请问巫师 #220
保罗·马格里尔的《西洋双陆棋》 ：如果说西洋双陆棋有一本圣经，那一定是这本了。我骄傲地拥有一本老精装版。这本书会是很好的入门书。虽然这本书写于1976年，但其中的建议仍然适用。
比尔·罗伯蒂的《501道西洋双陆棋基本题》 ：多年来我一直想通读这本书，但到现在才完成了一半。一半的题目都答错，真是令人沮丧，甚至让我觉得自己玩西洋双陆棋就像打高尔夫一样糟糕。然而，每错一道题，都蕴藏着宝贵的经验教训。对于中高级棋手来说，这本书是一本宝贵的学习工具，能让人谦卑下来。
Snowie 西洋双陆棋软件：我每年用它下大约1000盘。Snowie 不仅棋艺近乎完美，还能精准地告诉你失误的代价有多大。它还有很多我从未探索过的功能。如果说我从 Snowie 身上学到了什么，那就是我最大的问题在于，有时我看不清明显的走法，从而犯下愚蠢的错误。就像下象棋一样，一步错棋就能毁掉一百步好棋。
Motif 网站：在购买 Snowie 之前，我和 Motif 打过无数盘。在我看来，Motif 的策略非常扎实。没有什么比与更强大的对手比赛更能提升自己的水平了。
玩家A：10,000美元
玩家B：8,000美元
玩家C：3,500美元
让我们从玩家C开始。他应该预期，如果B猜对了，A可能会下注6001美元，以保持领先于B。然而，如果A猜错了，他的筹码就会降到3999美元。在这种情况下，C需要至少下注500美元，并且猜对了，才能击败A。然而，在我看来，如果必须猜对才能赢，那不妨下大注。所以，如果我是CI，我会孤注一掷。
B 左右为难，不知道该押大还是押小。小额投注应该不超过 999 美元，这样才能在 C 正确的情况下保持高于 C 的赔率。小额投注的好处是，无论怎样，都能保持在 C 之上，希望 A 押大，但结果却是错的。大额投注不一定要押全，但也有可能。大额投注的好处是，希望 A 押小，或者押大但结果却是错的，但两者都需要 B 正确。
A 基本上想和 B 走同一条路。A 的小额投注可以是 0 美元到 1000 美元之间的任何金额，如果 B 下注 999 美元，A 的投注额就会高于 B 的投注额。大额投注应该是 6001 美元，这样既能保证 A 猜对了就能赢，又能在 B 下大注，而其他三位玩家都猜错的情况下保住胜算。
为了帮助计算正确和错误答案的八种可能结果的概率，我查看了 j-archive.com（现已停用）上第 20 季至第 24 季的《危险边缘》最终结果。结果如下：玩家 A 领先，其次是玩家 B，C 垫底。
《最终危险》的可能结果
| 玩家A | 玩家B | 玩家C | 可能性 |
| 正确的 | 正确的 | 正确的 | 21.09% |
| 正确的 | 正确的 | 错误的 | 9.73% |
| 正确的 | 错误的 | 正确的 | 10.27% |
| 错误的 | 正确的 | 正确的 | 8.74% |
| 正确的 | 错误的 | 错误的 | 13.33% |
| 错误的 | 正确的 | 错误的 | 10.27% |
| 错误的 | 错误的 | 正确的 | 8.63% |
| 错误的 | 错误的 | 错误的 | 17.92% |
使用我在我的网站mathproblems.info上的问题 192 中解释的博弈论逻辑，我发现 A 和 B 应该按如下方式随机化他们的策略。
玩家 A 应该下大注的概率为 73.6%，下小注的概率为 26.4%。
玩家 B 应该以 67.3% 的概率下大注，以 32.7% 的概率下小注。
玩家 C 应该以 100.0% 的概率下大赌注。
如果遵循这一策略，每个玩家获胜的概率如下：
玩家A：66.48%
玩家B：27.27%
玩家C：6.25%
顺便说一句，根据上表，领先者答对《最终危险边缘》的概率为 54.4%，第二名玩家为 49.8%，第三名玩家为 48.7%。总体概率为 51.0%。
从实际操作上讲，玩家确实了解投注行为。在我看来，玩家下注的次数往往超出了数学上的合理范围。有趣的是，我发现在“每日双倍”节目中投注过于保守，超出了数学上的合理范围。我认为肯·詹宁斯之所以表现如此出色，原因之一就是他在“双倍双倍”节目中下注激进。总之，如果我真的上节目，我会假设其他两位玩家也会下注激进。所以我实际的投注金额是：A 下注 6000 美元（对 B 友善），B 下注 0 美元，C 下注 3495 美元（留一点未下注金额，以防 A 愚蠢地押上所有金额或只剩 1 美元，结果错了）。
在有人向我提问如何在实际场地中抽取随机数之前，让我先建议一下斯坦福·黄 (Stanford Wong) 的策略，即使用手表的秒针从 1 到 60 中抽取一个随机数。