请问巫师 #125
您对抛硬币投注有什么建议吗？
是的！我的建议是一开始就押正面朝上。据科学新闻在线报道，硬币落地时正面朝上的概率是51%。文章说，原因是抛出的硬币并非完美地绕轴旋转，有时看起来像在翻转，但实际上并没有。该假设仅适用于硬币被握在手掌中的情况，这样硬币的弹跳就不是问题了。文章还说，旋转的硬币落地时反面朝上的概率为80%，因为较重的正面会先向下沉。然而，我对此表示怀疑。我试了20次，得到了11次正面和9次反面。在20次旋转中，如果成功率为80%，得到9次或更少反面的概率是1/1775。
亲爱的巫师：从数学角度来说，为什么取消系统不起作用？（这个系统还有很多其他名称。为了清楚起见，我指的是那种你从一系列数字开始，然后押注所有外围数字的总和，赢了就取消它们，等等的系统。）看起来你只需要赢1/3加上你投注的两倍就能赢。在轮盘赌中，你的胜率大约是45%。所以从长远来看你应该会赢，但你却没有。为什么呢？
与大多数投注系统一样，取消系统通常能让你赢钱，但偶尔也会输掉巨额赌注。一旦取消系统真的输了，结果可能就是你最可怕的噩梦。在那些你几乎总是输钱的时候，赌注金额会开始几何级数增长，如果牌局不顺，你的资金很快就会耗尽。
在 Yahtzee 游戏中，如果卡片上只剩下 Yahtzee 本身，那么成功的可能性是多少？
下表根据您玩 Yahtzee 所需的额外骰子数量显示了最后一次掷骰子的成功概率。
最后掷骰子概率
| 需要 | 可能性 成功 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0.166667 |
| 2 | 0.027778 |
| 3 | 0.00463 |
| 4 | 0.000772 |
下表显示了改进的概率。左列显示每次掷骰前需要掷出多少个骰子，上列显示每次掷骰后需要掷出多少个骰子。正文部分显示了达到给定改进程度的概率。
改进的可能性
| 滚动前需要 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 全部的 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0.166667 | 0.833333 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0.027778 | 0.277778 | 0.694444 | 0 | 0 | 1 |
| 3 | 0.00463 | 0.069444 | 0.37037 | 0.555556 | 0 | 1 |
| 4 | 0.000772 | 0.01929 | 0.192901 | 0.694444 | 0.092593 | 1 |
下表显示了首次掷骰子时需要 0 到 4 个骰子才能掷出 Yahtzee 的概率。
首次掷骰子概率
| 需要 | 可能性 |
| 0 | 0.000772 |
| 1 | 0.019290 |
| 2 | 0.192901 |
| 3 | 0.694444 |
| 4 | 0.092593 |
下表显示了根据第一次掷骰子后所需掷骰子数，改进并最终成功的概率。例如，如果玩家需要再掷3个骰子才能完成Yahtzee游戏，那么第二次掷骰子后改进为再掷2个骰子并在第三次掷骰子时完成Yahtzee游戏的概率为0.010288066。
根据第二次掷骰子前后所需的数字，第一次掷骰子后 Yahtzee 的概率
| 滚动前需要 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 全部的 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0.166667 | 0.138889 | 0 | 0 | 0 | 0.305556 |
| 2 | 0.027778 | 0.046296 | 0.01929 | 0 | 0 | 0.093364 |
| 3 | 0.00463 | 0.011574 | 0.010288 | 0.002572 | 0 | 0.029064 |
| 4 | 0.000772 | 0.003215 | 0.005358 | 0.003215 | 0.000071 | 0.012631 |
要得到最终答案，请将前两张牌上掷出所需的数字与最后一列上掷出一张牌的最终成功概率相乘。结果为：0.092593*0.012631+0.694444*0.029064+0.192901*0.093364+0.019290*0.305556+0.000772*1=4.6028643%。为了验证这一点，我进行了1亿次游戏模拟，模拟的概率为4.60562%。
我了解随机数生成器、虚拟卷轴停止位和物理卷轴停止位。但我不明白，而且在任何地方都找不到相关信息，那就是游戏如何确定所选符号的赔付金额。例如，在 IGT 红、白、蓝游戏编号 SS4335 中，最高累积奖金是红七、白七、蓝七，分别对应于虚拟卷轴位置 044、043、044 和物理卷轴停止位 08、08、08。三个卷轴各有七个符号：红七、白七、蓝七、红条、白条、蓝条和空白。这等于 343 种符号组合。我知道 SS 筹码不包含包含所有可能组合和赔付的表格。它必须以某种方式编入索引。机器如何知道卷轴停止位 08、08、08 对应于红七、白七和蓝七，以及机器如何知道应该赔付多少？我希望你能回答这个问题。如果不能，能推荐一些可以回答的文章或书籍吗？
有一个“查找表”将各种随机数映射到转轴上的停止点。然而，我不确定它们是如何从那里真正决定玩家赢得的。所以我就这个问题咨询了一位不愿透露姓名的前老虎机数学家。他的回答是：“你的第一个想法是正确的。每个转轴条上的位置都是通过随机数生成器（RNG）独立选择的。然后，代码会检查每条投注线上的符号来确定获胜结果。分散奖励也可以通过这种方式确定。所有主要的视频老虎机制造商都这样做。你可以把这个算法看作是一系列if-then-else语句，但实际实现可能更简洁一些。” 希望以上内容对你有所帮助。
附言：本专栏发表后，我收到了另一封关于这个问题的电子邮件。邮件内容比较长，所以我提供了这个链接。
首先感谢这个很棒的网站。如果每局牌后都重新洗牌，那么算牌就没有意义了吗？
不客气，谢谢你的赞美。这还是有点道理的，尤其是在满桌的情况下。不过，在典型的单副牌规则下（庄家拿到软17点，分牌后不加倍），我觉得这不足以克服0.19%的赌场优势。
在四张牌梭哈中拿到四张 A 的概率是多少？
1/combin(52,4) = 270725 中的 1。
亲爱的巫师，您能解释一下掷骰子位置投注的庄家优势是怎么计算的吗？比如，在真实赔率是二比一的情况下，四比十位置投注的九比五赔付是如何计算出6.67%的庄家优势的？无论我怎么计算，都算不出6.67%这个数字。这快把我逼疯了。如果能解释一下，我将不胜感激。
我更喜欢用 1-(pr(赢)*赔付 - pr(输)) 来计算赌场优势。在本例中，赌场优势为 1-((1/3)*1.8 - (2/3)) = 6.67%。但是，如果您知道公平赔付和实际赔付，那么赌场优势的一个便捷公式是 (fa)/(f+1)，其中 f=公平赔付，a=实际赔付。在本例中，(2-1.8)/(2+1) = 0.2/3 = 6.67%。
如果您每局下注 50 美元，您会在这两款视频扑克游戏中选择哪一款（假设两款游戏的赔付机制相同，且您每手牌最多下注 5 个硬币）：单局下注 10 美元，还是十局下注 1 美元？感谢您抽出时间考虑。
从数学上讲，它们的预期收益当然相同。不过我会选择10倍投注，因为波动性更小，而且我觉得更有趣。
感谢这个很棒的网站。您最近说过，掷骰子的人平均投掷大约8.5次。我通常会用全赔率投注过关牌，然后再用全赔率投注来牌。考虑到投掷者在三到四次投掷后就拿到7分的长期概率，在四次投掷之后停止投注来牌是否更合理？
不用客气，谢谢。骰子没有记忆功能，所以掷四次后，你不会再更接近七点了。即使你掷出1000次非七点，你距离七点的距离也不会比第一次掷出时更近或更远。来注没有最佳次数，只要你觉得最有趣就下注。
玩欧洲轮盘赌 15 次，覆盖 8 个数字但未得到任何数字的概率是多少？
任何一次旋转失败的概率是 1-(8/37) = 78.38%。因此，15 次旋转失败的概率是 0.7838 /15 = 2.59%。