大型 Zoom Call 数学谜题
以下是我上周在新闻通讯中提出的一个问题。如果你需要提醒，可以参考一下。
问题
假设美国众议院所有 435 名有投票权的议员都参加了同一场 Zoom 会议，会议时间定于上午 9 点至 10 点。然而，会议无需全程参与，只需参与其中的一部分即可。每位议员都会随机选择一个确切的时间，在一小时的范围内加入和退出会议。
至少有一位代表在通话中与其他所有代表重叠的概率是多少？换句话说，在通话期间看到其他每位成员的脸，不一定是同时看到所有人的脸。
请滚动浏览这些图片来查看我的答案和解决方案。
回答
2/3
解决方案
对于涉及大量人群的问题，我的一般策略是先问两个人。找到答案后，我会问三个人。然后，如果问题不太难，我会问四个人。如果我发现了一个规律，那么这个规律很可能适用于任何人数。
基础数学复习
在进一步讲解之前，我先来频繁使用一下 combin(x,y) 函数。它表示从一组 x 项中选择 y 项的方法数。例如，从 52 张牌中选择 5 张（顺序不重要）的方法数为 combin(52,5) = 2,598,960。答案可以表示为 x! / (y! * (xy)!)。
在这种情况下，感叹号并不意味着我在喊叫，而是代表阶乘函数。这是对给定数量的物品进行排序的方法数。例如，如果你需要一次读一本六本书，那么可能的书籍排序数就是 6!。对于一般情况下的 n，答案是 1*2*3*…*n。对于六本书的情况，答案是 1*2*3*4*5*6 = 720。
双人案例
话虽如此，我们来解决这个问题，因为两个人通话的具体时间并不重要，重要的是事件发生的顺序。我们用一个字母来表示某个人进入/离开通话。从左边开始，第一个字母代表进入通话，第二个字母代表离开通话。
6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important">在通话记录的四个位置中，有 6 种组合方式可以放置字母 A：1. AABB
2. ABAB
3. ABBA
4. BAAB
5.巴巴
6. BBAA
让我们检查一下在每种情况下两个呼叫者是否同时在线：
1. AABB – 否，A 在 B 加入通话之前就来了并且离开了。
2. ABAB——是的，B 到达和 A 离开之间存在重叠。
3. ABBA——是的，B 到达和 B 离开之间有重叠。
4. BAAB — 是的，A 到达和 A 离开之间存在重叠。
5. BABA——是的，A 到达和 B 离开之间存在重叠。
6. BBAA - 否，B 在 A 加入通话之前就来了并且离开了。
每种情况发生的可能性均等。六种情况中有四种有重叠，因此在两人情况下重叠的概率为 2/3。
三人案
在三人情况下，通话记录的数量等于 A 从历史记录中的 6 个位置中选择 2 个位置的方式数与 B 从剩余 4 个位置中选择 2 个位置的方式数的乘积。这等于 combin(6,2)*combin(4,2) = 15*6 = 90。
把所有 90 个人都列出来会很繁琐。为了简化流程，我们假设 A 先加入。肯定有人是第一个，所以 A 也行。
首先，我们假设通话记录中的下一个事件是 A 离开。我们将其表示为 AA????。无论 B 和 C 如何进入和离开通话，都不会有人与 A 重叠。因此，AA 场景的成功概率为 0。AA 场景本身的概率为 1/5，因为在 A 占据第一个位置后，接下来可能发生的事件有五种：A、B、B、C 和 C。
其次，我们考虑一下 A 先加入，B 随后进入，然后 A 离开的情况。在这种情况下，B 代表除 A 之外的任何人（已结束通话）。这表示为 ABA???。其余待放置的字母是 B、C 和 C。B 的放置方式有三种（BCC、CBC 和 CCB），其中 CBC 和 CCB 会导致 B 与 A 和 C 重叠。因此，ABA 情景下成功的概率为 2/3。该情景本身的概率为 pr(除 A 外的任何人加入)*pr(A 离开) = (4/5)*(1/4) = 1/5，其中 pr(x) 表示事件 x 的概率。
第三，我们考虑 A 先加入，B 随后进入，然后 B 离开的情况。这种情况表示为 ABB???。剩余待放置的字母为 A、C 和 C。A 的放置方式有三种（ACC、CAC 和 CCA），其中 CAC 和 CCA 会导致 A 与 B 和 C 重叠。因此，ABB 方案的成功概率为 2/3。该方案本身的概率为 pr(A 以外的任何人加入)*pr(B 离开) = (4/5)*(1/4) = 1/5。
第四，我们考虑一下 A 先加入，B 随后加入，然后 C 加入的情况。这种情况可以用 ABC 表示吗？剩下需要放置的字母分别是 A、B 和 C。很容易看出，A 离开通话时，B 和 C 的位置都会重叠。因此，在这种情况下成功的概率为 1。这种情况本身的概率是 pr(A 以外的任何人加入)*pr(第三人加入) = (4/5)*(2/4) = 2/5。
我们考虑了所有可能的情况，概率 (1/5 + 1/5 + 1/5 + 2/5) 加起来等于 1。将每种情况的概率与其成功概率的点积相加，我们得到：(1/5)*0 + (1/5)*(2/3) + (1/5)*(2/3) + (2/5)*1 = 0 + 2/15 + 2/15 + 6/15 = 10/15 = 2/3。
四人案例
如果时间紧迫，我可能会猜原题的答案是 2/3，因为它适用于 2 人和 3 人的情况。然而，这似乎不太令人满意，所以我们来讨论一下 4 人的情况。我可以将其分解为十种可能的情况，如下所示：
- AA??????
情景概率 = 1/7
成功概率 = 0（没有人可以重叠 A）
- ABA？？？
情景概率 = 1/7
成功概率 = 16/30
- ABBA？？？
情景概率 = 1/35
成功概率 = 0（没有人可以重叠 B）
- ABBC？？？
情景概率 = 4/35
成功概率 = 2/3
- ABCA？？？
情景概率 = 4/35
成功概率 = 5/6
- ABCBA？？？
情景概率 = 1/35
成功概率 = 2/3
- ABCBC？？？
情景概率 = 1/35
成功概率 = 2/3
- ABCBD？？？
情景概率 = 2/35
成功概率 = 1（A 将与 B、C 和 D 重叠）
- ABCC？？？
情景概率 = 4/35
成功概率 = 5/6
- ABCD？？？
情景概率 = 8/35
成功概率 = 1（A 将与 B、C 和 D 重叠）
我很抱歉没有仔细地计算每种情况的数学计算，但我不希望这个解决方案运行太长时间，并希望将一些工作留给读者。
下表总结了四人案例的所有十种情景。
表格右下角的单元格显示概率为 2/3。
概括
6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important">我们已经证明了，对于两人、三人和四人的情况，概率都是2/3。可以推断，无论人数多少，这个概率可能都会保持不变。一些比我更聪明的人通过模拟和数学计算证实了这一点。