同场串关：相关性的数学原理

传统帕雷数学（独立事件）

对于包含独立事件的传统串关投注，其数学原理很简单。如果您有n 个投注，每个投注的概率分别为p₁ , p₂ , ..., pₙ ，那么所有投注都赢的概率就是各个投注概率的乘积：

该公式依赖于独立事件概率的基本规则。如果知道事件 A 发生并不能提供关于事件 B 是否发生的任何信息，则称事件 A 和 B 是独立的（形式上：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)）。

示例：传统三串一

假设你对来自不同游戏的三个赌注进行串关投注（确保彼此独立）：

• A队让分-110（隐含概率≈52.4%）
• B队让分-110（隐含概率≈52.4%）
• C队让分-110（隐含概率≈52.4%）

关于隐含概率的说明：我们使用文章 1中的公式将美式赔率转换为概率。例如，对于 -110 的赔率：

合并概率（假设相互独立）：

公平赔率计算：如果真实概率为 14.4%，则公平赔率计算如下：

实际赔付：大多数体育博彩公司对标准赔率为 -110 的 3 串 1 投注赔付约为 6 比 1 (+600)。

博彩公司的优势在于支付的赔率略低于公平赔率。在这种情况下：

这种适中的庄家优势在传统串关投注中属于正常水平。然而，这种计算的关键在于假设每场比赛的结果都是独立的——即每场比赛的结果互不影响。对于同一场比赛的串关投注，这个假设完全不成立。

同场串关投注中的相关性问题

当所有投注都来自同一游戏时，独立性就被破坏了。考虑以下常见的SGP构造：

• A队获胜（-140，隐含概率≈58.3%）
• A队四分卫传球超过275.5码（-110，隐含概率≈52.4%）
• 比赛总得分超过 48.5 分（-110，隐含概率 ≈ 52.4%）

这些结果呈正相关：

• 如果A队获胜，他们的四分卫很可能表现出色 → 第一局和第二局之间存在正相关性
• 如果四分卫传球超过 275 码，比赛得分可能更高 → 第二回合和第三回合之间存在正相关关系
• 如果A队获胜，尤其是以较大优势获胜，总分更有可能超出预期 → 第1轮和第3轮之间存在正相关性

使用独立性公式会大大低估这三个物体同时击中目标的真实概率。

数学框架

设 X₁、X₂、X₃ 为二元随机变量（1 = 赢，0 = 输），分别代表串关投注的三项结果。我们需要计算：

独立后：

具有相关性：

真实概率取决于 (X₁, X₂, X₃) 的联合概率分布，该分布反映了结果之间的协同变化。我们不能简单地将边缘概率相乘；我们必须考虑这种依赖结构。

为了合理定价此串关投注，博彩公司必须直接估算 P(X₁=1, X₂=1, X₃=1)，并考虑相关性。本文余下部分将探讨他们使用的方法。

相关矩阵：衡量依赖性

体育博彩公司利用历史数据来估算相关性。对于每一对投注类型（例如球队胜负与球队总得分、四分卫码数与比赛总得分等），他们都会根据过去数千场比赛的数据计算经验相关系数。

皮尔逊相关系数

对于两个二元结果 X 和 Y（分别编码为 1 表示胜利，0 表示失败），皮尔逊相关系数为：

分子衡量联合概率与独立性预测值之间的差异程度。分母将这种差异归一化，使其值介于 -1 和 +1 之间。

解释：

• ρ = +1：完全正相关（两者总是同时发生）
• ρ = 0：无相关性（独立事件）
• ρ = -1：完全负相关（当一个事件发生时，另一个事件永远不会发生）
• 典型的体育博彩范围： ρ介于-0.4和+0.6之间

相关矩阵示例

以下是根据 NFL 比赛历史数据推导出的一个假设性相关矩阵。这些数值仅为示例，但具有代表性，能够反映体育博彩公司可能观察到的相关性：

该矩阵显示了中等程度的正相关性。相关性最强（0.42）的是四分卫传球超过275码与比赛总得分超过预设值之间的相关性——这符合直觉，因为高传球码数通常预示着高得分比赛。

球队获胜与四分卫的表现（0.35）以及比赛总分超过预设值（0.28）均呈正相关，尽管这些相关性较弱。这种结构很典型：相关性存在，但很少达到极高的程度。

重要提示：相关矩阵会因比赛情况（热门球队与冷门球队、主场与客场、总分高低比赛等）而显著变化。成熟的体育博彩公司会针对不同的比赛情况维护不同的矩阵。

高斯Copula法在SGP定价中的应用

体育博彩公司使用的一种复杂方法是高斯 copula ，它能模拟联合概率，同时保留每笔单独投注的边缘概率。这种方法将边缘行为（每笔投注单独获胜的频率）与依赖结构（投注如何共同变化）区分开来。

方法论

1. 转换为正态变量：使用逆正态累积分布函数（CDF）将每个二元结果转换为潜在的连续正态变量：
   Z₁ = Φ⁻¹(p₁), Z₂ = Φ⁻¹(p₂), Z₃ = Φ⁻¹(p₃)

   其中 Φ⁻¹ 是逆标准正态分布累积分布函数，p₁、p₂、p₃ 是边缘概率。

2. 应用相关结构：将 (Z₁, Z₂, Z₃) 模型化为具有相关矩阵R 的多元正态分布：
   (Z₁, Z2, Z₃) ~ MVN(0, R)

   其中 R 包含相关矩阵中的成对相关系数。

3. 计算联合概率：三个赌注全部获胜的概率为：
   P(全部获胜) = P(Z₁ > c₁, Z₂ > c₂, Z₃ > c₃)

   其中 c₁、c₂、c₃ 是对应于每个赌注未获胜的临界值（即 cᵢ = Φ⁻¹(1 - pᵢ)）。

对多元正态分布的这种积分通常使用蒙特卡罗模拟或数值积分方法计算。

示例

使用之前提到的三串一投注策略，并结合上面所示的相关矩阵：

• A队获胜的概率 = 0.583
• P(四分卫传球超过275码) = 0.524
• 总分超过 48.5 的概率 = 0.524

独立后：

利用相关性（使用上述矩阵的高斯 copula）：

与独立性假设相比，相关性使联合概率提高了约 33%。这是关键所在：正相关性使得串关投注的命中率高于独立性假设所预期的水平，这意味着博彩公司必须提供比传统串关投注更低的赔率（更低的派彩）。

如果博彩公司按照传统的三串一赔率（约 +600）支付赔率，而实际概率为 21.2%，那么他们将提供：

这对博彩公司来说将是灾难性的。（关于预期值计算的概述，请参见文章 2。 ）相反，他们可能会提供 +350 的赔率，这意味着：

现在，投注者面临 4.6% 的庄家优势，与单注类似。

经验频率法

一种更简单、更直接的方法是统计特定投注组合在历史数据中出现的频率。这种方法不需要对相关性的形式做任何假设（与高斯 copula 不同），只需使用观察到的频率即可。

流程

1. 找出可比的历史比赛：找到所有与当前情况相符的过去比赛（相似的让分、相似的总分、相似的球队实力）
2. 记录结果：对于每场历史比赛，记录每注赌注是否获胜。
3. 计算关节频率：统计所有腿部同时击打的次数。
4. 调整样本量：应用统计调整（例如置信区间）来弥补数据量不足的问题。
5. 加上庄家优势：将频率转换为赔率，并考虑所需的利润率。

计算示例

在NFL历史上500场球队被看好赢3-7分，且总得分在45-51分之间的比赛中：

与独立性的比较：

这种经验方法证实了高斯 copula 函数的预测：相关性会显著提高联合概率。博彩公司使用 20.4% 这个数值（可能根据当前比赛的具体情况进行调整）来设定赔率。

经验方法的优点：

• 无需任何分布假设
• 准确地捕捉现实世界中发生的相关性
• 只要有足够的历史数据，就很容易实施。

缺点：

• 每种特定组合都需要大型数据集
• 对新型组合的推广效果不佳
• 对于罕见的投注类型或不寻常的游戏情况，可能会出现噪音。

大多数复杂的体育博彩公司采用混合方法：在数据丰富的地方使用经验频率，在数据不足的地方使用高斯 copula 或其他模型来填补空白和平滑估计。

体育博彩公司如何计算SGP赔率：完整流程

以下是体育博彩公司为同一场比赛的串关投注定价所使用的完整工作流程：

步骤 1：估计边际概率

对于每一场比赛，确定其真实概率（不包含佣金）。博彩公司通过其预测模型和做市算法得出这些概率：

• A队获胜：真实概率56% → 赔率-130（含佣金后隐含概率为56.5%）
• 四分卫传球超过 275 码：真实概率 48% → 赔率为 -110（含佣金后隐含概率为 52.4%）
• 总分超过 48.5 分：真实概率为 52% → 报价为 -110（含佣金隐含概率为 52.4%）

步骤二：应用相关性调整

使用 copula 方法或经验频率（或两者结合），计算真实的联合概率。在本例中，假设他们的分析结果如下：

与独立性假设进行比较：

在这种情况下，相关性使联合概率增加了 35%。

步骤 3：添加活力

将真实概率转换为包含所需庄家优势的赔率：

14.9%的庄家优势远高于单注通常4-5%的优势。这也是体育博彩公司热衷于推广SGP（单注奖金）的原因之一。

步骤 4：四舍五入到标准串关赔率

为了简化操作并提升用户体验，许多体育博彩网站会将赔率四舍五入到标准的串关投注增量（+300、+350、+400、+450、+500 等）。这种四舍五入方式可能会略微增加或减少实际的庄家优势，具体取决于四舍五入的方向。

在这种情况下，+350 已经是一个标准增量，因此不需要额外的舍入。

第五步：动态调整

高级书籍还会根据以下因素进行实时调整：

• 投注失衡：如果太多投注者选择某种特定组合，赔率可能会进一步降低。
• 精明玩家的资金流向指标：如果已知的精明玩家都在避开某些单场锦标赛（SGP），博彩公司可能会提供略微更高的赔率来吸引更多玩家参与。
• 相关性不确定性：对于相关性难以估计的特殊组合，图书通常会增加额外的安全边际。

对投注者的实际影响

理解SGP的数学原理可以得出以下几个实际结论：

1. SGP通常价值不高

串关投注的庄家优势通常是单注的3-5倍。除非你有充分的理由相信某个串关投注的定价有误，否则最好还是进行单注投注，或者干脆避免串关投注。

2. 避免高度相关的组合

那些“感觉”最划算的组合（球队获胜 + 四分卫得分超过预设值 + 比赛结束）恰恰是博彩公司数据最丰富、定价模式最合理的组合。你不太可能在这里找到价值。

3. 考虑负相关性

如果你一定要投注SGP，那就寻找负相关的组合，因为博彩公司可能会提供不成比例的高赔率。这看似违反直觉，但可能具有更高的数学价值。

4. 样本量要求

要构建自己的相关性估算模型，你需要成百上千场相关的历史比赛数据。对大多数投注者来说，这不切实际。要知道，博彩公司拥有远胜于你的数据和建模能力。

5. 替代策略：单注

如果你认为A队会赢，而且他们的四分卫会冲球超过指定码数，并且比赛总分会超过指定分数，那么你就有了三个正期望值的投注选项（在你看来）。为什么要把它们合并成一个庄家优势高达15-25%的单注投注（SGP）呢？你完全可以分别进行三个庄家优势只有4-5%的投注。（我们将在第三篇文章中讨论多注投注的最佳投注额。）

即使SGP和单独投注策略每次组合都承担10美元的风险，但SGP的预期收益大约是单独投注的7倍。这假设你的概率估计是正确的，这就引出了我们关于预期收益计算的第二篇文章。