请问巫师 #287
掷骰子 n 次，形成 Yahtzee 的概率是多少？
为了方便其他读者理解，Yahtzee 指的是用五个骰子掷出五条的骰子。在 Yahtzee 游戏中，玩家可以保留任意一个骰子，然后重新掷出剩余的骰子。最多可以掷三次。
如果玩家愿意，可以重新掷出之前持有的骰子。例如，如果玩家第一次掷出的骰子是 3-3-4-5-6，他手中持有的是 3，第二次掷出的骰子是 3-3-5-5-5，那么他可以保留 5，并在第三次掷出的骰子上重新掷出 3。
下表列出了1至20次投掷中，相同面数的骰子的最大数量。该表显示，三次投掷中赢得Yahtzee的概率约为4.6%。
骰子概率
| 面包卷 | 同面最大骰子 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | |
| 1 | 0.092593 | 0.694444 | 0.192901 | 0.019290 | 0.000772 |
| 2 | 0.008573 | 0.450103 | 0.409022 | 0.119670 | 0.012631 |
| 3 | 0.000794 | 0.256011 | 0.452402 | 0.244765 | 0.046029 |
| 4 | 0.000074 | 0.142780 | 0.409140 | 0.347432 | 0.100575 |
| 5 | 0.000007 | 0.079373 | 0.337020 | 0.413093 | 0.170507 |
| 6 | 0.000001 | 0.044101 | 0.263441 | 0.443373 | 0.249085 |
| 7 | 0.000000 | 0.024501 | 0.199279 | 0.445718 | 0.330502 |
| 8 | 0.000000 | 0.013612 | 0.147462 | 0.428488 | 0.410438 |
| 9 | 0.000000 | 0.007562 | 0.107446 | 0.398981 | 0.486011 |
| 10 | 0.000000 | 0.004201 | 0.077416 | 0.362855 | 0.555528 |
| 11 | 0.000000 | 0.002334 | 0.055317 | 0.324175 | 0.618174 |
| 12 | 0.000000 | 0.001297 | 0.039279 | 0.285674 | 0.673750 |
| 十三 | 0.000000 | 0.000720 | 0.027757 | 0.249063 | 0.722460 |
| 14 | 0.000000 | 0.000400 | 0.019543 | 0.215313 | 0.764744 |
| 15 | 0.000000 | 0.000222 | 0.013720 | 0.184883 | 0.801175 |
| 16 | 0.000000 | 0.000124 | 0.009610 | 0.157896 | 0.832371 |
| 17 | 0.000000 | 0.000069 | 0.006719 | 0.134258 | 0.858954 |
| 18 | 0.000000 | 0.000038 | 0.004692 | 0.113753 | 0.881517 |
| 19 | 0.000000 | 0.000021 | 0.003272 | 0.096100 | 0.900607 |
| 20 | 0.000000 | 0.000012 | 0.002280 | 0.080994 | 0.916714 |
这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。
赌场游戏需要玩多少手才能保证盈利？
当然，这取决于游戏本身。庄家优势越大，方差越小，胜率就越高。这也取决于信心水平。
下表显示了在假设投注金额相同的情况下，赌场需要多少注才能在不同程度的置信度下对某些常见游戏产生信心。例如，要使百家乐中庄家投注的净利润率达到 95%，赌场需要发 20,791 手牌。
除了“Jacks or Better”之外，所有情况都基于正态分布。如果任何一种结果的预期事件数量不超过5个，则该近似值变得不可靠。因此，对于视频扑克，我对“Royalty”结果使用了泊松分布，其他情况则使用了正态近似。
对于二十一点，规则是：6 副牌，庄家在软 17 点时停牌，允许分牌后加倍，允许投降，允许重新分牌 A。
这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。
为什么 19,933,230,517,200 这个数字在视频扑克的总组合数中出现得如此频繁？
为了其他读者的利益，这里是 9-6 Jacks or Better 的回报表。
“9-6”杰克或更好
| 手 | 付清 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 皇家同花顺 | 800 | 493512264 | 0.00002476 | 0.01980661 |
| 同花顺 | 50 | 2178883296 | 0.00010931 | 0.00546545 |
| 四条 | 二十五 | 47093167764 | 0.00236255 | 0.05906364 |
| 客满 | 9 | 229475482596 | 0.01151221 | 0.10360987 |
| 冲洗 | 6 | 219554786160 | 0.01101451 | 0.06608707 |
| 直的 | 4 | 223837565784 | 0.01122937 | 0.04491747 |
| 三条 | 3 | 1484003070324 | 0.07444870 | 0.22334610 |
| 两对 | 2 | 2576946164148 | 0.12927890 | 0.25855780 |
| 杰克或更好 | 1 | 4277372890968 | 0.21458503 | 0.21458503 |
| 没有什么 | 0 | 10872274993896 | 0.54543467 | 0 |
| 全部的 | 19933230517200 | 1 | 0.99543904 |
我的大多数 52 张牌游戏的视频扑克回报表都有相同数量的组合，即 19933230517200。问题是为什么？
首先，从 52 张牌中选择 5 张牌共有(52,5) = 2,598,960 种方法。
其次，根据玩家弃牌的数量，抽牌组合最多有 combin(47,5) = 1,533,939 种。下表第二列显示了根据弃牌数量计算出的抽牌组合数。
抽奖组合
| 丢弃 | 组合 | 重量 | 产品 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 7,669,695 | 7,669,695 |
| 1 | 四十七 | 163,185 | 7,669,695 |
| 2 | 1,081 | 7,095 | 7,669,695 |
| 3 | 16,215 | 473 | 7,669,695 |
| 4 | 178,365 | 43 | 7,669,695 |
| 5 | 1,533,939 | 5 | 7,669,695 |
第二列数字的最小公倍数是 7,669,695。这个数字可以表示为 5×combin(47,5)。为了保持每手牌的组合总数相同，我对听牌组合进行了加权，使听牌组合总数为 7,669,695。
因此，19,933,230,517,200 = combin(52,5)×combin(47,5)×5。我的一些52张牌的视频扑克牌桌的组合数较少。这是因为有时最终回报表中每手牌的组合总数的最大公约数大于1。在这种情况下，我有时会将每个总数除以最大公约数。我的视频扑克分析器会自动执行此操作。
这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛上提出并讨论的。
两位玩家分别获得一个 (0,1) 中的随机数。第一位玩家决定是维持现状还是弃牌并抽取新的数字。第二位玩家也同样决定。数字大的玩家获胜。每位玩家的最佳策略是什么？假设采用最佳策略，每位玩家获胜的概率是多少？
我在一家印度赌场玩牌九扑克，拿到了一手K和Q，心里盘算着赢钱的数额。这时，荷官翻出了TTTJK*A（*=百搭牌），没有同花的可能性。她把牌写成了TTTKJ，A*。我要求看看荷官的牌路，因为我觉得TJ*KA，TT会更好，而且结果也跟我有经济利益相关。
他们给我看了庄家的发牌规则，但并没有明确说明这手牌的正确性。最后他们拿走了我的钱，给了我双倍的不可转让筹码，好让游戏继续进行，这还好。在场上，4+花色的玩家们就如何发牌进行了一场讨论，持续了半个多小时。最终他们决定TTTJK/A*才是正确的发牌规则，并决定修改庄家的发牌规则。
我的问题是，这手牌的规则是什么，以及如何解释这种令人困惑的手牌的规则？
牌九扑克从诞生之日起就是一款设计糟糕的游戏，几十年过去了，却无人去改进。牌九扑克的缺陷包括：
- 过于混乱和复杂的家道。
- A2345 直道是第二高的荒谬规则。
- 玩家银行和共同银行的选项，除了我之外几乎没有人会调用。
我曾在拉斯维加斯大道一家大型赌场（名字就不提了）短暂工作过一段时间，当时我提议设计一种更简洁、更强大的赌场玩法，清晰地涵盖所有可能的情况。这种玩法不仅适用于牌九扑克，也适用于骨牌。当然，这个建议被毫无保留地否决了。
现在我的吐槽完毕，我来试着回答你的问题。虽然不同赌场的打法有所不同，但它们的组织方式或多或少都差不多。福克斯伍兹赌场的打法就是典型的打法。以你的牌为例，不清楚应该把它当作顺子牌，然后按AKQJT/TT打，还是当作葫芦牌，然后按TTTJK/AA打。
不是你问的，但让我们来看看在数学上对赌场来说更好的玩法是什么。使用我的牌九扑克附录1，假设庄家押庄，我们得到以下结果：
庄家打顺子牌的预期赢率可达 96.46%，而打葫芦牌的预期赢率仅为 87.49%。因此，按顺子规则出牌要好得多。
就我个人而言，我编写牌九扑克游戏的方式是从最高牌型（五张 A）开始，然后按照 if/else if/else if/else if/end 循环的方式向上移动页面。换句话说，我会根据可能出现的五张牌的最高牌型对牌型进行分类，然后遵循这些规则。
我认为这就是庄家规则的本意。为了证明这一点，不妨考虑一下坎特伯雷公园庄家规则。尤其是同花牌规则，其内容如下。
六张和七张同花牌会在低手牌中打出最高的两张牌。
（例外：如果两对是同花，则适用两对规则。）
与所有其他赌场规则一样，最低牌型会列在最前面。如果这手牌应该按照遇到的第一套规则来玩，那么他们无论如何都会遵循两对规则。既然两对规则列在同花规则之前，那么没有理由明确破例遵循两对规则。
出于实际考虑，我问了两位荷官，他们会如何处理这手牌。他们都说，书面的赌场规则只是指导原则，如果遇到令人困惑的牌局，就问问赌场工作人员该怎么做，然后照做就行，不要问为什么。其中一位荷官说，有一条不成文的规则是，遵循看起来最适合当时情况的规则。在福克斯伍兹赌场，有一条针对三条的顺子牌的规则。既然这条规则最能具体地描述这手牌，那就遵循这条规则，尽管完整的赌场规则也涵盖了这手牌。
长话短说，我见过的赌场游戏，无论是牌九扑克还是牌九牌，都没有清晰地解释过每一种可能的牌型。它们充满了相互矛盾的规则。除非有人愿意采取措施，否则你只能听从现场工作人员的解释。根据我的经验，这些令人困惑的情况似乎通常会被判对玩家不利。
我希望有一天，玩家会对此感到厌烦，并在下次出现有利于庄家的模糊牌局时向相应的博彩管理机构投诉。
这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。