请问巫师 #324
平均而言，需要掷多少次公平的骰子才能使每个面至少掷出两次？
点击下面的按钮获取答案。
这是我的解决方案。（PDF）
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
有一个 1×1 的方形飞镖靶。向靶心投掷一支飞镖，飞镖落在靶心任意位置的概率相等。飞镖落点的坐标为 (x,y)，其中 x 和 y 服从 0 到 1 之间的均匀独立分布。
设 z = round(x/y)。换句话说，z = x/y，四舍五入到最接近的整数。z 为偶数的概率是多少？
了解以下提示中的无穷级数将非常有用。
[剧透=提示]莱布尼茨 π 公式指出：
1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
[/spoiler]仅需获取答案，请单击以下按钮。
单击下面的按钮获取解决方案。
[剧透=解决方案]
如果 x/y < 0.5，则该比率将向下舍入为 0 或偶数。飞镖靶上 (0,0) 和 (0.5) 所成直线左侧的任意点都将向下舍入为 0。该区域是一个直角三角形，边长为 1 又 1/2。记住，三角形的面积是 (1/2) * 底 * 高。因此，这些点向下舍入为 0 的面积为 (1/2) * (1/2) = 1/4。
图表中下一个四舍五入为偶数 2 的区域是当 1.5 < x/y < 2.5 时。该区域是一个底边为 2/3 - 2/5、高为 1 的三角形。注意，这些是 x/y 边界的倒数，因为 x 等于 1，所以我们需要反转 y。因此，四舍五入为 2 的区域是 (1/2)*(2/3 - 2/5)。
图表中下一个四舍五入为偶数 4 的区域是 3.5 < x/y < 4.5。该区域是一个底边为 2/7 - 2/9、高为 1 的三角形。因此，四舍五入为 2 的区域是 (1/2)*(2/7 - 2/9)。
图表中下一个四舍五入为下一个偶数 6 的区域是当 5.5 < x/y < 6.5 时。该区域是一个底边为 2/11 - 2/13、高为 1 的三角形。因此，四舍五入为 2 的区域是 (1/2)*(2/11 - 2/13)。
开始发现规律了吗？它是这样的：
1/4 + 1/2*(2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - 2/13 + ... ) =
1/4 + (1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =
让我们将 -1 移动到括号内。
5/4 + (-1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =
5/4 - (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ... ) =
接下来，回想一下我们上面的提示：
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11
回到手头的问题……
5/4 - π/4 =
(5 - π) / 4 = apx。 0.464601836602552。
有趣的是，π 和 e 在数学中不断出现。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
设9x + 12x = 16x
x 是什么？
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[剧透=解决方案]
9x + 12x = 16x =
将两边除以 9 x
1 + (12/9) x = (16/9) x
1 + (4/3) x = ((4/3) x ) 2
（1）设 u = (4/3) x
1 + u = u 2
根据二次公式...
u = (1+sqrt(5)) / 2（黄金分割率）
将其代入公式 (1) 中：
（4/3） x =（1 + 平方根（5））/ 2
对两边取对数：
x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]
x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)
x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = 约 1.67272093446233。[/剧透]
这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。
致谢：我从Mind Your Decisions的 Presh Talwalkar 那里得到了这个问题的变体。
假设掷一个公平的六面骰子，直到出现1、2、3或6。如果1、2或3是这些游戏结束数字中第一个出现的，那么您什么也赢不了。如果6是这些游戏结束数字中第一个出现的，那么您每次掷骰子都会赢得1美元。这场比赛的平均赢利是多少？
单击下面的按钮，查看几个可能对您有帮助的无穷级数公式。
[剧透=提示]
提示 1：对 n 求 i = 0 到 ∞ 的和i = 1 / (1-n)
提示 2：i = 0 到 ∞ 的 i × n 之和i = n / (1-n) 2
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[剧透=解决方案]
假设掷一个公平的六面骰子，直到出现1、2、3或6。如果1、2或3是这些游戏结束数字中第一个出现的，那么您什么也赢不了。如果6是这些游戏结束数字中第一个出现的，那么您每次掷骰子都会赢得1美元。这场比赛的平均赢利是多少？
提示 1：对 n 求 i = 0 到 ∞ 的和i = 1 / (1-n)
提示 2：i = 0 到 ∞ 的 i × n 之和i = n / (1-n) 2
预期赢利可以表示为 i = 0 到 ∞ 的 (1 + i) * (1/3) i * (1/6) 之和。=
（1/6）* (1/3) i 的 i = 0 到 ∞ 的总和+ （1/6）* (i * (1/3) i ) 的 i = 0 到 ∞ 的总和。
让我们逐一评估一下。
i = 0 到 ∞ 的和，其中 (1/3) i =
1 / (1 - (1/3)) =
1 / (2/3) =
3/2
i = 0 到 ∞ 的和 (i * (1/3) i ) =
（1/3）/（1-（1/3）） 2 =
（1/3）/（4/9）=
（1/3）*（9/4）=
3/4
综合起来，答案是
（1/6）*（3/2）+（1/6）*（3/4）=
（1/4）+（1/8）=
3/8
[/spoiler]我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。