请问巫师 #262
《The Price is Right》中的 Punch a Bunch 游戏每次出拳的平均奖金和最佳策略是多少？
对于那些不熟悉规则的人，可以在“价格猜猜猜”网站上查看规则说明。如果您不熟悉这个游戏，请花点时间去那里看看，因为我假设您知道规则。YouTube上也有一些关于这个游戏的视频。这里有一个旧视频，展示了第二次机会，但当时的最高奖金只有1万美元。现在是2.5万美元。
首先，我们来计算一下没有第二次机会的奖金的预期价值。下表显示，平均为1371.74美元。
打出一堆奖品，没有第二次机会
| 奖 | 数字 | 可能性 | 预期胜利 |
| 25000 | 1 | 0.021739 | 543.478261 |
| 10000 | 1 | 0.021739 | 217.391304 |
| 5000 | 3 | 0.065217 | 326.086957 |
| 1000 | 5 | 0.108696 | 108.695652 |
| 500 | 9 | 0.195652 | 97.826087 |
| 250 | 9 | 0.195652 | 48.913043 |
| 100 | 9 | 0.195652 | 19.565217 |
| 50 | 9 | 0.195652 | 9.782609 |
| 全部的 | 46 | 1.000000 | 1371.739130 |
其次，计算有第二次机会的平均奖金。下表显示，平均奖金为225美元。
利用第二次机会赢得丰厚奖金
| 奖 | 数字 | 可能性 | 预期胜利 |
| 500 | 1 | 0.250000 | 125.000000 |
| 250 | 1 | 0.250000 | 62.500000 |
| 100 | 1 | 0.250000 | 25.000000 |
| 50 | 1 | 0.250000 | 12.500000 |
| 全部的 | 4 | 1.000000 | 225.000000 |
第三，根据玩家找到的第二次机会数量创建一个预期价值表。这可以通过简单的数学计算得出。例如，2次第二次机会的概率为(4/50)×(3/49)×(46/48)。s次机会的预期收益为1371.74美元+s×225美元。下表显示了0到4次第二次机会的概率和平均收益。
Punch a Bunch 奖品返还表
| 第二次机会 | 可能性 | 平均胜利 | 预期胜利 |
| 4 | 0.000004 | 2271.739130 | 0.009864 |
| 3 | 0.000200 | 2046.739130 | 0.408815 |
| 2 | 0.004694 | 1821.739130 | 8.551020 |
| 1 | 0.075102 | 1596.739130 | 119.918367 |
| 0 | 0.920000 | 1371.739130 | 1262.000000 |
| 全部的 | 1.000000 | 1390.888067 |
因此，每次出拳的平均赢利（包括第二次机会的额外奖金）为 1390.89 美元。
下表展示了我根据剩余击球次数确定最低赢额的策略。请注意，玩家可以通过三次第二次机会赢得 1,000 美元 + 250 美元 + 100 美元 + 50 美元的奖金，最终赢得 1,400 美元。
打击一堆策略
| 剩余冲孔数 | 最低站立高度 |
| 3 | 5,000 美元 |
| 2 | 5,000 美元 |
| 1 | 1,400美元 |
这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。
掷骰子的人在掷出七点之前平均掷出多少点？
假设一个点数已经确定，投球者投中该点数的概率为 pr(点数为 4 或 10) × pr(投中 4 或 10) + pr(点数为 5 或 9) × pr(投中 5 或 9) + pr(点数为 6 或 8) × pr(投中 6 或 8) = (6/24) × (3/9) + (8/24) × (4/10) + (10/24) × (5/11) = 201/495 = 0.406061。
如果某个事件发生的概率为 p，那么该事件在失败前发生的预期次数为 p/(1-p)。因此，每位射手的预期得分为 0.406061/(1-0.406061) = 0.683673。
这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。
一次比较两个元素，对列表进行排序的最快方法是什么，从而最大限度地减少比较次数？
有几种方法效果差不多。不过，我发现最容易理解的方法是合并排序。它的工作原理如下：
- 将列表一分为二。继续将每个子集再分成两部分，直到每个子集的大小都为 1 或 2。
- 对 2 的每个子集进行排序，将较小的成员放在最前面。
- 将子集对合并在一起。不断重复，直到只剩下一个排序好的列表。
合并两个列表的方法是比较每个列表的第一个成员，并将较小的一个放入一个新列表中。然后重复此操作，将较小的一个放在上一次比较的较小成员之后。不断重复此操作，直到两组合并为一个有序组。如果原始列表之一为空，则可以将另一个列表附加到合并后列表的末尾。
下表显示了根据列表中元素的数量所需的最大比较次数。
合并排序
| 元素 | 最大比较数 |
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 4 | 5 |
| 8 | 17 |
| 16 | 49 |
| 三十二 | 129 |
| 64 | 321 |
| 128 | 769 |
| 256 | 1,793 |
| 512 | 4,097 |
| 1,024 | 9,217 |
| 2,048 | 20,481 |
| 4,096 | 45,057 |
| 8,192 | 98,305 |
| 16,384 | 212,993 |
| 32,768 | 458,753 |
| 65,536 | 983,041 |
| 131,072 | 2,097,153 |
| 262,144 | 4,456,449 |
| 524,288 | 9,437,185 |
| 1,048,576 | 19,922,945 |
| 2,097,152 | 41,943,041 |
这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。
如果⼀⽀NFL球队在上次⽐赛彻底被击败, 在下⼀场的⽐赛是否还要押注 他们、或者反向押注他们？相同的问题也针对在⼀次⽐赛⼤胜之后。我总 会听到, ⼀⽀球队在⼤输之后、将会「想要证明⾃⼰」, ⽽⼀⽀球队在⼤赢 之后、或许因为过度⾃信⽽变得懒散。怎样才是真的？
我显⽰出在输掉21分或更多分之后、球队将会涵盖51.66%的spread点差 让分。然⽽, 那是在误差范围之内。以下的列表显⽰对抗上⼀场⽐赛的 spread点差让分结果, 根据同⼀⽀球队之前⽐赛的输或赢状况。结果从未 偏离50%、总是维持在standard deviation标准误差之内。基本上, 我找不 到输赢之间在spread点差让分、以及上⼀场⽐赛输赢多少分的统计关联 性。
赢/输/和局对抗Spread点差让分、根据上⼀场⽐赛胜负的范围
| 上⼀场⽐赛结果 | 赢注对抗点差让分 | 输注对抗点差让分 | 和局对抗点差让分 | 赢注⽐率 | 标准误差 |
| 赢21分或更多 | 233 | 247 | 17 | 48.54% | 2.28% |
| 赢14-20分 | 235 | 219 | 11 | 51.76% | 2.35% |
| 赢10-13分 | 188 | 180 | 8 | 51.09% | 2.61% |
| 赢7-9分 | 198 | 181 | 12 | 52.24% | 2.57% |
| 赢4-6分 | 164 | 170 | 12 | 49.10% | 2.74% |
| 赢3分 | 202 | 212 | 14 | 48.79% | 2.46% |
| 赢2分 | 184 | 188 | 14 | 49.46% | 2.59% |
| 输3分 | 209 | 207 | 12 | 50.24% | 2.45% |
| 输4-6分 | 174 | 163 | 9 | 51.63% | 2.72% |
| 输7-9分 | 187 | 195 | 9 | 48.95% | 2.56% |
| 输10-13分 | 173 | 189 | 14 | 47.79% | 2.63% |
| 输14-20分 | 220 | 232 | 15 | 48.67% | 2.35% |
| 输21分或更多 | 249 | 233 | 15 | 51.66% | 2.28% |
列表是根据2000年球季周1到2010年球季周4的每⼀场NFL美式⾜球⽐ 赛。
Pinnacle运动签赌公布他们的概率以⼩数点的模式。我要如何将运动签赌 概率从⼩数点模式转换到American format美国模式？
让我们检视2010年⼗⽉25⽇星期⼀晚上⾜球⽐赛为例。 European odds 欧洲概率公布为:
New York Giants 2.750
Dallas Cowboys 1.513
两个数值代表你在⼀个单位如果赢了、将会获得的回报, 包括你原初的赌 注在内。当⼩数点的概率⼤于或等于2, 那么转换就很容易: 只要减去1, 接 着再乘以100. 如果概率⼩于2, 那么(1)减去1, (2) 取其倒数, 再(3 )乘 以-100.
如果你偏好使⽤公式, 若是⼩数点概率⽀付 x, 这⾥是等同于美国概率的计 算:
If x>=2: 100*(x-1)
If x<2: -100/(x-1)
在以上的范例当中, 美国概率公式为:
New York Giants: 100*(2.750-1) = +175
Dallas Cowboys: -100/(1.513-1) = -195
你也可以⾃动转换所有赌盘的概率, 利⽤选取「American Odds美国概 率」在Pinnacle⺴站logo上⽅、左上⾓pulldown menu拉下式选单中。