请问巫师 #15

Q: 我非常喜欢你的网站，信息量很大。谢谢你分享你的想法。我注意到Crappers Delight上推荐了一种叫做“经典回归”的掷骰子投注策略。他建议，在确定点数后，押注6和8。等其中一个点数被击中后，再撤回。他说，6和8的组合方式有10种，但7的组合方式只有6种。这听起来很有道理，但我看到你证明了，表面上看似合乎逻辑的东西，一旦分析清楚，就不那么光彩了。你对这个策略有什么看法？如果你在一次击中后撤回投注，真正的赔率是多少？

这和我<a href="/ask-the-wizard/14/">上周</a>遇到的一个问题类似。没错，掷出 6 或 8 有 10 种方法，掷出 7 有 6 种方法。但是，我们不能只看概率，还要将其与收益进行比较。对 6 和 8 的位置注赔率为 7 比 6，而公平赔率是 6 比 5。通过对 6 和 8 进行六个单位的位置注，如果其中一个赢了就放弃另一个，那么赢得 7 个单位的概率是 62.5%，输掉 12 个单位的概率是 37.5%。如果玩家必须同时押注 6 和 8，那么位置注是最好的选择。这个回报率还不错，但可以更好。对于优先考虑最小化整体赌场优势的玩家来说，最好的策略是组合过牌、不过牌、来牌和不来牌，并始终选择允许的最大赔率。

Q: 在像二十一点这样不计分的劣势牌局中，我该如何确定平注（不计分、不加注等）的领先赔率？这种牌局玩了大约45,000手后，我的胜率只有0.5%。这有可能吗？

这是统计学入门课上常见的问题。由于大量随机变量的和总是趋近于钟形曲线，我们可以使用中心极限定理来得到答案。 从我关于<a href=/gambling/house-edge/>庄家优势的</a>部分来看，我们发现二十一点的标准差是1.17。如果你没有学过统计学，你不会理解这一点，但你例子中输钱的概率应该是Z统计量45000*0.005/(45000 1/2 *1.17) =~ 0.91。 任何基础统计学书籍都应该有一张标准正态分布表，其Z统计量为0.8186。所以，在你的例子中，领先的概率大约是18%。

我非常喜欢你的网站，信息量很大。谢谢你分享你的想法。我注意到Crappers Delight上推荐了一种叫做“经典回归”的掷骰子投注策略。他建议，在确定点数后，押注6和8。等其中一个点数被击中后，再撤回。他说，6和8的组合方式有10种，但7的组合方式只有6种。这听起来很有道理，但我看到你证明了，表面上看似合乎逻辑的东西，一旦分析清楚，就不那么光彩了。你对这个策略有什么看法？如果你在一次击中后撤回投注，真正的赔率是多少？

Michael

这和我上周遇到的一个问题类似。没错，掷出 6 或 8 有 10 种方法，掷出 7 有 6 种方法。但是，我们不能只看概率，还要将其与收益进行比较。对 6 和 8 的位置注赔率为 7 比 6，而公平赔率是 6 比 5。通过对 6 和 8 进行六个单位的位置注，如果其中一个赢了就放弃另一个，那么赢得 7 个单位的概率是 62.5%，输掉 12 个单位的概率是 37.5%。如果玩家必须同时押注 6 和 8，那么位置注是最好的选择。这个回报率还不错，但可以更好。对于优先考虑最小化整体赌场优势的玩家来说，最好的策略是组合过牌、不过牌、来牌和不来牌，并始终选择允许的最大赔率。

在像二十一点这样不计分的劣势牌局中，我该如何确定平注（不计分、不加注等）的领先赔率？这种牌局玩了大约45,000手后，我的胜率只有0.5%。这有可能吗？

Kevin

这是统计学入门课上常见的问题。由于大量随机变量的和总是趋近于钟形曲线，我们可以使用中心极限定理来得到答案。

从我关于庄家优势的部分来看，我们发现二十一点的标准差是1.17。如果你没有学过统计学，你不会理解这一点，但你例子中输钱的概率应该是Z统计量45000*0.005/(45000 ^1/2 *1.17) =~ 0.91。

任何基础统计学书籍都应该有一张标准正态分布表，其Z统计量为0.8186。所以，在你的例子中，领先的概率大约是18%。

我很好奇——我肯定我的赔率不可能比庄家更高——但我想测试一种适度的赌博方法——即“见好就收”的策略。假设我一开始的赌注是1000美元。假设我一旦中了其中一个就必须离开，我离开时会带着1200美元而不是一分钱离开的概率是多少？在百家乐中，押闲家赢20%总比输100%要好。

Brian 来自 Denver, Colorado

您遗漏了两个关键信息：您的投注金额以及投注的牌局。我假设您在百家乐中每次投注1美元，押注闲家。假设没有平局，闲家获胜的概率为49.3212%。

设_i表示玩家拥有 $i 时，在输光所有钱之前，能达到 $1,200 的概率。设 p 表示任意给定赌注的获胜概率，即 49.3212%。

₀ = 0

_a1 = p* _a2
a ₂ = p*a ₃ + (1-p)*a ₁
a ₃ = p*a ₄ + (1-p)*a ₂

。

a ₁₁₉₇ = p*a ₁₁₉₈ + (1-p)*a ₁₁₉₆
a ₁₁₉₈ = p*a ₁₁₉₉ + (1-p)*a ₁₁₉₇
a ₁₁₉₉ = p*a ₁₂₀₀ + (1-p)*a ₁₁₉₈
₁₂₀₀ = 1

将左侧分成两部分：

p* _a1 + (1-p)* _a1 = p* _a2
p* _a2 + (1-p)* _a2 = p* _a3 + (1-p)* _a1
p* _a3 + (1-p)* _a3 = p* _a4 + (1-p)* _a2
。
。
。
p*a ₁₁₉₇ + (1-p)*a ₁₁₉₇ = p*a ₁₁₉₈ + (1-p)*a ₁₁₉₆
p*a ₁₁₉₈ + (1-p)*a ₁₁₉₈ = p*a ₁₁₉₉ + (1-p)*a ₁₁₉₇
p*a ₁₁₉₉ + (1-p)*a ₁₁₉₉ = p*a ₁₂₀₀ + (1-p)*a ₁₁₉₈

重新排列，左侧为 (1-p) 项，右侧为 p 项：

（1-p）*（a ₁ ）= p（a ₂ - a ₁ ）
（1-p）*（a ₂ - a ₁ ）= p（a ₃ - a ₂ ）
（1-p）*（ _a3 - _a2 ）=p*（ _a4 - _a3 ）
。
。
。
（1-p）*（a ₁₁₉₇ - a ₁₁₉₆ ）= p*（a ₁₁₉₈ - a ₁₁₉₇ ）
（1-p）*（a ₁₁₉₈ - a ₁₁₉₇ ）= p*（a ₁₁₉₉ - a ₁₁₉₈ ）

接下来将两边乘以 1/p：

（1-p）/p*（a ₁ ）=（a ₂ - a ₁ ）
（1-p）/p*（a ₂ - a ₁ ）=（a ₃ - a ₂ ）
（1-p）/p*（ _a3 - _a2 ）=（ _a4 - _a3 ）
。
。
。
（1-p）/p*（a ₁₁₉₇ - a ₁₁₉₆ ）=（a ₁₁₉₈ - a ₁₁₉₇ ）
（1-p）/p*（a ₁₁₉₈ - a ₁₁₉₇ ）=（a ₁₁₉₉ - a ₁₁₉₈ ）

下一个望远镜总结：

（a ₂ - a ₁ ）=（1-p）/p*（a ₁ ）
（a ₃ - a ₂ ）=（（1-p）/p） ² *（a ₁ ）
（a ₄ - a ₃ ）=（（1-p）/p） ³ *（a ₁ ）
。
。
。
（a ₁₁₉₉ - a ₁₁₉₈ ）=（（1-p）/p） ¹¹⁹⁸ *（a ₁ ）
(a ₁₂₀₀ - a ₁₁₉₉ ) = ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ *(a ₁ )

接下来将上述方程相加：

(a ₁₂₀₀ - a ₁ ) = a ₁ * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ )

1 = a ₁ * (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ )

a ₁ = 1 / (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ )

a ₁ = ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) ¹²⁰⁰ - 1)

现在我们知道了₁ ，我们就可以找到₁₀₀₀ ：

（a ₂ - a ₁ ）=（1-p）/p*（a ₁ ）
（a ₃ - a ₂ ）=（（1-p）/p） ² *（a ₁ ）
（a ₄ - a ₃ ）=（（1-p）/p） ³ *（a ₁ ）
。
。
。
(a ₉₉₉ - a ₁₈ ) = ((1-p)/p) ⁹⁹⁹⁸ *(a ₁ )
（a ₁₀₀₀ - a ₁₉ ）=（（1-p）/p） ⁹⁹⁹⁹ *（a ₁ ）

将上述等式相加：

(a ₁₀₀₀ - a ₁ ) = a ₁ * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ⁹⁹⁹ )
₁₀₀₀ = ₁ * (((1-p)/p) ¹⁰⁰⁰ - 1)) / ((1-p)/p - 1))
₁₀₀₀ = [ ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) ¹²⁰⁰ - 1) ] * [ (((1-p)/p) ¹⁰⁰⁰ - 1) / ((1-p)/p - 1) ]
₁₀₀₀ = (((1-p)/p) ¹⁰⁰⁰ - 1) / (((1-p)/p) ¹²⁰⁰ - 1) =~ 0.004378132。

只要时间足够，在任何靠运气的游戏中，赔率很可能会赶上玩家的节奏，资金也会逐渐减少。但是，如果你下注更多，你的赔率会更高。以下是不同投注额下，赢20%后输100%的赔率。

5美元：0.336507
10美元：0.564184
25美元：0.731927
50美元：0.785049
100美元：0。809914

有关此类问题的更多数学知识，请参阅我的MathProblems.info网站，问题 116。