请问巫师 #259

为了方便其他读者，在欧洲的许多赌场，如果您在轮盘赌中下了等额赌注，而球落在零上，则该赌注将被冻结。如果下一轮结果导致该赌注获胜，则该赌注将被退回，且不计奖金。如果球落在相反方向，则该赌注失败。

如果球落在零上，单次禁注会怎样？如果赌场只允许单次禁注，那么它会输。然而，有些赌场允许双次禁注，这就是会发生的情况。如果双次禁注赢了，它会恢复为单次禁注。如果赌场只允许最多双次禁注，那么双次禁注在另一个零上会输。同样的逻辑，如果赌场允许三次禁注，那么双次禁注在另一个零上会变成三次禁注。

三重监禁下的赌场优势是1.370120%。在我解释如何得出这个结论之前，我们先来比较一下单重监禁和双重监禁。假设第一个赌注押在红色上。

设 Z = 零的概率 = 1/37。
设 R = 红色数字的概率 = 18/37。

单人监禁

pr（推）= ZR = 0.0131482834。
pr（胜利）= R = 0.4864864865。
pr(损失) = 1-pr(推)-pr(赢) = 0.5003652301。
预期值 = pr(赢)-pr(输) = -0.0138787436。

双重监禁

如果第一轮结果为零，玩家将推牌。之后，玩家可以无限次重复 ZR，直到获得红色。换句话说，推牌的方式如下：

ZR, Z(ZR)R, Z(ZR)(ZR)R, Z(ZR)(ZR)(ZR)R, ...

pr（推）= 0.013323464
pr（胜率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(损失) = 1-pr(推)-pr(赢) = 0.5001900494。
预期值 = pr(赢)-pr(输) = -0.0137035629。

三重监禁

首先，我们来计算一下单注被禁的概率 p ₁ ，即单注变成三注，加上两个零，然后最终又升回单注。这种情况可能发生如下：

ZZRR、ZZ(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)(RZ)RR、...

换句话说，赌注可以在三倍监禁和双倍监禁之间无限次地反复。

其次，设 p ₂ = 单个监禁赌注达到第一级或第二级监禁，然后返回到单个监禁的概率。

令 p ₂ = ZR + p ₁ = 0.013323464。

玩家可以无限次地重复返回第一层。因此，平局的概率为：

ZR + _Zp2R + _{Zp2p2R + Zp2p2p2R} + _{... =}

Z × (1/(1- p ₂ )) × R = 0.013325830。

pr（推）= 0.013325830。
pr（胜率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(损失) = 1-pr(推)-pr(赢) = 0.5001876839。
预期值 = pr(赢)-pr(输) = -0.0137011974。

无限期监禁

玛夫，你没问，但我听说西班牙允许无限期监禁。设p=推搡的概率。这也是从x级监禁开始，逐级下降，最终回到x级监禁的概率。

p = ZR + ZpR + ZppR + ZpppR + ...

p ² - p + ZR = 0

根据二次公式 p = (1-(1-4*RZ) ^1/2 )/2 = 0.0133258620。

pr（推）= 0.0133258620。
pr（胜率）= 18/37 = 0.4864864865。
pr(损失) = 1-pr(推)-pr(赢) = 0.5001876515。
预期值 = pr(赢)-pr(输) = -0.0137011650。

Zeros 无视监禁

最后，有些赌场会忽略第一个零之后的零，因为第一个零会限制赌注。在这种情况下，平局的概率就是 (1/37)×(1/2) = 0.0135135135。

下表总结了所有四种规则。

我要感谢 ChesterDog 和 weaselman 提供的数学帮助。我还要感谢 G. Artico 教授和 polarprof.it 提供上述求和公式的 HTML 代码，并在此做个宣传。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

7,281.8 个金币。有趣的是，如果你只在这个计量表上玩一次，那么回报率只有 98.5%。你应该在这个点玩，是因为你假设你有能力一直玩到中大奖。这就像拥有一个 2% 返现的老虎机俱乐部。98.5% + 2% = 100.5%。

我想补充一点，如果你在累积奖金刚好达到7,281.8个硬币时开始使用4,000个硬币的累积奖金策略，你预期可以获利201.18个硬币。但是，如果你花时间学习了7,281.8个硬币累积奖金的策略变化，那么你的预期利润将是234.31个硬币。

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斯坦福·黄（Stanford Wong）在他的著作《基础二十一点》（Basic Blackjack）中探讨了二十一点中的百搭牌。书中他指出，每副牌中每张百搭牌对玩家来说价值4.2%。因此，每副牌中半张百搭牌的价值为2.1%。书中还介绍了一种策略，根据你的其他牌以及庄家的明牌，决定将哪张牌作为百搭牌。

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根据2010年9月《当代二十一点简讯》的报道，拉斯维加斯共有2099张二十一点赌桌。下表显示了四种最大二十一点变体的数量。

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