两个信封悖论——2019年9月19日
我喜欢好的悖论，信封悖论就是我最喜欢的悖论之一。它有很多种表述方式。我喜欢游戏节目，所以更喜欢用这种形式来表达。话虽如此，悖论如下：
你在参加一个游戏节目，主持人给你两个密封的信封，让你选一个，你照做了。主持人没有打开信封，而是解释说，一个信封里的钱是另一个信封的两倍。然后，他让你选择换另一个信封。
在考虑是否要换信封时，你推断另一个信封里的钱是你选择的那个信封的一半或两倍。你选择较低或较高信封的概率为50%。设x是你选择的信封里的金额。你计算出另一个信封的期望值是x的一半和x的两倍的平均值。用更数学的语言来说，另一个信封的期望值等于(1/2)*2x + (1/2)*(x/2) = x + x/4 = 1.25 x。
这似乎让换信封看起来是个不错的选择。然而，如果有机会，你也可以用同样的道理换回来。如果允许无限次换信封，你就会无限次地来回切换。显然，你在这个过程中什么也没得到。所以，问题是，另一个信封的期望值是你选择的信封的1.25倍这个论点的漏洞在哪里？
这个问题没有简单的答案。高级数学期刊上已经有很多长篇文章探讨过这个问题。我个人也曾与其他同行数学家就此争论了好几个小时。大家都同意1.25倍的论证是有缺陷的，但没有人知道如何解释它为什么有缺陷，尤其是用通俗易懂的语言。
我认为，解释预期值论证缺陷最简单的方法是，将2 和 0.5 乘数应用于第一个信封中相同的 x 值。首先，这表明另一个信封中的金额要么是2x ，要么是 0.5x 。2x与 0.5x 的比值是 4 。问题本身表明，较大的金额是较小金额的两倍，而不是四倍。所以，这不可能是正确的。
尽管如此，这个论点让我并不满意。它或许可以推翻预期值论证，但预期值论证错在哪里呢？我更喜欢这样解释：预期值公式之所以不起作用，是因为它假设 x 是一个固定值。它不是，而是随机的。乘数与 x 的值 100% 相关。这导致预期值论证站不住脚。
思考这个问题更合理的方法是考虑转换过程中获得或损失的金额。这个金额就是两个信封之间的差额。例如，如果两个信封分别包含 y 和 2y，那么转换将导致 y 的增加或减少。换句话说，转换后的收益为*y + 0.5*-y = 0 。
不过，我对这个解释并不完全满意。我可以安心入睡，但我不知道外行人是否能理解我的论点。他很可能不会。
如果这篇简报不够精彩，我深感抱歉。如果您对这个话题感兴趣，可以看看我在“维加斯巫师”论坛上偶尔讨论的内容。以下是两个主要讨论帖：
com/forum/questions-and-answers/math/21457-two-envelopes-problem-at-mathproblems-info/" style="color:#a5341f;">MATHPROBLEMS.INFO 上的两个信封问题