请问巫师 #306
阳光海岸赌场 (Suncoast) 正在举办一项扑克促销活动，玩家在德州扑克游戏中，如果拿到特定的高底牌对子并输掉，即可赢得 50 至 100 美元。底牌对子取决于当天情况，可以是 J、Q、K 或 A。如果输掉底牌对子，如果两张底牌都是黑色，则奖金为 100 美元；如果两张底牌都是红色，则奖金为 75 美元；如果每种颜色各一张，则奖金为 50 美元。这项促销活动的每小时价值是多少？
这取决于牌桌上的玩家数量。玩家越多越好，因为玩家越多，你输的几率就越大。下表显示了包括你在内的所有玩家对这四对牌的输掉概率。这假设没有人弃牌。这显然是一个不切实际的假设，所以我会把这些概率作为上限。
德州扑克输钱的概率
| 玩家 | 杰克 | 皇后区 | 国王 | 王牌 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 80.16% | 77.34% | 73.57% | 68.64% |
| 8 | 74.87% | 71.29% | 66.74% | 60.95% |
| 6 | 65.95% | 61.70% | 56.68% | 50.49% |
| 4 | 50.37% | 46.09% | 41.41% | 35.82% |
| 3 | 38.43% | 34.71% | 30.79% | 21.22% |
| 2 | 22.85% | 20.37% | 17.88% | 15.07% |
平均赢利很容易计算：$100 × (1/6) + $75 × (1/6) + $50 × (1/2) = $62.50。下表显示了四种口袋对子出现时的预期价值（假设没有其他玩家弃牌）。
每次预期获胜次数
| 玩家 | 杰克 | 皇后区 | 国王 | 王牌 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 50.10 美元 | 48.34 美元 | 45.98 美元 | 42.90 美元 |
| 8 | 46.79美元 | 44.56 美元 | 41.71 美元 | 38.09美元 |
| 6 | 41.22 美元 | 38.56 美元 | 35.43 美元 | 31.56 美元 |
| 4 | 31.48 美元 | 28.81 美元 | 25.88 美元 | 22.39 美元 |
| 3 | 24.02 美元 | 21.69 美元 | 19.24 美元 | 13.26 美元 |
| 2 | 14.28 美元 | 12.73 美元 | 11.18 美元 | 9.42 美元 |
下表显示了此促销活动每手牌的价值。它等于上表与获得所需底牌的概率（即 6/1326 = 0.90%）的乘积。
每手牌预期赢利
| 玩家 | 杰克 | 皇后区 | 国王 | 王牌 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 0.23 美元 | 0.22 美元 | 0.21 美元 | 0.19 美元 |
| 8 | 0.21 美元 | 0.20 美元 | 0.19 美元 | 0.17 美元 |
| 6 | 0.19 美元 | 0.17 美元 | 0.16 美元 | 0.14 美元 |
| 4 | 0.14 美元 | 0.13 美元 | 0.12 美元 | 0.10 美元 |
| 3 | 0.11 美元 | 0.10 美元 | 0.09 美元 | 0.06 美元 |
| 2 | 0.06 美元 | 0.06 美元 | 0.05 美元 | 0.04 美元 |
下表显示了此促销活动每小时的价值，假设每小时30手。同样，这假设没有人弃牌，所以我将此作为每小时价值的上限。
每小时预期获胜次数
| 玩家 | 杰克 | 皇后区 | 国王 | 王牌 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 6.80 美元 | 6.56 美元 | 6.24 美元 | 5.82 美元 |
| 8 | 6.35 美元 | 6.05 美元 | 5.66 美元 | 5.17 美元 |
| 6 | 5.60 美元 | 5.23 美元 | 4.81 美元 | 4.28 美元 |
| 4 | 4.27 美元 | 3.91 美元 | 3.51 美元 | 3.04 美元 |
| 3 | 3.26 美元 | 2.94 美元 | 2.61 美元 | 1.80 美元 |
| 2 | 1.94 美元 | 1.73 美元 | 1.52 美元 | 1.28 美元 |
考虑一个具有以下规则的游戏：
- 随机数生成器提供 0 到 1 之间均匀分布的随机数。
- 两名玩家各自获得一个号码。每位玩家只能看到自己的号码。
- 玩家 1 可以保留他的初始数字或换成一个新的随机数字。
- 玩家 2 知道玩家 1 的动作，可以选择保留原来的号码或换成新的号码。
- 数字较大的玩家获胜。
我对这个游戏有四个问题：
- 回答有关游戏的以下问题：
- 当数字为多少时，玩家 1 不会对站立和切换产生兴趣？
- 假设玩家 1 切换，那么玩家 2 在什么数字时应该无视站立和切换？
- 假设玩家 1 站立，那么玩家 2 在什么数字时应该无视站立和切换？
- 假设两位玩家都采用最佳策略，那么玩家 1 获胜的概率是多少？
答案和解决方案可以在我的数学问题页面第 225 题中找到。
超级百万彩票中的“仅中奖”选项是否物有所值？
如果我们忽略税收、年金对累积奖金的影响以及累积奖金分配的影响，那么如果累积奖金超过 224,191,728 美元，您应该启用“仅限累积奖金”选项。如果我们确实考虑了这些因素，那么您不应该启用“超级倍增器”，而应该启用“超级倍增器”。
欲了解更多信息，请参阅我的“百万大奖”彩票页面。
在新西兰奥克兰的天空城赌场，终极德州扑克游戏中，玩家和荷官都必须使用两张底牌。与通常可以使用任意五张牌的规则相比，这会对赔率产生什么影响？
该规则将赌场优势从 2.19% 提高到 7.97%，风险因素从 0.53% 提高到 1.90%。这是因为庄家不再经常获得资格，而且盲注需要顺子或更好的牌才能赢钱，因此获胜难度加大。
有关我的分析的更多详细信息，请参阅我关于奥克兰版终极德州扑克的新页面。
有关此问题的讨论，请参阅我在 Wizard of Vegas 论坛中的主题ULTIMATE IN NEW ZEALAND 。