请问巫师 #235

我遇到过一种在波罗的海国家和俄罗斯流行的绿洲扑克（Oasis Poker）变体，叫做皇家扑克（Royal Poker）。以下是英文版规则。它添加了各种场景，可以进行各种附加投注。就我在赌场看到的情况而言，它会让玩家变成傻瓜。他们买牌，试图把最差的牌都变成大赢家等等。你能想出一个算法来模拟一些结果，并计算出这个游戏的赌场优势和策略吗？谢谢！

Martin 来自 Tallinn

我越来越频繁地被问到这个问题。不幸的是，这个游戏的组合数量会非常庞大。一个暴力循环程序可能需要数千年才能完成。然而，优秀的程序员总能找到捷径。权衡利弊之后，我觉得这个项目不太值得我花时间。如果我住在俄罗斯或波罗的海国家，我可能会有不同的感受。

为了方便其他读者，皇家扑克类似于加勒比梭哈扑克，但增加了以下选项。我的理解是，玩家可以启用其中任意一个或所有选项，但不能同时启用选项2和选项3。

如果玩家能组成两手牌，且两手牌都击败庄家，且两手牌都不完全在另一手牌之内，那么两手牌都能获得赔付。我不确定底注和/或加注是否会被支付两次。例如，如果玩家有六张牌，并且能组成顺子和同花，那么玩家两手牌都可以获得赔付。
玩家可以交换一至五张牌，作为 Ante 的价格。
玩家可以以 Ante 的价格购买第六张牌。
玩家可以在庄家翻开四张面朝下的牌之前购买“保险”。如果庄家不具备资格，保险投注将支付等额的赔付。
玩家可以强迫庄家将他的最大牌换成牌堆中的下一张牌，以支付 Ante 赌注的代价。
有一个“AA 红利”边注，如果玩家的前五张牌是一对 A 或更高，则赔率为 7 比 1。

我可以说，AA 红利附加注和保险选项永远都不应该下，因此它们毫无价值。AA 红利的赌场优势是 12.99%。下表显示，保险的赌场优势在 8.57% 到 33.57% 之间，具体取决于庄家的明牌。

俄罗斯扑克中的保险

庄家的明牌	组合	可能性	预期值
一个	132804	0.335714	-0.328571
钾	132804	0.335714	-0.328571
问	108528	0.457143	-0.085714
J	108732	0.456122	-0.087755
10	108936	0.455102	-0.089796
9	109140	0.454082	-0.091837
8	109140	0.454082	-0.091837
7	109140	0.454082	-0.091837
6	109140	0.454082	-0.091837
5	109140	0.454082	-0.091837
4	108936	0.455102	-0.089796
3	108732	0.456122	-0.087755
2	108528	0.457143	-0.085714

我还从我在Oasis Poker的页面上了解到，仅仅是换牌选项就能将赌场优势从5.22%降低到1.04%。我倾向于认为，如果你掌握了正确的策略，那么获得双倍赔付、保留第六张牌（而不是换牌）以及迫使庄家换牌的规则，就能让游戏获得有价值的玩家优势。很抱歉跟你耍费马大招，但目前我只能做到这些了。

附言：我听说有些赌场会加一条规则，如果玩家赢了，那么底注只能算作平局。我认为这对赌场非常有利，因为赌场的优势会被抹去。

我最近参加了一个抽奖活动，奖品有7033个，据说中奖概率是1/13。我买了5张彩票。我实际中奖概率是多少？另外，大奖有40个。我中大奖的概率是多少？

anonymous 来自 Mesa, AZ

为了简单起见，我们忽略这样一个事实：你买的彩票越多，每张彩票的价值就越低，因为你是在与自己竞争。也就是说，输掉五张彩票的概率是 (12/13) ⁵ = 67.02%。所以至少赢得一次奖的概率是 32.98%。在你买彩票之前，彩票桶里总共有 7033×13=91,429 张彩票。91,429-40=91,389 张彩票不是大奖。五张彩票中不了大奖的概率是 (91,389/91429) ⁵ = 99.78%。所以至少赢得一次大奖的概率是 0.22%，也就是 458 分之一。

按照你的说法，我们玩的时间越长，损失就越接近负预期值，也就是赌场优势。那么，如果我们是完全理性的玩家，是不是应该把全部资金都押在一次投注上，以避免这种逐渐逼近的函数呢？这是 Bluejay 在vegasclick.com上给出的建议。

因此，Bluejay 说道：“……如果你知道玩的时间越长，输的可能性就越大，那么玩的时间越短，赢的几率就越大。而你最短的时间只能玩一次。所以从统计学上讲，这是你最好的选择：只下一次等额赌注，一次性把所有钱都押上……”

概率魔法师同意这个推理吗？

Peter 来自 Sydney

是的，绝对没错！如果你的目标是赢或输 x 美元，并且仅限于等额投注游戏，那么只需进行一次等额投注就能最大化你的胜率。这曾经是《赌场》一集（从未播出）中的情况，尽管不限于等额投注。当时有人向我咨询，如何在普通游戏和 1,000 美元的起始资金下，最大化赢得 4,000 美元的胜率。我让他们在过线投注 100 美元，然后在掷骰子游戏中在赔率投注 900 美元。不幸的是，我们输了。如果我们赢了那次投注，我会让他们下注足够多的金额，以达到 4,000 美元的目标。

然而，如果考虑到乐趣，你可以通过长时间的小额投注获得更多收益。如果你只是想尽量减少预期损失，那就干脆别玩了。

最近一篇文章透露，北卡罗来纳大学首发控球后卫泰·劳森曾说过：“我唯一输过一次是在里诺；当时队里所有人都输了，”他说。“那是我唯一输过的地方。另外五六次我赌博，至少赢了500美元。”

Ben 来自 Austin, TX

如果我们忽略赌场优势（如果玩得好，赌场优势在掷骰子游戏中非常低），那么赢 500 美元而不是输 1000 美元的概率是 2/3。那么 5 次游戏中赢 4 次的概率就是 5×(2/3) ⁴ ×(1/3) = 32.9%。