请问巫师 #319

下表显示了拉斯维加斯内幕（Vegas Insider）对两队每场比赛的赔率。客场公平赔率一栏将客队客场的赔率平分给两队。概率一栏则显示了客队客场造访的概率，该概率基于公平赔率。

将客队在每场比赛中获胜的概率乘以 0.00422，四舍五入为 237 分之一。

如果主队使用 Martingale 投注赢得 100 美元，则将损失 28,081.06 美元。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

首先，我来介绍一下排列数。这意味着不仅数字重要，它们在卡片上的顺序也很重要。对于 B、I、G 和 O 列，可能的排列数为 permut(15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360,360。对于 N 列，排列数为 permut(14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32,760。因此，宾果卡的排列总数为 360,360 ⁽⁴ × 32,760) = 552446474061128648601600000。

其次，我来讨论一下组合数。这意味着数字很重要，但它们在卡片上的顺序并不重要。对于 B、I、G 和 O 列，可能的组合数共有 combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3,003 种。对于 N 列，排列数为 combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1,365。因此，宾果卡的排列总数为 3,003 ⁴ × 1,365 = 111007923832370565。

在节目中，谢尔顿问自己有多少张独特的宾果卡。根据后来的错误公式，我猜他指的是排列。换句话说，两张数字相同但位置不同的卡牌都是独一无二的。

上图展示了 Sheldon 计算 B、I、G 和 O 列的公式。他最初计算的公式是 5! × combin(15,5)。然而，他错误地将其简化为 15!/(15!-5)!。第二个感叹号不应该出现在那里，应该是 15!/(15-10)!。然而，他随后又得到了正确答案 360,360。

N 列也出现了同样的问题。公式应该是 15!/(15-4)!，而不是 15!/(15!-4)!。第二个感叹号搞砸了。

讽刺的是，在剧集的后面，谢尔顿开始痴迷于《指环王》年表中的错误，就像我痴迷于这个一样。

首先，让我们确定可能发生这种情况的玩家牌和公共牌的组合数。显然有四种花色。那么，从给定花色的 13 张牌中选出 4 张，一共有 combin(13,4)=715 种组合方式。

其次，一种可能发生这种情况的方式是，玩家在牌桌上有三张相同花色的牌，另外两张在另外39张牌中。牌桌上有三张相同花色的牌，组合方式有(9,3)=84种。然后，有组合方式有(39,2)=741种，可以从另外三种花色的39张牌中再选出两张。因此，牌桌上有三张相同花色的牌，组合方式有84*741=62,244种。

第三，另一种可能发生这种情况的方式是，玩家在公共牌上有四张相同花色的牌，另一张在另外 39 张牌中。公共牌上有所选花色剩余 9 张牌中的 4 张，共有 combin(9,4)=126 种方法。然后，有 39 种方法可以从其他三种花色的另外 39 张牌中再选一张。然而，并非所有这些方法都会导致两位玩家都使用两张底牌。要满足该条件，公共牌上必须有该花色的最小牌。在 8 张该花色的牌中，出现这种情况的概率是 4/8 = 1/2。因此，公共牌上有四张该花色的牌共有 126*39*(1/2)=2,457 种方法。

第四，最后一种情况是，玩家手中持有五张相同花色的牌。共有 combin(9,5)=126 种组合方式，即牌桌上有五张相同花色的牌。然而，并非所有组合方式都会导致两位玩家都使用两张底牌。要满足该条件，牌桌上必须有该花色的最小两张牌。在当前牌桌上有九张相同花色的牌中，出现这种情况的概率为 combin(5,2)/combin(9,2) = 10/36 = 5/18。因此，共有 126*(5/18)=35 种组合方式，即牌桌上有四张相同花色的牌。

因此，发生这种情况的组合数为 715*(62,244 + 2,457 + 35) = 46,286,240。

从 52 张牌中挑选 4 张作为玩家底牌，然后从牌面上剩余的 48 张牌中挑选 5 张作为玩家底牌，总组合数为 combin(52,4)*combin(48,5) = 463,563,500,400。

因此，概率为 46,286,240 / 463,563,500,400 = 0.000399395 = 2,504 分之一。

这个问题是在我的Wizard of Vegas论坛中提出并讨论的。

为了分析这样的投注，我首先会估算每支球队的得分。我会用让分和大小分进行简单的代数运算。例如，考虑孟加拉虎队和乌鸦队之间的第一场比赛。乌鸦队被看好12分，大小分是48分。设：

b = 孟加拉虎队得分
r = 乌鸦队得分

b+12=r
b+r=48

重新排列第一个等式：b-4=-12。然后将该等式加到b+r=48上，得到2b=36，因此b=18。如果孟加拉虎队预计得分18分，那么乌鸦队预计得分18+12=30分。

一旦估算了总得分，我们就可以估算达阵得分。我会从每支球队的射门得分中减去6分，然后将剩余的得分除以7。

这些球队预计的达阵总数为29.57。接下来，用每支球队的预计达阵数除以该总数。这样就能估算出该球队率先达阵的概率。然后，根据该概率计算预期值，并计算投注赔率。

正如您在表格中看到的，我认为只有两支球队的预期价值为正。红皮队（没错，我就是这么叫他们的）的预期价值为0.48%，而孟加拉虎队的预期价值为21.7%。红皮队的优势太小了，但我绝对会押注孟加拉虎队。

PS：那天孟加拉虎队确实率先达阵！

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。