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请问巫师 #207

永利邀请我参加一场老虎机锦标赛，奖金结构如下。

第一名：100万美元
第二名：15万美元
第3-6名：25,000美元
第七至第八名：2万美元
第 9 至第 50 名：5,000 美元

比赛费用为2.5万美元，参赛人数限制为50人。很容易看出预期奖金为3万美元。然而，这笔钱的赢面非常小。根据凯利准则，参赛资金要求是多少才算合理？

anonymous

凯利近似值是用优势除以方差。可能的结果分别是赢得投注金额的39倍、5倍、0倍、-0.2倍和-0.8倍。优势为 (1/50)×39 + (1/50)×5 + (4/50)×0 + (2/50)× -0.2 + (42/50)× -0.8 = 0.2。

方差为 预期(胜率2 ) - (预期(胜率)) 2 = (1/50)×39 2 + (1/50)×5 2 + (4/50)×0 2 + (2/50)× -0.2 2 + (42/50)×-0.8 2 − 0.2 2 = 31.4192

因此，近似最优凯利投注额是0.2/31.492 = 0.0063655乘以资金。如果全额投注25,000美元，所需资金应为25,000美元/0.0063655 = 3,927,400美元。

然而，对于像这样的大额投注，我认为值得花时间去寻找精确的最优凯利投注。接下来，找到投注额 b，使锦标赛结束后资金的预期对数最大化，如下所示。

锦标赛后资金对数 = (1/50)*log(1+39×b) + (1/50)*log(1+5×b) + (4/50)*log(1) + (2/50)*log(1-0.2×b) + (42/50)*log(1-0.8×b)

没有简单的方法可以计算出 b 的值。我个人推荐使用 Excel 中的“目标搜索”功能。答案是 0.0083418。因此，准确的凯利投注应该是你资金的 0.0083418 倍。为了证明 25,000 美元的入场费是合理的，你的资金应该是 25,000 美元/0.0083418 = 2,996,937 美元。

我太喜欢你的网站了。我对策略和概率的讨论和对赌博的热爱丝毫不逊色，甚至超过了对赌博本身的热爱！最近我在圣路易斯一家赌场玩了六副牌的二十一点。一副牌发完后，牌被放回了自动洗牌机，这意味着少了一张牌。荷官继续发下一副牌，同时现场工作人员检查了放回的牌。这副牌发完后，在另一副牌未发的部分找到了上一副牌中丢失的那张牌（一张K）。

假设这张K是底牌，并且留在洗牌机里，那么它应该在第一副牌盒里发挥作用（切牌的位置在牌堆的后部）。这个错误让庄家比我多赢了多少？

Justin 来自 St. Louis, MO

谢谢你的赞美。我假设庄家拿到软17，并在允许分牌后加倍。根据Don Schlesinger在《Blackjack Attack》一书中的D17表，每副牌去掉一张10会使赌场优势增加0.5512%。如果用六副牌来算，除以6，赌场优势就会增加0.09%。
我想请教一下关于二十一点优惠券的问题。据我了解，优惠券的规则是，任何赢利均可翻倍，最高可达25美元，而且可以随时出示。如果我下注16.50美元，等到出现二十一点时再使用，优惠券将使24.75美元的二十一点赢利翻倍。或者我应该下注25美元，然后在第一次赢利时用这笔钱？两种方式的预期损失是多少？假设赌场优势为0.64%。

Jim 来自 Dallas, Texas

首先，让我们计算一下如果您下注 16.50 美元，并等到庄家拿到黑杰克后使用优惠券的预期损失。玩家拿到黑杰克的概率是 A 的数量 × 十的数量 / 从牌盒中的 312 张牌中选择两张牌的组合方式。即 24×96/ combin (312,2) = 0.0474895。如果你们俩都拿到黑杰克，优惠券就没用了。假设玩家拿到黑杰克，庄家拿到黑杰克的概率是 23×95/combin(310,2) = 0.045621。因此，玩家拿到黑杰克的概率是 0.0474895 * (1-0.045621) = 0.045323，即 22.06 手牌中拿到一次。因此，如果您以每手 16.50 美元的价格玩 22.06 手牌，则预期损失为 22.06 × 16.50 × .0064=2.33 美元。

接下来，让我们计算一下如果你下注 25 美元，并等到第一次赢钱后再使用优惠券，预期损失是多少。任何赢钱的概率都是 42.42%，正如我在二十一点附录 4中提到的那样。由于分牌比较复杂，这个统计数据并不完全适用于这种情况，但也足够接近了。因此，想要赢钱，预期需要玩的手牌数量是 1/0.4242 = 2.36。下注 2.36 手，每手 25 美元的预期损失是 2.36 × 25 × 0.0064=0.38 美元，这比等待二十一点的成本低 84%。

最近两次去百家乐赌桌玩，结果明显偏向玩家。请告诉我，这些结果是否在庄家和闲家预期结果的两个标准差范围内。我已经排除了平局牌。

第一节
玩家获胜次数：282
庄家获胜：214

第二场
玩家获胜次数：879
庄家赢：831

Arthur 来自 Wayne, New Jersey

从我的百家乐页面，我们看到通常的 8 副牌游戏中的概率是：

银行家：45.86%
玩家：44.62%
平局：9.52%

忽略平局，庄家和玩家的概率为：

银行家：45.68%/(45.68%+44.62%)=50.68%。
玩家：44.62%/(45.68%+44.62%)=49.32%。

第一场的总手数为282+214=496手。第一场的预期玩家胜率是49.32%×496=244.62。实际胜率282比预期高出282-244.62=37.38。

一系列胜负事件的方差为 n × p × q，其中 n 为样本量，p 为胜率，q 为负率。在本例中，方差为 496 × 0.5068 × 0.4932 = 123.98。标准差为其平方根，即 11.13。因此，玩家总胜率超出预期 37.38/11.13 = 3.36 个标准差。结果出现偏差或更大偏差的概率为 0.000393，即 2,544 分之一。

使用样本 II 的数学方法，概率为 0.042234。如果将两个样本合并为一个，概率为 0.000932。大约 0.1% 不足以构成“绝对存在玩家偏见”。如果您仍然认为游戏不公平，我建议您收集更多数据，以获得更大的样本量。

一位同事信誓旦旦地说，他妈妈玩视频扑克已经连续赢了25年了。她每年去拉斯维加斯四次，每次都能以400美元的买入费至少赢1000美元。他说她通常能赢1万美元。他对我缺乏对她运气的信心感到不满。他想跟我打赌，四个小时后他妈妈一定会赢。我应该接受这个等额赌注吗？

anonymous

只要她以稳定的速度平注，当然可以接受。要么她用了某种毫无意义的累进牌，要么这只是二手的夸大其词。这让我不禁思考，你朋友那边的最佳牌局数是多少。假设牌型是9/6 J或更好，并且采用最佳策略，那么在136手牌时，领先的概率最大，即39.2782%。