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Perfect Bracket完美赛程表的机率
简介
我在三⽉份收到海量的问题就是, 「要架构出⼀个完整完美的March Madness bracket三⽉狂热赛程表的机率是如何呢？」在媒体上⼀个最常 被引述的统计数字是9,223,372,036,854,780,000分之⼀。这个引述数字 是基于随机的臆测、没有⼈会这样做, 这样让我感到⽑⾻悚然。这⾥我将 给你可以遵循的基本策略, ⽆须知道篮球, 并且以所说的策略去估算你的成 功机率。
规则
以下是⼤赛的规则。如果你已经知道的话, 你可以跳过这个部分。
针对⼤多数⺫的, ⼤赛采取single elimination单⼀淘汰制, 从64⽀球队开 始。为了满⾜我的完美主义读者们, 事实上总共有68⽀队伍, 其中的⼋队 会在四场赛事当中配对⽐赛。这四场赛事的赢家们、加上60⽀其他的球 队, 最后就成了64⽀队伍, 这时赛程表才正式开始。
这64⽀球队会被分成四组不同的conferences区域联盟, North北、South 南、West⻄、East东, 每个联盟各有16⽀队伍。每个联盟当中的每⼀队将 会有⼀个「seed种⼦」排⾏, 从1到16, 代表他们能⼒的排名, 虽然这并⾮ 是个完美的⽅法。接下来就可能会发⽣:
- 四⽀1 seeds种⼦球队将会在四组16 seeds种⼦队联盟⽐赛。
- 四⽀8 seeds种⼦球队将会在四组9 seeds种⼦队联盟⽐赛。
- 四⽀5 seeds种⼦球队将会在四组12 seeds种⼦队联盟⽐赛。
- 四⽀4 seeds种⼦球队将会在四组13 seeds种⼦队联盟⽐赛。
- 四⽀6 seeds种⼦球队将会在四组11 seeds种⼦队联盟⽐赛。
- 四⽀3 seeds种⼦球队将会在四组14 seeds种⼦队联盟⽐赛。
- 四⽀2 seeds种⼦球队将会在四组15 seeds种⼦队联盟⽐赛。
- 四⽀7 seeds种⼦球队将会在四组10 seeds种⼦队联盟⽐赛。
- 在1⾄8阶段的⽐赛之后, 64⽀队伍将会被缩减⾄32队。
- 规则1的赢家们将会从规则2当中的⽐赛胜出。
- 规则3的赢家们将会从规则4当中的⽐赛胜出。
- 规则5的赢家们将会从规则6当中的⽐赛胜出。
- 规则7的赢家们将会从规则8当中的⽐赛胜出。
- 在10⾄13阶段的⽐赛之后, 32⽀队伍将会被缩减⾄16队。
- 规则10的赢家们将会从规则11当中的⽐赛胜出。
- 规则12的赢家们将会从规则13当中的⽐赛胜出。
- 在15⾄16阶段的⽐赛之后, 16⽀队伍将会被缩减⾄8队。
- 规则15的赢家们将会从规则16当中的⽐赛胜出。
- 在18阶段的⽐赛之后, 8⽀队伍将会被缩减⾄4队。这样就建⽴了四组 联盟各⾃的胜出者。
- 地区的#1胜出者由NCAA篮球委员会决定、并选出⼤赛球队参与该地 区#4整体队伍的赢家⽐赛; 由赢者胜出。
- 两个地区的胜出者, 更不必说在规则20, 彼此互相⽐赛, 由赢者胜出。
- 在阶段20与21的胜出者将互相⽐赛, 胜出者赢得⼤赛。
旦从64⽀队伍开始, 在⼤赛当中就有 32+16+8+4+2+1=63场⽐赛。
基本策略
总是选取较⾼种⼦排名的球队, 或是较低的次数。例如, 在四场⽐赛当中、 编号1 seed种⼦队与16 seeds种⼦队⽐赛, 选取编号1 seed种⼦队。在 136次⽐赛、1 seed种⼦队与16 seed种⼦队⽐赛, 编号1 seed种⼦队赢了 135次⽐赛。 2018年那届⻅到第⼀号1 seed种⼦队输给16 seed种⼦队、 当时UMBC⻢⾥兰⼤学巴尔的摩分校(该校有极强的⻄洋棋队)击败 University of Virginia维吉尼亚⼤学。
当你达到四个分区联盟各⾃的第⼀种⼦球队胜出者时, 随机选取剩下的三 场⽐赛。
分析
以下的分析是基于1985年⾄2019年34次球季的⽐赛。以下的列表显⽰每 ⼀场不对称搭配所发⽣的次数、较⾼种⼦排名胜出的次数、还有机率等 等, 根据这份资料, 较⾼排名的队伍胜出。不可能发⽣的搭配状况, 像是1 seed种⼦球队与15 seed球队⽐赛, 并没有显⽰出来。
三⽉狂热Match-Ups对赛搭配 (1985-2019)
| 较⾼排名种⼦ |
较低排名种⼦ |
⽐赛次数 |
较⾼种⼦胜出 |
较⾼种⼦胜出机率 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1击败16 | 0.992857 | 4 | 0.971733 |
| 1 | 2击败15 | 0.935714 | 4 | 0.766607 |
| 1 | 3击败14 | 0.850000 | 4 | 0.522006 |
| 1 | 4击败13 | 0.792857 | 4 | 0.395166 |
| 1 | 5击败12 | 0.642857 | 4 | 0.170788 |
| 1 | 6击败11 | 0.628571 | 4 | 0.156106 |
| 1 | 7击败10 | 0.607143 | 4 | 0.135883 |
| 1 | 8击败9 | 0.507143 | 4 | 0.066149 |
| 2 | 1击败8 | 0.805556 | 4 | 0.421097 |
| 2 | 4击败5 | 0.554054 | 4 | 0.094234 |
| 2 | 3击败6 | 0.602740 | 4 | 0.131983 |
| 2 | 2击败7 | 0.703704 | 4 | 0.245222 |
| 3 | 1击败4 | 0.730159 | 4 | 0.284229 |
| 3 | 2击败3 | 0.607143 | 4 | 0.135883 |
| 4 | 1击败2 | 0.530303 | 4 | 0.079085 |
| 5 | 1击败1 | 0.500000 | 2 | 0.250000 |
| 6 | 1击败1 | 0.500000 | 1 | 0.500000 |
下个列表显⽰你必须在每次match-up对赛搭配要赢多少次、才能完成⼀份 完美的赛程表。例如, 第⼀⾏显⽰在第⼀轮⽐赛, 1 seed种⼦队必须击败 16 seed种⼦队四次。每场⽐赛赢的机率为0.992647, 所以四场全赢的机 率为 0.9926474 = 0.970911.
三⽉狂热Match-Ups对赛搭配
| 回合 | 对赛搭配 | 赢的机率 |
⽐赛次数 |
全赢的机率 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 66 | 35 | 0.530303 |
| 1 | 3 | 35 | 21 | 0.600000 |
| 1 | 4 | 63 | 46 | 0.730159 |
| 1 | 5 | 46 | 38 | 0.826087 |
| 1 | 6 | 12 | 9 | 0.750000 |
| 1 | 7 | 7 | 6 | 0.857143 |
| 1 | 8 | 72 | 58 | 0.805556 |
| 1 | 9 | 70 | 64 | 0.914286 |
| 1 | 10 | 6 | 5 | 0.833333 |
| 1 | 11 | 6 | 3 | 0.500000 |
| 1 | 12 | 20 | 20 | 1.000000 |
| 1 | 13 | 4 | 4 | 1.000000 |
| 1 | 16 | 140 | 139 | 0.992857 |
| 2 | 3 | 56 | 34 | 0.607143 |
| 2 | 4 | 7 | 3 | 0.428571 |
| 2 | 5 | 5 | 0 | 0.000000 |
| 2 | 6 | 30 | 23 | 0.766667 |
| 2 | 7 | 81 | 57 | 0.703704 |
| 2 | 8 | 7 | 2 | 0.285714 |
| 2 | 9 | 1 | 0 | 0.000000 |
| 2 | 10 | 50 | 32 | 0.640000 |
| 2 | 11 | 16 | 14 | 0.875000 |
| 2 | 12 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 2 | 15 | 140 | 131 | 0.935714 |
| 3 | 4 | 7 | 4 | 0.571429 |
| 3 | 5 | 4 | 2 | 0.500000 |
| 3 | 6 | 73 | 44 | 0.602740 |
| 3 | 7 | 15 | 9 | 0.600000 |
| 3 | 8 | 2 | 2 | 1.000000 |
| 3 | 9 | 2 | 2 | 1.000000 |
| 3 | 10 | 12 | 8 | 0.666667 |
| 3 | 11 | 48 | 32 | 0.666667 |
| 3 | 14 | 140 | 119 | 0.850000 |
| 3 | 15 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 4 | 5 | 74 | 41 | 0.554054 |
| 4 | 6 | 4 | 2 | 0.500000 |
| 4 | 7 | 5 | 2 | 0.400000 |
| 4 | 8 | 9 | 4 | 0.444444 |
| 4 | 9 | 3 | 2 | 0.666667 |
| 4 | 10 | 2 | 2 | 1.000000 |
| 4 | 12 | 38 | 26 | 0.684211 |
| 4 | 13 | 140 | 111 | 0.792857 |
| 5 | 6 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 5 | 8 | 3 | 1 | 0.333333 |
| 5 | 9 | 3 | 1 | 0.333333 |
| 5 | 10 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 5 | 12 | 140 | 90 | 0.642857 |
| 5 | 13 | 17 | 14 | 0.823529 |
| 6 | 7 | 8 | 5 | 0.625000 |
| 6 | 8 | 1 | 0 | 0.000000 |
| 6 | 10 | 7 | 4 | 0.571429 |
| 6 | 11 | 140 | 88 | 0.628571 |
| 6 | 14 | 15 | 13 | 0.866667 |
| 7 | 8 | 2 | 1 | 0.500000 |
| 7 | 10 | 140 | 85 | 0.607143 |
| 7 | 11 | 3 | 0 | 0.000000 |
| 7 | 14 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 7 | 15 | 4 | 3 | 0.750000 |
| 8 | 9 | 140 | 71 | 0.507143 |
| 8 | 11 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 8 | 12 | 1 | 0 | 0.000000 |
| 8 | 13 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 8 | 16 | 1 | 0 | 0.000000 |
| 9 | 11 | 1 | 0 | 0.000000 |
| 9 | 13 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 10 | 11 | 3 | 1 | 0.333333 |
| 10 | 14 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 10 | 15 | 5 | 5 | 1.000000 |
| 11 | 14 | 6 | 5 | 0.833333 |
| 12 | 13 | 12 | 9 | 0.750000 |
下个列表显⽰每⼀回合⽐赛存活的机率, 由你设定的赛事回合⽽定。例如, 在32场⽐赛第⼀回合存活的机率为27,156分之⼀。为了正确完成整个赛程 表的机率, 在列表底下将机率相乘。最底下横栏即是完美赛程表的机率 0.000000000018, 或是554亿分之⼀。
完美赛程表的胜出机率
| 回合 | 存活机率 |
逆机率 |
|---|---|---|
| 1 | 0.000036824497 | 27,155.84 |
| 2 | 0.001284307886 | 778.63 |
| 3 | 0.038621815874 | 25.89 |
| 4 | 0.079085421795 | 12.64 |
| 5 | 0.250000000000 | 4.00 |
| 6 | 0.500000000000 | 2.00 |
| 乘积 | 0.000000000018 | 55,380,246,801 |
顺带⼀提, 在2018年⼤赛之后的机率为42,743,890,552分之⼀。
Warren Buffett Prize巴菲特奖⾦
Warren Buffett巴菲特提供每⼀年$1,000,000终⽣奖⾦给他的任何⼀位员 ⼯、若有⼈能够完成⼀份完美的赛程表。 Warren有⼤约377,000位员⼯ (资料来源). 假设每个⼈都遵循以上的策略, 并且再活60年, 让Mr. Buffet巴 菲特先⽣花费的期望值代价为$408.45.
如果你不想要冒险与别⼈按照我的策略⽽⼀起分享perfect bracket完美赛 程表的荣耀, 我会建议选取⼀两队9 seeds球队去击败⼀⽀8 seed球队。 9 seeds球队击败8 seed球队的机率为47.8%, 所以只有⼩⼩的牺牲、就可以 增加你独得完美赛程表荣耀的机会。
三⽉狂热主题
以下列表显⽰按照seed种⼦数胜出的expected number期望次数。这可能 对于proposition bets主题押注的分析有⽤, 像是在Pac 12 conference太平 洋⼗⼆校联盟当中的球队有多少次⽐赛会赢。要得到胜出的期望次数, 将 每⼀⽀球队的期望赢数加总起来, 按照它的seed种⼦排⾏来列出。
按照种⼦排⾏的期望赢数
| 种⼦排⾏ | 期望赢数 |
|---|---|
| 1 | 3.350000 |
| 2 | 2.364286 |
| 3 | 1.864286 |
| 4 | 1.535714 |
| 5 | 1.114286 |
| 6 | 1.085714 |
| 7 | 0.907143 |
| 8 | 0.721429 |
| 9 | 0.578571 |
| 10 | 0.621429 |
| 11 | 0.600000 |
| 12 | 0.514286 |
| 13 | 0.250000 |
| 14 | 0.164286 |
| 15 | 0.071429 |
| 16 | 0.007143 |
| 总计 | 15.750000 |
另⼀个普遍的问题是, 「种⼦排⾏第⼀的会赢吗？」在写作本⽂的35个球 季当中, 种⼦排⾏第⼀的赢过22次, 其机率为62.9%.
另⼀个普遍的问题是, 「种⼦排⾏14到16会赢吗？」根据资料, 我估计种 ⼦排⾏14到16⾄少会赢⼀次的机率为61.1%.
不过另⼀种型态的押注是种⼦排⾏第⼀名将会打⼊Final Four最后四强决 赛的次数。我显⽰出任何给定的种⼦排⾏第⼀名在它的地区胜出的机率, 因⽽进⼊Final Four最后四强决赛, 其机率为40.7%. 那么, 1.63次种⼦排⾏ 第⼀名的球队、在平均上, 将会进⼊Final Four最后四强决赛。以下的列表 显⽰种⼦排⾏第⼀名的球队、0到4次会进⼊Final Four最后四强决赛的机 率。
种⼦排⾏第⼀名预期会进⼊最后四强决赛
| 次数 | 机率 |
|---|---|
| 4 | 2.75% |
| 3 | 16.00% |
| 2 | 34.96% |
| 1 | 33.94% |
| 0 | 12.35% |
| 总计 | 100.00% |
你可能会⻅到⼀种押注是种⼦排⾏第⼀名进⼊Final Four最后四强决赛的 次数超过/低于1.5次。低于1.5次的机率为 12.35% + 33.94% = 46.27%.
外部连结
关于本篇专⻚的讨论区在 Wizard of Vegas拉斯维加斯的巫师.