请问巫师 #325
一位农民种了5颗苹果种子。每天，每颗种子有1/3的概率发芽。请问五棵树全部发芽的平均时间是多少？
[剧透=解决方案]
一位农民种了5颗苹果种子。每天，每颗种子有1/3的概率发芽。请问五棵树全部发芽的平均时间是多少？
我们反过来算一下。如果剩下一颗种子还没有发芽，它平均需要 1/p 天才能发芽，其中 p 是任意一天发芽的概率。由于 p = 1/3，所以平均需要 3 天才能发芽。我们称其为 t 1 = 3。
如果剩下两颗种子呢？第二天两颗种子都有 ap 2 = 1/9 的概率发芽，这样就完成了。其中一颗种子第二天发芽的概率是 2×p×q，其中 q 是不发芽的概率。因此，一颗种子发芽的概率是 2×(1/3)(2/3) = 4/9。两颗种子都不发芽的概率是 q 2 = (2/3) 2 = 4/9。我们将两颗种子的预期天数称为 t 2 。
t 2 = 1 + (4/9)×t 1 + (4/9)t 2
t 2 = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9)×t 1
t2 = (1 + (4/9)×3) / (1 - (4/9))
t2 = (21/9) / (5/9)
t2 = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4.2
如果剩下三颗种子呢？有 p 3 = 1/27 的概率，它们第二天都会发芽，我们就完成了。其中一颗种子第二天发芽的概率是 3×p×q 2 = 3×(1/3)(2/3) 2 = 12/27。第二颗种子第二天发芽的概率是 3×p 2 ×q = 3×(1/3) 2 ×(2/3) = 6/27。没有种子发芽的概率是 q 3 = (2/3) 3 = 8/27。我们将拥有三颗种子的预期天数称为 t 3 。
t 3 = 1 + (6/27)t 1 + (12/27)×t 2 + (8/27)×t 3
t 3 = 1 + (6/27)×3 + (12/27)×4.2 + (8/27)×t 3
t3 × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)
t 3 = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = 约 5.02105263
如果剩下四颗种子怎么办？有 ap 4 = 1/81 的概率，四颗种子第二天都会发芽，我们就完成了。一颗种子第二天发芽的概率是 4×p×q 3 = 4×(1/3)(2/3) 3 = 32/81。第二颗种子第二天发芽的概率是 combin(4,2)×p 2 ×q 2 = 6×(1/3) 2 ×(2/3) 2 = 24/81。第三颗种子第二天发芽的概率是 combin(4,3)×p 3 ×q = 4×(1/3) 3 ×(2/3) = 8/81。没有种子发芽的概率是 q 4 = (2/3) 4 = 16/81。我们将拥有三颗种子的预期天数称为 t 4 。
t 4 = 1 + (8/81)×t 1 + (24/81)×t 2 + (32/81)×t 3 + (16/81)×t 4
t4 = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263 + (16/81)× t4
t 4 = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263) / (1 - (16/81))
t 4 = 约 5.638056680161943319838056680。
如果剩下的五颗种子都还剩下呢？第二天，五颗种子全部发芽的概率是 p 5 = 1/243，这样我们就完成了。一颗种子第二天发芽的概率是 5×p×q 4 = 5×(1/3)(2/3) 4 = 80/243。第二颗种子第二天发芽的概率是 combin(5,2)×p 2 ×q 3 = 10×(1/3) 2 ×(2/3) 3 = 80/243。第三颗种子第二天发芽的概率是 combin(5,3)×p 3 ×q = 10×(1/3) 3 ×(2/3) 2 = 40/243。第四颗种子第二天发芽的概率是 combin(5,4)×p 4 ×q = 5×(1/3) 4 ×(2/3) = 10/243。没有种子发芽的概率是 q 5 = (2/3) 5 = 32/243。我们将有三颗种子的预期天数称为 t 5 。
t 5 = 1 + (10/243)×t 1 + (40/243)×t 2 + (80/81)×t 3 + (80/243)×t 4 + (32/243)×t 5
t5 = (1 + (10/243)× t1 + (40/243)× t2 + (80/81)× t3 + (80/243)× t4 ) / (1 - (32/243))
t5 = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4.2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5.63805668) / (1 - (32/243))
t 5 = 约 6.131415853。
[/spoiler]该问题改编自Mind Your Decisions的 Presh Talwalkar 提出的类似问题。
有一个圆锥形帐篷，半径为1米，斜高（从底部边缘任意一点到顶端的距离）为4米。你想在圆锥形帐篷底部的任意位置固定一根绳子，用绳子绕圆锥形帐篷一圈，然后将绳子的另一端系在你开始固定的木桩上。
- 所需绳索的最小长度是多少？
- 假设使用最小距离，绳子上的任何一点距离尖端有多近？
- 所需绳子的最小长度是多少？答：sqrt(2)*4 = 约 5.6569。
- 假设使用最小距离，绳子上任意一点距离绳尖有多近？答：2*sqrt(2) = 约 2.828427125。
[剧透=解决方案]
假设圆锥形帐篷的底部是裸露的地面。换句话说，圆锥形帐篷只有墙壁，没有底座。由于半径为 1，因此圆锥形帐篷底部的直径为 2*pi。
从底部的任意一点到顶端切割帐篷，并将材料平放。
这个切片空间的弯曲部分仍然是 2*pi。由于斜高为 4，如果将此切片扩展为一个完整的圆，半径将是 8*pi。因此，这个切片是圆的 1/4。
三角形的边长为4，夹角为90度，三点之间的斜边长度为sqrt(2)*4 = 约5.6569。如果你重新组装帐篷，这个距离就是绳子的长度。
将切片再次平放，使用勾股定理，很容易看出从斜边到帐篷顶端的最近点是 2*sqrt(2) = apx。2.828427125。
[/spoiler]这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。
我玩的是10人玩的视频扑克，发牌后拿到了一对。之后十手牌都变成了四条。赔率是多少？
一对牌变成四张同点牌的概率为 45/COMBIN(47,3) = 约 0.002775208。
十手有十手出现这种情况的概率是 (0.002775208) 10 = 约 36,901,531,632,979,700,000,000,000 分之一。
这个概率就像购买三张独立且随机的强力球彩票并全部中奖一样。
解释是，这不是普通的电子扑克游戏，它采用自然概率，即每张牌从牌堆剩余的牌中抽出的概率均等。不，这叫做“VLT”，即视频彩票终端。在这类游戏中，无论玩家如何支付，结果都是注定的。它就像刮刮乐彩票，但结果会像电子扑克游戏一样显示给玩家。你可能会问，如果玩家拿到全部五张牌会发生什么？然后会有一个精灵出现，改变一些牌，或者玩家会赢得奖金，最终赢得2500积分。
这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。