请问巫师 #215
在2008年世界扑克大赛中，万渊元之的四A被贾斯汀·菲利普的皇家同花顺击败。我有个关于这种情况发生的概率的简单问题。ESPN和其他媒体称，发生这种情况的概率约为27亿分之一。在我看来，他们只是把公布的四A出现的概率乘以皇家同花顺出现的概率。这是正确的计算方法吗？
我也不同意27亿分之一这个数字。正如你所说，他们似乎独立计算了每个玩家的概率，只针对两个玩家都使用底牌的情况，然后相乘。用这种方法，我得到的概率是0.000000000341101，大约是29亿分之一。也许27亿分之一的概率也涉及到对两个玩家概率的舍入误差。他们显然也忘了把概率乘以2，原因我稍后会解释。
四张 A 输给同花大顺有以下三种可能情况。
情况 1：一名玩家有两张同花大顺，另一名玩家有两张 A，并且牌面上有另外两张 A、另外两张同花大顺牌以及任何其他牌。
例子：
玩家 1：
玩家 2：
木板： 
在大多数扑克室里，要想赢得爆冷大奖，赢家和输家都必须用掉两张底牌。视频里的爆冷也属于这种类型；事实上，这些牌型也正是爆冷的。
情况 2：一名玩家有两张同花大顺 (TK)，另一名玩家有一张 A 和一张“空白”牌，并且牌面上有另外三张 A 和另外两张同花大顺牌。
例子：
玩家 1：
玩家 2：
木板： 
情况 3：一名玩家有一张同花大顺 (TK) 和一张空白牌，另一名玩家有两张 A，并且牌面上有另外两张 A 和另外三张同花大顺的牌。
例子：
玩家 1：
玩家 2：
木板：
下表显示了玩家和棋盘每种情况的组合数。右下角单元格显示组合总数为 16,896。
坏节拍组合
| 案件 | 玩家 1 | 玩家 2 | 木板 | 产品 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 3 | 四十四 | 3,168 |
| 2 | 24 | 132 | 1 | 3,168 |
| 3 | 704 | 3 | 1 | 2,112 |
| 全部的 | 8,448 |
然而，即使我们把两位玩家的牌都反过来，仍然可能出现爆牌。所以，我们应该将组合数乘以2。调整后，总有效组合数为2 × 8,448 = 16,896。
双人德州扑克所有组合的总数为( 52,2) × (50,2) × (48,5) = 2,781,381,002,400。因此，四张 A 输给同花大顺的概率为 8,448/2,781,381,002,400 = 0.0000000060747，约为 1.65 亿分之一。单次爆冷的概率为 4.39 亿分之一。赔率没有视频中报道的那么低，原因很简单，因为两手牌有重叠，共用一张 A。换句话说，这两个事件呈正相关。
根据《揭露纽约视频扑克的真相》一文，您说得完全正确。玩家的结果确实是命中注定的。无论玩家持有什么牌，都无法逃脱命运的安排。如果玩家试图故意逃避命运，游戏会使用守护天使功能来纠正玩家的错误。我完全同意作者的观点，这类游戏应该警告玩家，他们玩的不是真正的视频扑克，赔率表只是玩家实际赔率的无意义衡量标准。另外，还要注意的是，这类假视频扑克机并非纽约独有。
我经常用你们的网站，谢谢！我在大西洋城的Borgata赌场发现了一个新的赔率表，是《Let It Ride》游戏中三张牌奖金投注的。他们最近才推出这个功能，以至于荷官都记不住新的赔率了。以下是新的赔率表：
迷你皇家：50比1
同花顺：40比1
三张同点牌：30比1
顺子：6比1
同花：4比1
对：1比1
我很好奇它对整体赌场优势有何影响。
对于附加赌注来说，这还不错。我计算了一下，赌场优势是2.14%。
嗨，巫师，我偶然发现了一家新的在线赌场，决定尝试一下。我在他们的掷骰子赌桌上玩，发现在20次掷骰子中，场地投注输了16次，只赢了4次。掷骰顺序如下：L6，W1，L1，W1，L1，W1，L2，W1，L6。我知道这只是一个小样本，但这足以用来评估这家新赌场是否合法吗？
在 n 个可能结果中，概率为 p 的事件发生 x 次的概率为(n,x) × p x × (1-p) (nx) 。在本例中，p=4/9，x=4，n=20。以下是所有可能结果（共 20 次）的概率：
坏节拍组合
| 胜利 | 可能性 |
|---|---|
| 0 | 0.000008 |
| 1 | 0.000126 |
| 2 | 0.000954 |
| 3 | 0.004579 |
| 4 | 0.015567 |
| 5 | 0.039851 |
| 6 | 0.079703 |
| 7 | 0.127524 |
| 8 | 0.165782 |
| 9 | 0.176834 |
| 10 | 0.155614 |
| 11 | 0.113174 |
| 12 | 0.067904 |
| 十三 | 0.033430 |
| 14 | 0.013372 |
| 15 | 0.004279 |
| 16 | 0.001070 |
| 17 | 0.000201 |
| 18 | 0.000027 |
| 19 | 0.000002 |
| 20 | 0.000000 |
| 全部的 | 1.000000 |
0比4的概率是2.12%。所以，在公平的比赛中，这种情况很容易发生。
感谢您收集的这些有趣的数学谜题。我和我的女朋友想出了这个海盗谜题的变种。如果所有海盗的等级相同，并且每轮都通过抽签决定分配方案的提议者，会怎么样？在这个变种中，假设每个海盗的首要任务是最大化他预期获得的金币数量。我找到了我认为的答案，但也许你想先尝试一下。再次感谢。
不用客气。如果只剩下两个海盗，那么被选中提出建议的那个海盗就没希望了，因为另一个海盗会投反对票。被抽中的那个海盗会得到零分，另一个海盗则会得到全部1000分。所以，在抽签之前，剩下两个海盗的预期价值是500个硬币。
在三海盗阶段，抽到的海盗应该建议给其他海盗中的一位501，给自己499。抽到501的海盗会投赞成票，因为它比投反对票的预期值500要高。抽奖前，剩下三位海盗，你分别有1/3的概率得到0、499或501枚硬币，平均333.33枚。
在四海盗阶段，抽到的海盗应该选择将 334 枚硬币给其他任意两名海盗，并给自己 332 枚。这样一来，他就能从获得 334 枚硬币的海盗那里获得两票“赞成”，因为他们宁愿要 334 枚硬币，也不愿要 333.33 枚。算上你自己的一票，你将获得 4 票中的 3 票。抽签前，每位海盗的期望值是 0、334、334 和 332 的平均值，即 1000/4=250。
按照同样的逻辑，在五个海盗的阶段，抽到的海盗应该选择给任意两个海盗251，给自己498。与原题不同，这里不需要倒推。只需用硬币数量除以海盗数量（不包括你自己）。然后把一半的海盗（向下取整）的平均值加上一枚硬币。