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请问巫师 #263

2010年10月29日， 《拉斯维加斯评论报》刊登了一项关于里德和安格尔参议员竞选的民意调查。调查显示，在对625名潜在选民的调查中，安格尔的得票率为49%，里德的得票率为45%。调查还显示，误差幅度为4%。以下是我的问题：
  1. Angle 获胜的概率是多少？
  2. Angle 的得票率的 95% 置信区间是多少？
  3. 误差幅度是什么意思？

Anon E. Mouse

抱歉，回复得有点过时。以下是我在选举前写的。

首先，我要剔除剩下的6%，他们要么犹豫不决，要么会把选票浪费在第三方候选人身上，或者“以上皆非”（在内华达州，这两者是可以考虑的）。有些人可能不同意这个假设。说实话，忽略他们的另一个原因是，如果候选人超过两位，计算起来会更加复杂。所以，四舍五入后，安格尔有306票，里德有281票，样本总数为587票。

我将使用标准正态近似来回答这个问题。如果我是一个完美主义者，那么我会使用T分布，因为实际的均值和方差是未知的。然而，在我看来，对于正态分布来说，587的样本量是完全可以接受的。

样本量 = 306+281 = 587。

角度样本平均值为 306/587 = 0.521295。

平均值的估计标准差为 (0.521295 × 0.478705 / (587-1))^0.5 = 0.0206361。

Angle 的 50% 以上的份额为 (0.521295-0.5)/0.0206361 = 1.031917 个标准差。

根据正态分布，Reid 最终结果超出预期 1.031917 个标准差的概率为 0.151055。这可以在 Excel 中使用函数 NORMSDIST(-1.031917) 计算得出。因此，Angle 获胜的概率为 1-0.151268 = 84.89%。

要创建 95% 的置信区间，请注意高斯曲线两侧 2.5% 的点与平均值之间的标准差为 1.959964。这可以在 Excel 中使用函数 NORMSINV(0.975) 计算得出。如前所述，样本平均值的估计标准差为 0.0206361。因此，两位候选人的得票率与民调结果之间的标准差在 0.0206361×1.959964 = 0.040446 以内的可能性为 95%。因此，Angle 的 95% 置信区间为 0.521295 +/- 0.040446 = 48.08% 至 56.17%。

有人告诉我，如果这样表述在数学上是不正确的：“Angle在所有Angle/Reid选票中的份额有95%的可能性落在48.08%到56.17%之间。” 我最初的回答就是这样的，但两位统计学家对我的措辞感到震惊。解释一下他们的回答，他们说我必须使用被动语态，说“48.08%和56.17%将以95%的概率围绕Angle的份额”。 说实话，在我看来，这听起来是一样的。然而，他们强调置信区间是随机的，而Angle的份额是不可改变的，而我最初的措辞暗示了相反的意思。无论如何，我希望频率统计专家们会对第二种表述感到满意。

“误差幅度”是95%置信区间两端差值的一半。在本例中，(56.17% - 48.08%)/2 = 4.04%。

作为后续，以下是实际结果：

里德：361,655
角度：320,996
其他：21,979

因此，不计入“其他”选票，里德获得了53.0%的选票，安格尔获得了47.0%的选票。里德轻松赢了6%。这不禁让人思考，民调结果为何如此悬殊。是偶然吗？选民改变了主意吗？还是民调结果本身就很糟糕？我把这些问题留给读者去思考（我讨厌教科书上这么说）。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

最近的一个嘉年华推出了一款井字棋游戏。游戏价格为1英镑，玩家需要将三个弹力十足的球扔向一个底部有9个格子的大木箱。假设每个球都落在不同的格子里，那么获胜的概率是多少？

WizardofEngland

有八种获胜方式：三行、三列和两条对角线。从 9 个方格中抽出 3 个，一共有(9,3)=84 种组合方式。因此，获胜概率为 8/84 = 9.52%。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。
是不是只有我一个人觉得在线赌场提供“现场二十一点”听起来就让人想算牌？

Malaru

我同意，这确实是一个不错的优势玩法。5dimes 真人娱乐场游戏提供以下规则：

  • 6 层甲板。
  • 牌盒开始时烧一张牌，每次换发牌员时也烧一张牌，每30分钟一次。如果管理员不得不介入，我见过两次，那么就会烧掉三张牌。
  • 庄家在软 17 点时停牌。
  • 提前投降，除非面对 Ace。
  • 允许分牌后加倍。
  • 仅分成两只手。
  • 没有底牌，但玩家只输给庄家黑杰克的原始赌注。
  • 投注范围：$5-$250、$10-$250 或 $25-$500

根据这些规则，赌场优势为 0.24%。

规则规定渗透率为75%。我两次数了每副牌的牌张数，两次都是211张，也就是68%。我论坛的一位成员Shortow在YouTube上发布了两个切牌的视频：视频1 和视频2。在我看来，视频2的渗透率似乎更高一些。我估计渗透率在60%到70%之间，具体数字取决于荷官。

玩家不仅可以轻松计算这局牌，还可以使用单独屏幕上的计算器做出完美的决策。二十一点实时分析器（Blackjack Real Time Analzyer）就是这样一款产品。然而，我不知道他们采用了什么样的游戏保护措施。扫描每张牌后，很容易就能确定牌点和下注大小之间的相关性，如果相关性足够正，就应该发出警告。

如果你尝试一下，我很想知道会发生什么。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

我与⼀位朋友打赌, 他⼀般是在我可以击败spread点差让分50%的地⽅下 注、或者在将临的NFL美式⾜球每⼀场正规球季。如果我赢的话, 我会拿 到$1000. 如果他赢的话, 我得⽀付$500. 直到10/31/10星期⽇我领先19场 ⽐赛、⽽他要与我deal交易妥协。这时哪⼀种提议⽐较好？

clarkacal

很不错的打赌, 简直是轻⽽易举。这就像是丢掷硬币拿到2⽐1的赔率。甚 ⾄更好, 因为你在tie和局也会赢。

在写作本⽂的当时, 正规球季的256场⽐赛已经进⾏了95场。运⽤binomial distribution⼆项式分布, 我显⽰出你赢的机率为99.87%. 公平的议定价格 应该是$998.02.

这个问题曾被提出与讨论在我的伙伴⺴站讨论区 拉斯维 加斯巫师。 .