 705,749 | 3 | 4.251 | 352,875 | 352,874 |
| 佛蒙特 | 623,989 | 3 | 4.808 | 311,995 | 311,994 |
| 怀俄明州 | 578,759 | 3 | 5.184 | 289,380 | 289,379 |
| 全部的 | 328,300,544 | 538 | 71,215,374 | 257,085,170 |
资料来源：
假设七出局不会导致 Fire Bet 输掉，平均需要掷多少次才能赢得全部六个点数？
答案是 219.149467。
我能想到两种解决这个问题的方法。第一种是使用马尔可夫链。下表显示了在128种可能状态下，任意给定一个状态所需的预期掷骰结果。
火注——马尔可夫链
| 要点 4 制成 | 要点 5 制成 | 要点 6 制成 | 第 8 点 制成 | 第 9 点 制成 | 第 10 点 制成 | 预期的 面包卷 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 不 | 不 | 不 | 不 | 不 | 不 | 219.149467 |
| 不 | 不 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 183.610129 |
| 不 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 208.636285 |
| 不 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 168.484195 |
| 不 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 215.452057 |
| 不 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 177.801038 |
| 不 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 203.975216 |
| 不 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 160.639243 |
| 不 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 215.452057 |
| 不 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 177.801038 |
| 不 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 203.975216 |
| 不 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 160.639243 |
| 不 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 211.272344 |
| 不 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 170.911638 |
| 不 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 198.520513 |
| 不 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 150.740559 |
| 不 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 不 | 208.636285 |
| 不 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 168.484195 |
| 不 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 196.113524 |
| 不 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 149.383360 |
| 不 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 203.975216 |
| 不 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 160.639243 |
| 不 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 189.938796 |
| 不 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 137.865939 |
| 不 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 203.975216 |
| 不 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 160.639243 |
| 不 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 189.938796 |
| 不 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 137.865939 |
| 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 198.520513 |
| 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 150.740559 |
| 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 182.290909 |
| 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 121.527273 |
| 是的 | 不 | 不 | 不 | 不 | 不 | 183.610129 |
| 是的 | 不 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 136.890807 |
| 是的 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 168.484195 |
| 是的 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 113.177130 |
| 是的 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 177.801038 |
| 是的 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 126.849235 |
| 是的 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 160.639243 |
| 是的 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 98.046264 |
| 是的 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 177.801038 |
| 是的 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 126.849235 |
| 是的 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 160.639243 |
| 是的 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 98.046264 |
| 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 170.911638 |
| 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 113.931818 |
| 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 150.740559 |
| 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 75.954545 |
| 是的 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 不 | 168.484195 |
| 是的 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 是的 | 113.177130 |
| 是的 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 不 | 149.383360 |
| 是的 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 是的 | 80.208000 |
| 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 不 | 160.639243 |
| 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 是的 | 98.046264 |
| 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 不 | 137.865939 |
| 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 是的 | 53.472000 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 不 | 160.639243 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 是的 | 98.046264 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 不 | 137.865939 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 是的 | 53.472000 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 不 | 150.740559 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 是的 | 75.954545 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 不 | 121.527273 |
| 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 是的 | 0.000000 |
简而言之，任何给定状态的预期掷骰次数是直到得分或失分（5.063636）的预期掷骰次数加上玩家前进到下一个状态的预期掷骰次数，再除以不前进的概率。
另一种方法是使用积分。首先计算每种可能结果的预期掷骰次数。然后将每种结果的概率与平均掷骰次数进行点积，得到解决过关投注的平均掷骰次数，右下角显示的结果是 3.375758 = 557/165。
火注 — 预期掷骰结果
| 事件 | 可能性 | 平均掷骰数 | 预期卷 |
|---|---|---|---|
| 4分获胜 | 0.027778 | 5 | 0.138889 |
| 第 5 部分胜利 | 0.044444 | 4.6 | 0.204444 |
| 第 6 部分胜利 | 0.063131 | 4.272727 | 0.269743 |
| 第 8 部分胜利 | 0.063131 | 4.272727 | 0.269743 |
| 第 9 部分胜利 | 0.044444 | 4.6 | 0.204444 |
| 第 10 部分胜利 | 0.027778 | 5 | 0.138889 |
| 第 4 部分损失 | 0.055556 | 5 | 0.277778 |
| 第 5 部分损失 | 0.066667 | 4.6 | 0.306667 |
| 第 6 部分损失 | 0.075758 | 4.272727273 | 0.323691 |
| 第 8 部分损失 | 0.075758 | 4.272727273 | 0.323691 |
| 第 9 部分损失 | 0.066667 | 4.6 | 0.306667 |
| 第 10 部分损失 | 0.055556 | 5 | 0.277778 |
| 出来赢 | 0.222222 | 1 | 0.222222 |
| 出来滚动损失 | 0.111111 | 1 | 0.111111 |
| 全部的 | 1.000000 | 3.375758 |
从那里我们可以得到任何给定点获胜之间的预期结果：
- 在 4 点之间掷骰子获胜 = (3/36)*(3/9)*5*(557/165) = 6684/55 = 约 121.527273。
- 在 5 点之间掷骰子获胜 = (4/36)*(4/10)*4.6*(557/165) = 1671/21 = 约 75.954545。
- 在 6 点之间滚动获胜 = (5/36)*(5/11)*(47/11)*(557/165) = 6684/125 = 约 53.472。
10、9 和 8 分获胜者的预期掷点数分别与 4、5 和 6 分获胜者的预期掷点数相同。
假设点数为 4 的获胜者不是离散发生的，而是服从均值为 6684/55 的指数分布。该随机变量持续 x 个单位时间而不发生的概率为 exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684)。
它在 x 个时间单位内至少发生一次的概率是 1-exp(-55x/6684)。
如果我们将这六个点表示为连续变量，那么这六个点在 x 个时间单位内发生的概率是 (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2。
六个事件中至少有一个事件在 x 个时间单位内没有发生的概率是 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2。
通过将上述内容从 0 积分到无穷大，我们可以得到所有六个事件发生的预期时间。
使用此积分计算器可得出答案 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = apx 219.1494672902。
这为何有效很难解释，所以请相信这一点。