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Wizard 巫师推荐

请问巫师 #215

在2008年世界扑克大赛中，万渊元之的四A被贾斯汀·菲利普的皇家同花顺击败。我有个关于这种情况发生的概率的简单问题。ESPN和其他媒体称，发生这种情况的概率约为27亿分之一。在我看来，他们只是把公布的四A出现的概率乘以皇家同花顺出现的概率。这是正确的计算方法吗？

Wade

我也不同意27亿分之一这个数字。正如你所说，他们似乎独立计算了每个玩家的概率，只针对两个玩家都使用底牌的情况，然后相乘。用这种方法，我得到的概率是0.000000000341101，大约是29亿分之一。也许27亿分之一的概率也涉及到对两个玩家概率的舍入误差。他们显然也忘了把概率乘以2，原因我稍后会解释。

四张 A 输给同花大顺有以下三种可能情况。

情况 1：一名玩家有两张同花大顺，另一名玩家有两张 A，并且牌面上有另外两张 A、另外两张同花大顺牌以及任何其他牌。

例子：

玩家 1：
玩家 2：
木板：

在大多数扑克室里，要想赢得爆冷大奖，赢家和输家都必须用掉两张底牌。视频里的爆冷也属于这种类型；事实上，这些牌型也正是爆冷的。

情况 2：一名玩家有两张同花大顺 (TK)，另一名玩家有一张 A 和一张“空白”牌，并且牌面上有另外三张 A 和另外两张同花大顺牌。

例子：

玩家 1：
玩家 2：
木板：

情况 3：一名玩家有一张同花大顺 (TK) 和一张空白牌，另一名玩家有两张 A，并且牌面上有另外两张 A 和另外三张同花大顺的牌。

例子：

玩家 1：
玩家 2：
木板：

下表显示了玩家和棋盘每种情况的组合数。右下角单元格显示组合总数为 16,896。

坏节拍组合

案件玩家 1玩家 2木板产品
1 24 3四十四3,168
2 24 132 1 3,168
3 704 3 1 2,112
全部的8,448

然而，即使我们把两位玩家的牌都反过来，仍然可能出现爆牌。所以，我们应该将组合数乘以2。调整后，总有效组合数为2 × 8,448 = 16,896。

双人德州扑克所有组合的总数为( 52,2) × (50,2) × (48,5) = 2,781,381,002,400。因此，四张 A 输给同花大顺的概率为 8,448/2,781,381,002,400 = 0.0000000060747，约为 1.65 亿分之一。单次爆冷的概率为 4.39 亿分之一。赔率没有视频中报道的那么低，原因很简单，因为两手牌有重叠，共用一张 A。换句话说，这两个事件呈正相关。

据我了解，纽约州蒙蒂塞洛和扬克斯的“赛马场赌场”被称为“视频彩票终端”。我读到过，它们并非真正的老虎机/视频扑克机，因为它们不使用随机数生成器，而是连接到位于奥尔巴尼的一台中央计算机，该计算机控制着游戏结果。例如，在视频扑克游戏中，如果你最初拿到四张同点牌，然后你全部弃掉，它就会重新出现并成为赢家，因为中央计算机的编程设定是让你的机器拿到四张同点牌。因此，任何策略都是无用的。是这样吗？

根据《揭露纽约视频扑克的真相》一文，您说得完全正确。玩家的结果确实是命中注定的。无论玩家持有什么牌，都无法逃脱命运的安排。如果玩家试图故意逃避命运，游戏会使用守护天使功能来纠正玩家的错误。我完全同意作者的观点，这类游戏应该警告玩家，他们玩的不是真正的视频扑克，赔率表只是玩家实际赔率的无意义衡量标准。另外，还要注意的是，这类假视频扑克机并非纽约独有。

我经常用你们的网站，谢谢！我在大西洋城的Borgata赌场发现了一个新的赔率表，是《Let It Ride》游戏中三张牌奖金投注的。他们最近才推出这个功能，以至于荷官都记不住新的赔率了。以下是新的赔率表：

迷你皇家：50比1
同花顺：40比1
三张同点牌：30比1
顺子：6比1
同花：4比1
对：1比1

我很好奇它对整体赌场优势有何影响。

Kyle 来自 Leesburg, VA

对于附加赌注来说，这还不错。我计算了一下，赌场优势是2.14%。
嗨，巫师，我偶然发现了一家新的在线赌场，决定尝试一下。我在他们的掷骰子赌桌上玩，发现在20次掷骰子中，场地投注输了16次，只赢了4次。掷骰顺序如下：L6，W1，L1，W1，L1，W1，L2，W1，L6。我知道这只是一个小样本，但这足以用来评估这家新赌场是否合法吗？

Mark 来自 Ottawa, Ontario

在 n 个可能结果中，概率为 p 的事件发生 x 次的概率为(n,x) × p x × (1-p) (nx) 。在本例中，p=4/9，x=4，n=20。以下是所有可能结果（共 20 次）的概率：

坏节拍组合

胜利可能性
0 0.000008
1 0.000126
2 0.000954
3 0.004579
4 0.015567
5 0.039851
6 0.079703
7 0.127524
8 0.165782
9 0.176834
10 0.155614
11 0.113174
12 0.067904
十三0.033430
14 0.013372
15 0.004279
16 0.001070
17 0.000201
18 0.000027
19 0.000002
20 0.000000
全部的1.000000


0比4的概率是2.12%。所以，在公平的比赛中，这种情况很容易发生。

感谢您收集的这些有趣的数学谜题。我和我的女朋友想出了这个海盗谜题的变种。如果所有海盗的等级相同，并且每轮都通过抽签决定分配方案的提议者，会怎么样？在这个变种中，假设每个海盗的首要任务是最大化他预期获得的金币数量。我找到了我认为的答案，但也许你想先尝试一下。再次感谢。

Jon S

不用客气。如果只剩下两个海盗，那么被选中提出建议的那个海盗就没希望了，因为另一个海盗会投反对票。被抽中的那个海盗会得到零分，另一个海盗则会得到全部1000分。所以，在抽签之前，剩下两个海盗的预期价值是500个硬币。

在三海盗阶段，抽到的海盗应该建议给其他海盗中的一位501，给自己499。抽到501的海盗会投赞成票，因为它比投反对票的预期值500要高。抽奖前，剩下三位海盗，你分别有1/3的概率得到0、499或501枚硬币，平均333.33枚。

在四海盗阶段，抽到的海盗应该选择将 334 枚硬币给其他任意两名海盗，并给自己 332 枚。这样一来，他就能从获得 334 枚硬币的海盗那里获得两票“赞成”，因为他们宁愿要 334 枚硬币，也不愿要 333.33 枚。算上你自己的一票，你将获得 4 票中的 3 票。抽签前，每位海盗的期望值是 0、334、334 和 332 的平均值，即 1000/4=250。

按照同样的逻辑，在五个海盗的阶段，抽到的海盗应该选择给任意两个海盗251，给自己498。与原题不同，这里不需要倒推。只需用硬币数量除以海盗数量（不包括你自己）。然后把一半的海盗（向下取整）的平均值加上一枚硬币。