请问巫师 #281
假设一枚公平硬币被抛掷 n 次，出现至少一次 t 次反面的概率是多少？
答案是 1-F (t) n+2 /2 n ，其中 F (t) n是 t 步斐波那契数列中的第 n 个数字。
你可能会问，斐波那契数列是什么？它的第一个数字是 1。在 t 步序列中，每个后续数字都是前 t 个数字之和。假设第一个数字之前的任何数字都是 0。
让我们看一个两步序列。第一个数字是 1。第二个数字是前两个数字之和。假设 1 前面有一个 0，所以第二个数字是 0+1=1。第三个数字是 1+1=2，第四个数字是 1+2=3，第五个数字是 2+3=5。
前十二个二步斐波那契数列为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144。
我们举个例子，抛十次硬币，至少有一次连续掷出两次反面的概率是多少？
我们使用两步斐波那契数列，因为我们只需要两次反面。数列中的第 12 个数字（比翻转次数多 2 个）是 144。因此，答案是 1-F (2) 10+2 /2 10 = 1 - 144/2 10 = 1 - 144/1024 = 85.94%。
在 20 次抛掷中，连续出现 5 次反面的概率是多少？
前 22 个 5 步斐波那契数列为 1、1、2、4、8、16、31、61、120、236、464、912、1793、3525、6930、13624、26784、52656、103519、203513、400096、786568。
因此答案为 1 - F (5) 20+2 /2 20 = 1 - 786,568/1,048,576 = 1 - 75.01% = 24.99%。
我在Wizard of Vegas论坛上讨论过这个问题。
直到我开始在赌场玩W2-Gs的时候我才意识到这一点，但是有没有什么方法可以不用提供社保号码就能拿到钱呢？我有点担心赌场会获取不必要的信息。我中过几次皇家注和手牌，我不喜欢赌场扣留我的执照，还得填写我的社保号码。
首先，您必须出示带照片的身份证件，否则赌场将扣留您的奖金，直到您出示为止。如果您出示身份证件但拒绝出示或申报有效的社会安全号码或其他税务识别号码，则将扣除25%至30%的奖金，具体取决于累积奖金是超过还是少于5,000美元，以及您来自美国还是签订了互惠税收协定的国家。
截至 2011 年，这些国家包括亚美尼亚、澳大利亚、奥地利、阿塞拜疆、孟加拉国、巴巴多斯、白俄罗斯、比利时、保加利亚、加拿大、中国、塞浦路斯、丹麦、埃及、爱沙尼亚、芬兰、法国、格鲁吉亚、德国、希腊、匈牙利、冰岛、印度、印度尼西亚、爱尔兰、以色列、意大利、牙买加、日本、哈萨克斯坦、吉尔吉斯斯坦、拉脱维亚、立陶宛、卢森堡、墨西哥、摩尔多瓦、摩洛哥、新西兰、挪威、巴基斯坦、菲律宾、波兰、葡萄牙、罗马尼亚、俄罗斯、俄罗斯、斯洛伐克、斯洛文尼亚、南非、韩国、西班牙、斯里兰卡、瑞典、瑞士、塔吉克斯坦、泰国、捷克共和国、荷兰、特立尼达和多巴哥、突尼斯、土耳其、土库曼斯坦、乌克兰、英国、乌兹别克斯坦和委内瑞拉。
我一直在努力弄清楚具体规则，但总是头疼。请参阅美国国税局签发W2G表格的规则，了解更多信息。
感谢《赌徒的税务帮助》的合著者 Marissa Chien 和 MathExtremist 对这个问题的帮助。
我在Wizard of Vegas论坛上讨论过这个问题。
据CardPlayer.com报道，阿米尔·莱哈沃特（Amir Lehavot）是九位进入 2013 年世界扑克锦标赛决赛桌的选手之一，他将以每 1% 份额 29,248 美元的价格出售第九名的奖金，这些奖金超过了最低奖金 733,224 美元。这个价格合理吗？
首先，让我们回顾一下筹码堆栈。
2013 WSOP 决赛桌筹码量
| 玩家 | 薯片 |
|---|---|
| 陈俊杰 | 38,000,000 |
| 阿米尔·莱哈沃特 | 29,700,000 |
| 马克·麦克劳克林 | 26,525,000 |
| 杰伊·法伯 | 25,975,000 |
| 瑞安·里斯 | 25,875,000 |
| 西尔万·卢斯利 | 19,600,000 |
| 米歇尔·布鲁梅尔豪斯 | 11,275,000 |
| 马克·纽豪斯 | 7,350,000 |
| 大卫·贝内菲尔德 | 6,375,000 |
下表显示了锦标赛中每场最终比赛的胜利情况。
2013年WSOP决赛桌奖金
| 地方 | 赢 |
|---|---|
| 第一 | 8,359,531美元 |
| 第二 | 5,173,170美元 |
| 第三 | 3,727,023美元 |
| 第四 | 2,791,983 美元 |
| 第五 | 2,106,526美元 |
| 第六 | 1,600,792美元 |
| 第七 | 1,225,224美元 |
| 第八 | 944,593美元 |
| 第九 | 733,224美元 |
假设每位玩家的水平相同，获胜概率可以用筹码占总筹码量的份额来估算。然而，之后的每个位置都会变得更加复杂。为了解答这个问题，我开发了扑克锦标赛计算器。
输入以上信息后，您会发现阿米尔的预期奖金为 3,658,046 美元。然后减去第 9 名的最低奖金 733,224 美元，您将获得 2,924,822 美元的预期非保证奖金。每 1% 的份额价值 29,248.22 美元。这恰好是 cardplayer.com 文章中引用的价格。
顺便说一句，Lehavot 获得了第三名，奖金为 3,727,023 美元。扣除第九名的 733,224 美元保证金，再除以 100，每 1% 的份额可获得 29,938 美元的回报。每股原始成本为 29,248 美元，因此每股收益为 2.36%。
我在Wizard of Vegas论坛上讨论过这个问题。
我认为我有一个成功的投注系统。但是，我需要比你们百家乐页面上提供的3000多个百家乐牌盒更多的牌盒来测试它。你们能提供更多吗？
希望你开心；我刚刚创造了25万个这样的系统。与其在赌场里用真金白银输钱，不如免费发现你的系统最终会崩溃（它们都会崩溃）。
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如果每个赌场都有一个秘密房间，里面有一台电脑控制着每笔赌注的结果，那你们网站上的数学还有什么用呢？它能让轮盘赌里的球落到玩家输得最多的地方。在纸牌游戏中，它还能控制洗牌机，让玩家拿到坏牌。你们是太天真了，还是真的参与了阴谋？
我要说的是，威尼斯人的“秘密房间”里有饼干。
我在Wizard of Vegas论坛上讨论过这个问题。