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灯塔
简介
法罗牌是一种简单的运气游戏，使用一副牌，据说起源于17世纪的法国。它传到了英国，然后经由新奥尔良传入美国。这种游戏可能是19世纪美国最受欢迎的赌博游戏，但它的受欢迎程度在20世纪逐渐消退。据信，最后一家提供这种游戏的赌场是20世纪80年代的里诺·拉玛达赌场。我个人曾在博物馆和古画中多次看到法罗牌桌。
规则
- 洗牌后，牌堆顶部的一张牌（称为“苏打”）就会露出来。
- 以下是我所知道的可用的赌注。
- 平注：玩家可以对牌组中的 13 个等级中的任何一个进行下注。
- 分注：类似于平注，但分为两个等级。
- 高牌：玩家可以下注赢牌或输牌哪一个更高。
- 奇数/偶数：玩家可以下注获胜牌是奇数还是偶数。
- 转牌：根据牌堆中最后三张牌的顺序进行下注。
- 下注后，庄家会发一张牌，称为“输牌”。
- 以下牌被称为“获胜牌”。
- 赌注将根据每场赌注的具体规则（如下所述）进行结算。
- 发牌人在一个类似算盘的装置上标记出已经打出的牌。
- 游戏继续进行，直到只剩下一张牌，称为“Hock”。
以下是具体投注的列表，包括规则和赔率。
平注
共有13种平注（有时也称为“面额注”），每种等级对应一种。具体规则如下：
- 如果胜牌和负牌的点数不同，则押注胜牌点数的玩家获胜，押注负牌点数的玩家输。押注其他点数的玩家将平局。
- 如果获胜牌和失败牌的点数相同，则押注该点数的赌注将损失一半。
- 玩家可以选择在赌注上放一分钱来翻转赢牌和输牌。此操作称为“铜币”。
下表显示了平注的所有可能结果，假设有一副完整的 52 张牌。
平注
| 事件 | 支付 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 赢 | 1 | 192 | 0.072398 | 0.072398 |
| 领带 | 0 | 2256 | 0.850679 | 0.000000 |
| 损失一半 | -0.5 | 12 | 0.004525 | -0.002262 |
| 失去一切 | -1 | 192 | 0.072398 | -0.072398 |
| 全部的 | 2652 | 1.000000 | -0.002262 |
下图右侧显示的赌场优势为0.23%。如果我们忽略平局，那么每注的预期损失为1.52%。
案例投注如果玩家在牌堆中只剩一张牌时押注某个点数，则称为“Case”赌注。除非其他规则发生变化，否则庄家优势为零，因为不可能输掉一半，而这正是庄家的优势所在。在“Case”赌注中，庄家会收取5%的赢利佣金。
Case 赌注的赔率取决于牌堆中剩余的牌数。剩余的牌越多，庄家优势越低。下表显示了根据剩余牌数，赢、平、输的概率以及预期回报。右图为预期回报列，显示庄家优势范围从剩余 49 张牌时的 0.10% 到剩余 3 张牌时的 1.67%。
案例投注
| 牌 其余的 | 可能性 赢 | 可能性 推 | 可能性 损失 | 预期的 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 49 | 0.020408 | 0.959184 | 0.020408 | -0.001020 |
| 四十七 | 0.021277 | 0.957447 | 0.021277 | -0.001064 |
| 45 | 0.022222 | 0.955556 | 0.022222 | -0.001111 |
| 43 | 0.023256 | 0.953488 | 0.023256 | -0.001163 |
| 41 | 0.024390 | 0.951220 | 0.024390 | -0.001220 |
| 三十九 | 0.025641 | 0.948718 | 0.025641 | -0.001282 |
| 三十七 | 0.027027 | 0.945946 | 0.027027 | -0.001351 |
| 三十五 | 0.028571 | 0.942857 | 0.028571 | -0.001429 |
| 33 | 0.030303 | 0.939394 | 0.030303 | -0.001515 |
| 31 | 0.032258 | 0.935484 | 0.032258 | -0.001613 |
| 二十九 | 0.034483 | 0.931034 | 0.034483 | -0.001724 |
| 二十七 | 0.037037 | 0.925926 | 0.037037 | -0.001852 |
| 二十五 | 0.040000 | 0.920000 | 0.040000 | -0.002000 |
| 23 | 0.043478 | 0.913043 | 0.043478 | -0.002174 |
| 21 | 0.047619 | 0.904762 | 0.047619 | -0.002381 |
| 19 | 0.052632 | 0.894737 | 0.052632 | -0.002632 |
| 17 | 0.058824 | 0.882353 | 0.058824 | -0.002941 |
| 15 | 0.066667 | 0.866667 | 0.066667 | -0.003333 |
| 十三 | 0.076923 | 0.846154 | 0.076923 | -0.003846 |
| 11 | 0.090909 | 0.818182 | 0.090909 | -0.004545 |
| 9 | 0.111111 | 0.777778 | 0.111111 | -0.005556 |
| 7 | 0.142857 | 0.714286 | 0.142857 | -0.007143 |
| 5 | 0.200000 | 0.600000 | 0.200000 | -0.010000 |
| 3 | 0.333333 | 0.333333 | 0.333333 | -0.016667 |
分割投注
我从威奇托法罗的演示版中发现了这些投注方式。它的运作方式类似于平注，只不过玩家要押注两个等级，例如国王和王后。以下是本例中可能发生的事件以及最终结果：
- 获胜牌是国王或王后，而输牌是其他任何牌 = 赢得等额的钱。
- 输牌是国王或王后，赢牌是其他任何牌 = 全部输掉。
- 两张牌都是国王或两张牌都是皇后 = 输一半。
- 既不是国王也不是皇后 = 推。
- 一张牌 K 和一张牌 Q = 平局。
玩家也可以进行分注投注。下表显示了分注投注的赔率。下图右侧显示赌场优势为 0.45%。每注结算的赌场优势为 1.65%。
分割投注
| 事件 | 支付 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 赢 | 1 | 352 | 0.132730 | 0.132730 |
| 领带 | 0 | 1924 | 0.725490 | 0.000000 |
| 损失一半 | -0.5 | 24 | 0.009050 | -0.004525 |
| 失去一切 | -1 | 352 | 0.132730 | -0.132730 |
| 全部的 | 2652 | 1.000000 | -0.004525 |
高牌
在高牌投注中，A算1点，2到10点（根据点值），J算11点，Q算12点，K算13点。玩家可以押注赢牌或输牌哪个更大。以下是赢牌更大投注的规则。
- 赢牌大于输牌 = 赢得等额的钱。
- 赢牌小于输牌=全部输掉。
- 赢牌和输牌等级相同 = 输一半。
下表列出了所有可能出现赢牌更高的结果。下图右侧显示庄家优势为 2.94%。
获胜牌 更高赌注
| 事件 | 支付 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 赢 | 1 | 1248 | 0.470588 | 0.470588 |
| 损失一半 | -0.5 | 156 | 0.058824 | -0.029412 |
| 失去一切 | -1 | 1248 | 0.470588 | -0.470588 |
| 全部的 | 2652 | 1.000000 | -0.029412 |
输牌的下注则相反。换句话说，如果输牌较大，则下注获胜。
奇数投注
在单数投注中，A算1点，2到10点（根据点值），J算11点，Q算12点，K算13点。以下是单数投注的可能结果。
- 赢牌奇数，输牌偶数=赢等额的钱。
- 赢牌为偶数，输牌为奇数 = 全部输掉。
- 赢牌和输牌等级相同 = 输一半。
- 两张牌都是奇数或都是偶数，但等级不同 = 平局。
下表显示了非计数器奇数投注的所有可能结果。
奇数赌注
| 事件 | 支付 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 赢 | 1 | 672 | 0.253394 | 0.253394 |
| 领带 | 0 | 1152 | 0.434389 | 0.000000 |
| 损失一半 | -0.5 | 156 | 0.058824 | -0.029412 |
| 失去一切 | -1 | 672 | 0.253394 | -0.253394 |
| 全部的 | 2652 | 1.000000 | -0.029412 |
下图右侧显示的赌场优势为2.94%。如果我们忽略平局，那么每注的预期损失为5.20%。
均等投注
双数投注与单数投注相反。换句话说，如果赢牌为双数，输牌为单数，则赢。赔率与单数投注完全相同。
转动
当只剩下三张牌，且有三种不同的等级时，玩家可以按其顺序下注。
三张牌有六种可能的排列组合，因此获胜的概率是六分之一。公平赔率是5比1，但实际赔率是4比1。下表显示了“转牌”投注的所有赔率。下图（右图）显示赌场优势为16.7%。
转牌下注
| 事件 | 支付 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 赢 | 4 | 1 | 0.166667 | 0.666667 |
| 失去一切 | -1 | 5 | 0.833333 | -0.833333 |
| 全部的 | 6 | 1.000000 | -0.166667 |
在威奇托法罗的游戏中，如果最后三张牌中剩下一对，转牌圈投注的赔率为2比1。这是一个公平的赔率，没有庄家优势。
战略
我建议法罗只做两种类型的投注：(1) 当牌堆中恰好剩下两张特定点数的牌时，进行平注；(2) 点数投注。进行平注的原因是输掉一半的概率很低，这时赌场会占上风。然而，如果只剩下一张牌，规则就会恢复为支付 5% 的佣金，根据牌堆中剩余的牌数，这可能更好，也可能更糟。
我们姑且称之为“巫师法罗策略”。根据此策略，如果牌堆中剩余23张或更多牌，则平注的赔率更高。如果牌堆中剩余正好21张牌，则赔率相同。如果牌堆中剩余19张或更少，则大写押注的赔率更高。
巫师法罗策略的预期回报
| 牌 其余的 | 平坦的 赌注 | 案件 赌注 |
|---|---|---|
| 49 | -0.000425 | -0.001020 |
| 四十七 | -0.000463 | -0.001064 |
| 45 | -0.000505 | -0.001111 |
| 43 | -0.000554 | -0.001163 |
| 41 | -0.000610 | -0.001220 |
| 三十九 | -0.000675 | -0.001282 |
| 三十七 | -0.000751 | -0.001351 |
| 三十五 | -0.000840 | -0.001429 |
| 33 | -0.000947 | -0.001515 |
| 31 | -0.001075 | -0.001613 |
| 二十九 | -0.001232 | -0.001724 |
| 二十七 | -0.001425 | -0.001852 |
| 二十五 | -0.001667 | -0.002000 |
| 23 | -0.001976 | -0.002174 |
| 21 | -0.002381 | -0.002381 |
| 19 | -0.002924 | -0.002632 |
| 17 | -0.003676 | -0.002941 |
| 15 | -0.004762 | -0.003333 |
| 十三 | -0.006410 | -0.003846 |
| 11 | -0.009091 | -0.004545 |
| 9 | -0.013889 | -0.005556 |
| 7 | -0.023810 | -0.007143 |
| 5 | -0.050000 | -0.010000 |
| 3 | -0.166667 | -0.016667 |
致谢
Stuart N. Ethier 的《机会主义学说》对我创建这个页面帮助很大。Ethier 用了第 18 章（共 23 页）的全部篇幅来讲述法罗。