请问巫师 #278

对于 4 到 6 点：((7-p)/(5+p))*(1/(1+o))

对于 8 到 10 分： ((p-7)/(19-p))*(1/(1+o))

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

根据历史经验，每场比赛至少有一次安全得分的概率为 5.77%。

每场比赛的预期安全次数为 -ln(1-0.0577) = 0.0594。

每队每季度的预期人数为 0.0594/8 = 0.0074。

同一支球队在单个季度中恰好有两次安全得分的概率为 e ^-0.0074 ×0.0074 ² /fact(2) = 36,505 分之一。

NFL一个赛季有267场比赛，球队有267×8=2136个赛季。所以，根据我的估计，这种情况平均每36505/2136=17.1年就会发生一次。

这应该只是一个粗略的猜测。为了简单起见，我没有考虑游戏中的一些因素。

是否判定为有效掷骰取决于您所在地区。新泽西州博彩法规 19:47-1.9(a) 规定：

当其中一个或两个骰子离开桌面，或者一个骰子停在另一个骰子上面时，掷骰子无效。——新泽西州 19:47-1.9(a)

宾夕法尼亚州有完全相同的规定， 即第 537.9(a) 条：

当其中一个或两个骰子离开桌面，或者一个骰子停在另一个骰子上面时，掷骰子无效。——PA 537.9(a)

我问过一位拉斯维加斯的骰子荷官，他说如果掷骰子的结果在其他方面都正确，那么这就算有效掷骰。虽然他从未见过这种情况，但他表示，如果真的发生了，荷官会简单地移动顶部骰子，看看底部骰子落在哪个数字上。然而，人们可以在不触碰或查看顶部骰子的情况下判断底部骰子的结果。方法如下。首先，通过观察骰子的四个面，你可以将前面两种可能性缩小到两种。以下是如何根据这三种可能性进行判断。

• 1 或 6：寻找 3。如果高点与 5 相邻，则 1 位于上方。否则，如果高点与 2 相邻，则 6 位于上方。
• 2 或 5：寻找 3。如果高点与 6 相邻，则 2 位于上方。否则，如果高点与 1 相邻，则 5 位于上方。
• 3 或 4：寻找 2。如果高点与 6 相邻，则 3 位于上方。否则，如果高点与 1 相邻，则 4 位于上方。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

这个问题是在 TwoPlusTwo.com 上提出的， BruceZ给出了正确的答案。以下解答与 BruceZ 的方法相同，值得称赞。答案比较难，请仔细阅读。

1. 首先，考虑一下预期掷出 2 点的次数。掷出 2 点的概率是 1/36，所以平均需要掷 36 次才能掷出第一个 2 点。

2. 接下来，考虑同时掷出 2 和 3 的预期次数。我们已经知道，平均需要掷 36 次才能掷出 2。如果在等待 2 的过程中掷出了 3，那么就不需要再掷 3 了。然而，如果没有，就需要掷更多次才能掷出 3。

   掷出三的概率是 1/18，所以如果先掷出二，平均需要额外掷 18 次才能掷出三。假设掷出二的方法只有一种，掷出三的方法有两种，那么先掷出二的概率是 1/(1+2) = 1/3。

   所以，有1/3的概率我们需要额外掷18次才能掷出3。因此，同时掷出2和3的预期次数为36+(1/3)×18 = 42。

3. 接下来，考虑一下你还需要掷多少次才能掷出4。如果你掷出2和3的时候还没有掷出4，那么平均下来你还需要掷12次才能掷出1次。这是因为掷出4的概率是1/12。

   那么，先得到四，再得到二和三的概率是多少呢？首先，让我们回顾一下当 A 和 B 不互斥时的一个常见概率规则：

   pr(A 或 B) = pr(A) + pr(B) - pr(A 和 B)

   你减去 pr(A 和 B)，因为这个偶然性在 pr(A) + pr(B) 中被重复计算了。所以，

   pr(2 或 3 之前 4) = pr(2 之前 4) + pr(3 之前 4) - pr(2 和 3 之前 4) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0.85。

   在掷出2和3的过程中，没有掷出4的概率是1.0 - 0.85 = 0.15。因此，需要额外掷12次的概率为15%。因此，掷出2、3和4的预期次数为42 + 0.15*12 = 43.8。

4. 接下来，考虑一下你还需要掷多少次才能掷出5。当你掷出2到4的时候，如果你还没有掷出5，那么平均来说，你需要再掷9次才能掷出1，因为掷出5的概率是4/36 = 1/9。

   在得到2、3或4之前得到5的概率是多少？一般规则是：

   pr (A 或 B 或 C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A 和 B) - pr(A 和 C) - pr(B 和 C) + pr(A 和 B 和 C)

   因此，pr(2 或 3 或 4 之前 5) = pr(2 之前 5)+pr(3 之前 5)+pr(4 之前 5)-pr(2 和 3 之前 5)-pr(2 和 4 之前 5)-pr(3 和 4 之前 5)+pr(2、3 和 4 之前 5) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90。在从 2 到 4 的过程中没有掷出 4 的概率是 1 - 83/90 = 7/90。因此，有 7.78% 的可能性需要额外掷 7.2 次。因此，掷出 2、3、4 和 5 的预期次数是 43.8 + (7/90)*9 = 44.5。

5. 继续用同样的逻辑，计算总数从 6 到 12 的概率。每次计算下一个数字作为最后一个数字之前的概率时，所需的计算次数大约翻倍。当总数达到 12 时，你将需要进行 1,023 次计算。

   这是 pr(A 或 B 或 C 或 ... 或 Z) 的一般规则

   pr(A 或 B 或 C 或 ... 或 Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (A 和 B) - pr(A 和 C) - ... - pr(Y 和 Z) 减去两个事件的每种组合的概率
   + pr (A and B and C) + pr(A and B and D) + ... + pr(X and Y and Z) 将三个事件的每种组合的概率相加
   - pr (A 和 B 和 C 和 D) - pr(A 和 B 和 C 和 E) - ... - pr(W 和 X 和 Y 和 Z) 减去四个事件的每种组合的概率

   然后不断重复，记住奇数事件的概率加起来，偶数事件的概率减去。对于大量可能发生的事件，这显然会变得繁琐，实际上需要电子表格或计算机程序。

下表显示了每一步的预期点数。例如，掷出 2 需要掷 36 点，掷出 2 和 3 需要掷 42 点。右下角单元格显示掷出全部 11 个点数的预期次数为 61.217385。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。