请问巫师 #149
巫师，我刚刚读了胡安·帕隆多悖论，觉得你可能会感兴趣。它展示了如何交替进行两场失败的游戏，从而形成一场胜利的游戏。总之，我觉得这对博弈论者来说是一个有趣的“小把戏”。我喜欢你的网站！
我个人觉得帕隆多悖论没什么意思，但你不是第一个问我这个问题的人，所以我就说说我的看法。它的要点是，如果玩家在两种特定的失败游戏之间交替进行，就能获得优势。
举例来说，在游戏一中，赢1美元的概率是49%，输1美元的概率是51%。在游戏二中，如果玩家的资金能被3整除，那么他赢1美元的概率是9%，输1美元的概率是91%。在游戏二中，如果玩家的资金不能被3整除，那么他赢1美元的概率是74%，输1美元的概率是26%。
第一场比赛的预期值显然是 49%*1 + 51%*-1 = -2%。
在第二局游戏中，你不能简单地取两种可能性的加权平均值。这是因为游戏很快就会从资金余数为1的游戏中获胜，并且经常在余数为0和2之间交替。换句话说，资金会不成比例地投入到获胜概率为9%的游戏中。总体而言，仅玩第二局游戏，预期值为-1.74%。
然而，通过交替进行两场第一局和第二局，我们打破了第二局的交替模式。这会导致75%概率的游戏玩得更多，而9%概率的游戏玩得更少。混合这两种游戏的方式无穷无尽。“2+2”策略，即进行两轮第一局和第二局，然后重复，其预期值为0.48%。
我要强调的是，这在赌场里毫无实际价值。没有哪个赌场游戏会根据玩家资金的模数来改变规则。不过，我预测，迟早会有人发明帕隆多投注系统，在轮盘赌和掷骰子之间交替，这当然会和其他投注系统一样毫无价值。
我理解的事件“等待时间”是该事件概率的倒数。我感兴趣的是计算用一个骰子掷出连续2的等待时间。在模拟中，我平均掷出42次。我该如何将其与掷出连续2的概率联系起来？
对于单个事件，如果概率为 p，则平均等待时间为 1/p，这的确没错。然而，对于连续事件，情况会变得更加复杂。设 x 表示最后一次掷出的结果不是 2 的状态。这也是初始状态。设 y 表示最后一次掷出的结果为 2 的状态。第一次掷出结果后，我们有 5/6 的概率仍处于状态 x，有 1/6 的概率处于状态 y。设 Ex(x) 表示从状态 x 开始的掷骰次数的预期，Ex(y) 表示从状态 y 开始的掷骰次数的预期。那么……
Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y)，且
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)
求解这两个方程...
Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
（1/36）*Ex（x）= 7/6
例如（x）= 36 *（7/6）= 42
因此连续两次掷出 2 的平均等待时间为 42 次。
我遇到了相同类型的问题，只有预期翻转才能得到两次正面，在我的数学问题网站上，请参阅问题 128。
我男朋友和前女友保持着邮件往来，但当她承认自己和他交往的意图不正当时，他们就结束了这段关系。然而，前女友（她是双性恋）后来给我男朋友发了封邮件，痛斥他，说他“被迫”继续保持通信，因为他“曾经试图结束这段关系”。尽管前女友会在节假日给他寄卡片，偶尔还会发短信给他，但我并不介意她的意图，而且这段闹剧也被揭露了。但有一次，她女朋友给他留了一条奇怪的手机短信，假装是我约他出去。他仍然坚称自己回复的邮件毫无特色、平淡无奇、与性无关，而且他对她没有感觉。然而今晚，在我们常去的一家俱乐部，他却变得惊慌失措，把我从朋友身边拉开，说那两个人在那里，我们必须离开——他不想让他们看到他。我说他隐瞒了什么。他说他没有；只是她女朋友情绪不稳定，他根本不知道她会在公共场合做出什么疯狂的事情。这到底是怎么回事？
我认为，一对情侣分手后几乎不可能再做朋友。你所能期待的最好结果也不过是寄圣诞贺卡而已。除此之外，至少有一方正在考虑复合。虽然你没问，但我对分手的建议是，彻底断绝关系，然后继续你的生活。我当然不知道到底发生了什么，但无风不起浪。你没有足够的证据来指控，却仍然怀疑。
当地一家赌场正在取消加勒比梭哈游戏，但根据MGC规则，他们必须先支付全部累积奖金。赌桌底注为5美元，累积边注为1美元。他们支付的赔率是同花150，葫芦300，四条1500，同花顺155,000，赔率12/1。根据我的计算，我在边注上的优势高达270%，但几乎全部都花在了同花顺上。仅从较低的三个赔付来看，玩家优势是8.7%。这足以抵消主注5.25%左右的赌场优势吗？我该如何结合这两个优势？如果我认为我有机会拿到同花顺，那么这个赌注显然是赢家；但如果我假设我没机会拿到同花顺，这个游戏还值得玩吗？感谢您抽出时间。
巧合的是，我听说拉斯维加斯的一家赌场也做了同样的事情，因为他们想取消他们的加勒比梭哈游戏。以下是计算同花顺赢得全额累积奖金时的预期回报的通用公式。(((5108*FL+3744*FH+624*FK+40*J)/2598960)-M*0.052243-1)/(M+1)，其中
FL = 同花获胜
FH = 满堂彩
FK = 四条
n J = 累积奖金金额
M = 最低底注
您的情况是 (((5108*150+3744*300+624*1500+40*155000)/2598960)-5*0.052243-1)/(5+1) = 36.858%。因此，玩家优势是总底注加上1美元边注的36.858%，即每手牌预期利润2.21美元。
假设一家酒店有 10,000,000 个房间，电子钥匙数量为 10,000,000 把。由于计算机出错，每把钥匙都被编入一个随机密码，正确率只有 1/10,000,000。酒店房间已满。至少有一位顾客持有可用钥匙的概率是多少？
精确答案：1-(9,999,999/10,000,000) 10,000,000 = 0.632121。这与 (e-1)/e 精确到小数点后七位相同。
我们办公室好像在讨论德州扑克中亮牌的问题。如果玩家决定弃牌，即使还有玩家下注，他可以亮出底牌吗？有什么具体规定吗？
这在扑克礼仪上非常不礼貌。如果你在拉斯维加斯犯了这种错误，你很可能会被警告不要再犯。如果再犯，你很可能会被勒令离开牌桌。
我在机器洗牌桌上玩过三张牌扑克、加勒比梭哈和四张牌扑克。我惊讶地发现，在四张牌扑克游戏中，可玩的三张牌经常被发出，而在加勒比梭哈游戏中，可玩的四张牌也经常被发出。这让我怀疑这些洗牌机是不是预先设定好的，有利于赌场。这些机器真的是随机的吗？还是它们被设定为赌场专用的？如果是设定好的，这是否违法？
我坚信洗牌机的制造商至少会尽力让洗牌机尽可能公平随机。我敢肯定，故意弄虚作假的洗牌机会违反内华达州的法律。在 x+1 张牌中很容易看出 x 张牌的好牌。例如，三张牌中出现三条的概率是 0.235%，四张牌中出现三条的概率是 0.922%，几乎是四倍。
我和一个同事已经是好朋友一年了。我一直想着她。我有点犹豫要不要继续交往下去，因为：a）我不想被拒绝，以免失去我们美好的友谊；b）和同事约会可能会很麻烦，尤其是如果谈不拢的话。话说回来，我爱上她的几率有多大？她爱上我的几率又有多大？
首先，让我表达一下我对和同事约会的看法。我完全赞成！我也不尊重那些禁止办公室恋情的规定。认识新朋友已经够难的了，更别提每天见面的那些面孔了。不过，如果两个人是同属一个领导层，我倒是可以破例。不过，这听起来不像是这种情况，所以我不会让B点妨碍你。
你们是朋友，这本身就是个好兆头。我知道这听起来很像初中生，但你有没有一个你信任的人可以派去试探她对你的感觉？如果没有，或许你可以安排她和其他同事下班后一起吃个晚餐。最好是在一个更随意的场合，她最好喝几杯酒，这样你就可以更深入地了解情况。你可以尝试任何能升温的方法，但不要直接表白你的感受。如果你这样做了，而她却不认同你的想法，那你们的友谊就会毁了。
回答你的问题，你爱上她的可能性显然接近100%。至于其他可能性，很难说，但大概只有10%左右。不过别灰心，她可能只是需要更多时间。祝你好运。我很想知道接下来会发生什么。