请问巫师 #197
我在英格兰和荷兰之间的渡轮上发现了这些糟糕的轮盘赌赔率：
- 1 号码：30 比 1
- 2个数字：15比1
- 3个数字：10比1
- 4个数字：7比1
- 5个数字：5比1
- 6个数字：4比1
尽管这艘渡轮往返于两个欧洲国家之间，但它却是美式双零。赔率是多少？——Spanky McBluejay
渡轮运营商真丢脸。赌场优势从13.16%到21.05%不等，如下所示。
荷兰/英格兰渡轮轮盘赌
| 数字 | 可能性 | 支付 | 庄家优势 |
| 1 | 2.63% | 三十 | 18.42% |
| 2 | 5.26% | 15 | 15.79% |
| 3 | 7.89% | 10 | 13.16% |
| 4 | 10.53% | 7 | 15.79% |
| 5 | 13.16% | 5 | 21.05% |
| 6 | 15.79% | 4 | 21.05% |
对于 38 个数字，我们可能会错误地说其中任何一个数字都不会被击中的概率是 38 × (37/38) 200 = 18.34%。
这是不正确的，因为它重复计算了两个未中数字的概率。所以我们需要减去这些概率。38 个数字中，有(38,2) = 703 组，每组 2 个。任意两个给定数字未中概率为 (36/38) 200 = 0.000020127。我们需要减去避开这两个数字的概率。因此，我们得到：
38×(37/38) 200 - 组合(38,2)×(36/38) 200 = 16.9255%。
然而，现在我们已经抵消了三个号码未中奖的概率。对于任何给定的三个号码组，我们将任意一个号码未中奖的概率计算三次。然后，我们分别减去三次，从三个号码中选出两个号码，最后三个号码全部未中奖的概率为零。共有 combin(38,3)=8,436 个这样的组。将它们加回去，我们现在得到：
38×(37/38) 200 - 组合(38,2)×(36/38) 200 + 组合(38,3)×(35/38) 200 = 16.9862%。
然而，现在我们高估了四个号码未中奖的概率。对于 combin(38,4)=73,815 组四个号码中的每一组，最初都计算了四次。然后，我们减去了 combin(4,2)=6 组（每组 2 个号码）中的每一组。之后，我们又加回了 4 组（每组 3 个号码）中的 3 个号码。因此，对于每个四个号码的并集，它被计算了 4 − 6 + 4 = 2 次。为了调整重复计算，我们必须对每一组进行减法。减去这些数字后，我们现在得到：
38×(37/38) 200 - 组合(38,2)×(36/38) 200 + 组合(38,3)×(35/38) 200 - 组合(38,4)×(34/38) 200 = 16.9845%。
继续这个过程，我们会不断交替进行加减运算，直到丢失37个数字。因此，至少一个数字永远不被选中的概率是：
总和 i=1 至 37 [(-1) (i+1) × combin(38,i) × ((38-i)/38) 38 ] = 16.9845715651245%
以下是对 126,900,000 个这样的 200 次旋转实验进行随机模拟的结果。
200 次轮盘赌中命中的数字
| 数字命中 | 观察 | 比率 |
|---|---|---|
| 31岁或以下 | 0 | 0 |
| 三十二 | 1 | 0.00000001 |
| 33 | 33 | 0.00000026 |
| 三十四 | 1812 | 0.00001428 |
| 三十五 | 68845 | 0.00054251 |
| 三十六 | 1577029 | 0.01242734 |
| 三十七 | 19904109 | 0.15684877 |
| 三十八 | 105348171 | 0.83016683 |
| 全部的 | 126900000 | 1 |
至少一个数字未被击中的次数比率为 0.169833。