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宾果概率

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介绍

此页面是我在宾果游戏页面中的主要概率的后续。

本文档中的每个表格均基于美式宾果游戏，该游戏基于一张 24 个数字的卡（加上一个自由方块）和 75 个球。

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平均抽球数

下表显示了按游戏类型和牌数划分的平均抽球数：

平均抽球数

游戏牌
2000 4000 6000 8000 10000
单宾果8.62 8.05 7.82 7.71 7.56
双倍宾果19.32 18.04 17.22 16.79 16.53
三重宾果27.13 25.77 25.03 24.49 24.08
单行道11.41 10.33 9.79 9.49 9.36
双硬路24.56 23.07 22.25 21.76 21.28
三重硬路33.44 31.95 31.09 30.64 30.02
六块腹肌9.51 8.9 8.55 8.37 8.26
九块腹肌21.79 20.27 19.6 18.95 18.65
连体服57.57 56.38 55.56 55.08 54.79

分享奖金

平局在所有宾果游戏中都很常见，包括连体宾果游戏。牌的数量越多，图案越容易覆盖，平局的情况就越多。下表显示了根据图案和牌的数量，平均有多少人会判定为宾果。HW 代表“Hard Way”（困难路），这意味着玩家无法使用空闲的格子。

预计叫宾果的玩家数量

游戏牌
2000 4000 6000 8000 10000
单宾果2.62 4.11 5.72 7.11 8.2
双倍宾果1.3 1.34 1.37 1.39 1.42
三重宾果1.27 1.31 1.33 1.34 1.33
单人家庭宾果游戏1.49 1.78 2.01 2.32 2.6
双倍 HW 宾果游戏1.27 1.3 1.33 1.35 1.4
三重 HW 宾果游戏1.26 1.27 1.29 1.31 1.31
六块腹肌1.96 2.54 3.08 3.68 4.21
九块腹肌1.35 1.43 1.47 1.53 1.55
连体服1.32 1.34 1.34 1.35 1.38

玩宾果游戏最让人头疼的就是必须分享累积奖金。在我看来，许多玩家愿意支付保费以获得全额累积奖金，无论同时参与宾果游戏的其他玩家有多少。上表可以用来计算此类累积奖金分享保险的合理保费。例如，在一场包含10,000张卡牌的游戏中，预期中奖人数为1.38人。累积奖金分享保险的合理保费应为每张卡牌价格的38%。

我正在申请一项关于累积奖金分享保险的专利。我欢迎任何宾果游戏厅尝试这个概念。如有任何兴趣，请联系我。

下表显示了在给定数量的球和牌张中，一件连体衣被击中的概率。例如，在 6000 张牌中，一件连体衣在 50 个球中被击中的概率为 0.012944。最后一行显示了样本量中的场次数。

连体衣的平均抽球数

游戏牌
2000 4000 6000 8000 10000
40 或更少0 0 0 0 0
41 0 0.00004 0 0.00009 0
四十二0.00004 0.00004 0.000063 0 0.000112
43 0 0.00004 0 0.00018 0.000112
四十四0.00004 0.00028 0.000127 0.00027 0.000448
45 0.00012 0.00048 0.000508 0.00054 0.00056
46 0.000241 0.00048 0.000952 0.000989 0.001121
四十七0.000482 0.001039 0.002284 0.003238 0.002914
四十八0.001084 0.002118 0.003617 0.004047 0.005155
49 0.002571 0.004077 0.006409 0.010073 0.012104
50 0.004338 0.008593 0.012944 0.017178 0.020733
51 0.008274 0.015508 0.022525 0.0286 0.035974
52 0.014018 0.028338 0.043464 0.053422 0.065785
53 0.026148 0.049043 0.071447 0.087418 0.101984
54 0.042355 0.081418 0.113135 0.135264 0.151294
55 0.073263 0.124625 0.153934 0.179243 0.19489
56 0.10865 0.167073 0.187056 0.194622 0.194329
57 0.152692 0.190495 0.186485 0.161435 0.132691
58 0.180025 0.168832 0.124492 0.089756 0.06119
59 0.179945 0.108318 0.056091 0.02797 0.016026
60 0.128853 0.03969 0.012437 0.005216 0.002466
61 0.059245 0.008194 0.002094 0.00054 0.000336
62 0.015344 0.001319 0 0.00009 0
63 0.002229 0.00008 0 0.00009 0
64 0.00008 0 0 0 0
65岁或以上0 0 0 0 0
全部的1 1 1 1 1
平均的57.57741 56.316 55.594289 55.12672 54.768912
样本量49793 25019 15760 11119 8923

单向模式的概率密度

接下来的三个表格显示了根据确切的叫牌次数，覆盖4到24个标记的“单向”图案的概率。此表仅适用于只有一种图案生成方式的情况。例如，在恰好50次叫牌中覆盖邮票图案的概率为1.52%，其中图案定义为覆盖卡片右上角的四个数字。例如，如果玩家可以覆盖任意角落的四个数字，则此表不适用。

通过呼叫次数准确覆盖 4 至 10 个标记模式的概率扩展

呼叫4 分5 分6 分7 分8 分9 分10 分
4 0.000000823 0 0 0 0 0 0
5 0.000003291 0.000000058 0 0 0 0 0
6 0.000008227 0.00000029 0.000000005 0 0 0 0
7 0.000016455 0.000000869 0.00000003 0.000000001 0 0 0
8 0.000028796 0.000002028 0.000000104 0.000000004 0 0 0
9 0.000046073 0.000004056 0.000000278 0.000000014 0 0 0
10 0.00006911 0.0000073 0.000000626 0.000000042 0.000000002 0 0
11 0.000098729 0.000012167 0.000001251 0.000000106 0.000000007 0 0
12 0.000135752 0.00001912 0.000002294 0.000000233 0.00000002 0.000000001 0
十三0.000181003 0.00002868 0.000003933 0.000000466 0.000000047 0.000000004 0
14 0.000235304 0.000041427 0.000006392 0.000000865 0.000000102 0.00000001 0.000000001
15 0.000299478 0.000057997 0.000009942 0.000001513 0.000000203 0.000000024 0.000000002
16 0.000374347 0.000079087 0.000014914 0.000002522 0.000000381 0.000000051 0.000000006
17 0.000460735 0.00010545 0.000021693 0.000004035 0.000000678 0.000000102 0.000000014
18 0.000559464 0.000137896 0.000030731 0.000006235 0.000001153 0.000000194 0.000000029
19 0.000671356 0.000177295 0.000042551 0.000009353 0.000001886 0.000000348 0.000000059
20 0.000797236 0.000224573 0.000057747 0.00001367 0.000002987 0.000000602 0.000000111
21 0.000937924 0.000280717 0.000076997 0.000019528 0.000004595 0.000001003 0.000000203
22 0.001094245 0.000346768 0.000101058 0.000027339 0.000006892 0.00000162 0.000000355
23 0.00126702 0.000423827 0.000130781 0.000037592 0.000010109 0.000002546 0.0000006
24 0.001457074 0.000513054 0.000167109 0.000050859 0.000014531 0.000003904 0.000000986
二十五0.001665227 0.000615665 0.000211085 0.000067812 0.000020515 0.000005856 0.000001577
二十六0.001892303 0.000732934 0.000263856 0.000089227 0.000028493 0.000008612 0.000002465
二十七0.002139125 0.000866195 0.000326679 0.000115995 0.00003899 0.000012439 0.000003769
二十八0.002406516 0.001016838 0.000400925 0.000149136 0.000052636 0.000017676 0.000005654
二十九0.002695298 0.001186311 0.000488082 0.00018981 0.000070182 0.000024747 0.000008332
三十0.003006294 0.00137612 0.000589766 0.000239325 0.000092512 0.000034174 0.000012082
31 0.003340327 0.001587831 0.000707719 0.000299157 0.000120668 0.000046601 0.00001726
三十二0.003698219 0.001823066 0.000843819 0.000370954 0.000155863 0.000062811 0.000024321
33 0.004080793 0.002083504 0.001000082 0.000456559 0.000199505 0.000083747 0.000033837
三十四0.004488872 0.002370883 0.001178668 0.000558017 0.000253218 0.000110546 0.000046526
三十五0.004923279 0.002687001 0.001381886 0.000677592 0.000318867 0.000144561 0.000063276
三十六0.005384837 0.003033711 0.001612201 0.000817783 0.000398583 0.000187394 0.000085179
三十七0.005874368 0.003412925 0.001872233 0.00098134 0.000494793 0.000240935 0.000113572
三十八0.006392694 0.003826613 0.002164769 0.001171276 0.000610245 0.000307399 0.000150077
三十九0.006940639 0.004276802 0.002492765 0.001390891 0.000748042 0.000389373 0.000196653
40 0.007519026 0.00476558 0.002859348 0.00164378 0.000911676 0.000489856 0.000255649
41 0.008128677 0.005295089 0.003267826 0.001933858 0.001105062 0.00061232 0.000329869
四十二0.008770414 0.005867531 0.003721691 0.002265377 0.001332575 0.000760761 0.000422645
43 0.009445061 0.006485165 0.004224622 0.00264294 0.00159909 0.000939764 0.000537912
四十四0.010153441 0.007150311 0.004780493 0.003071525 0.001910024 0.001154567 0.0006803
45 0.010896376 0.007865342 0.005393377 0.003556502 0.00227138 0.001411137 0.000855235
46 0.011674688 0.008632692 0.006067549 0.004103657 0.002689792 0.001716248 0.001069043
四十七0.012489202 0.009454853 0.006807494 0.004719205 0.003172575 0.002077563 0.001329081
四十八0.013340738 0.010334375 0.00761791 0.00540982 0.003727775 0.00250373 0.001643863
49 0.014230121 0.011273863 0.008503714 0.006182652 0.004364225 0.003004476 0.002023216
50 0.015158172 0.012275984 0.009470045 0.007045347 0.005091596 0.003590715 0.00247844
51 0.016125715 0.013343461 0.010522272 0.008006077 0.00592046 0.004274661 0.003022487
52 0.017133572 0.014479075 0.011665997 0.009073554 0.006862351 0.005069946 0.003670163
53 0.018182566 0.015685664 0.012907061 0.010257061 0.007929828 0.005991755 0.004438337
54 0.01927352 0.016966127 0.014251547 0.011566473 0.009136541 0.007056955 0.005346178
55 0.020407257 0.018323417 0.015705786 0.013012282 0.010497303 0.008284252 0.006415414
56 0.021584598 0.019760548 0.017276365 0.014605622 0.012028159 0.009694338 0.007670604
57 0.022806368 0.02128059 0.018970126 0.016358297 0.013746468 0.01131006 0.009139443
58 0.024073388 0.022886672 0.020794176 0.018282802 0.015670974 0.013156601 0.010853088
59 0.025386482 0.024581981 0.022755891 0.020392357 0.017821891 0.015261657 0.012846513
60 0.026746472 0.026369762 0.024862918 0.022700925 0.020220992 0.017655642 0.015158885
61 0.028154182 0.028253316 0.027123183 0.02522325 0.022891689 0.020371895 0.017833982
62 0.029610432 0.030236005 0.029544896 0.027974878 0.025859131 0.023446898 0.020920633
63 0.031116048 0.032321247 0.032136554 0.030972186 0.029150293 0.026920513 0.024473193
64 0.03267185 0.034512518 0.034906946 0.034232416 0.032794079 0.030836224 0.028552059
65 0.034278662 0.036813352 0.037865162 0.0377737 0.036821422 0.035241398 0.033224214
66 0.035937307 0.039227342 0.041020592 0.041615094 0.041265387 0.04018756 0.03856382
67 0.037648608 0.041758139 0.044382936 0.045776603 0.04616128 0.045730671 0.044652844
68 0.039413386 0.044409449 0.047962205 0.05027922 0.051546763 0.05193144 0.051581734
69 0.041232465 0.04718504 0.051768729 0.055144951 0.057461965 0.058855632 0.059450134
70 0.043106668 0.050088734 0.055813161 0.060396851 0.063949607 0.066574404 0.068367654
71 0.045036818 0.053124415 0.060106481 0.066059055 0.071055118 0.07516465 0.078454685
72 0.047023736 0.056296022 0.064660002 0.072156814 0.078826772 0.084709367 0.089843268
73 0.049068246 0.059607553 0.069485376 0.078716525 0.087315809 0.095298038 0.10267802
74 0.051171171 0.063063063 0.074594595 0.085765766 0.096576577 0.107027027 0.117117117
75 0.053333333 0.066666667 0.08 0.093333333 0.106666667 0.12 0.133333333
全部的1 1 1 1 1 1 1

通过呼叫次数准确覆盖 11 至 17 个标记模式的概率扩展

呼叫11 分12 分13 分14 分15 分16 分17 分
11 0 0 0 0 0 0 0
12 0 0 0 0 0 0 0
十三0 0 0 0 0 0 0
14 0 0 0 0 0 0 0
15 0 0 0 0 0 0 0
16 0.000000001 0 0 0 0 0 0
17 0.000000002 0 0 0 0 0 0
18 0.000000004 0 0 0 0 0 0
19 0.000000009 0.000000001 0 0 0 0 0
20 0.000000019 0.000000003 0 0 0 0 0
21 0.000000038 0.000000006 0.000000001 0 0 0 0
22 0.000000072 0.000000014 0.000000002 0 0 0 0
23 0.000000132 0.000000027 0.000000005 0.000000001 0 0 0
24 0.000000234 0.000000052 0.000000011 0.000000002 0 0 0
二十五0.0000004 0.000000096 0.000000021 0.000000004 0.000000001 0 0
二十六0.000000667 0.000000171 0.000000041 0.000000009 0.000000002 0 0
二十七0.000001084 0.000000296 0.000000076 0.000000019 0.000000004 0.000000001 0
二十八0.000001722 0.000000499 0.000000137 0.000000036 0.000000009 0.000000002 0
二十九0.000002679 0.000000822 0.00000024 0.000000067 0.000000018 0.000000004 0.000000001
三十0.000004089 0.000001324 0.00000041 0.000000121 0.000000034 0.000000009 0.000000002
31 0.000006134 0.000002091 0.000000683 0.000000214 0.000000064 0.000000018 0.000000005
三十二0.000009055 0.000003241 0.000001115 0.000000368 0.000000116 0.000000035 0.00000001
33 0.000013171 0.000004939 0.000001784 0.00000062 0.000000207 0.000000066 0.00000002
三十四0.000018897 0.000007408 0.000002803 0.000001022 0.000000359 0.000000121 0.000000039
三十五0.000026771 0.000010952 0.000004331 0.000001655 0.000000611 0.000000217 0.000000074
三十六0.000037479 0.000015971 0.000006591 0.000002633 0.000001018 0.00000038 0.000000137
三十七0.000051894 0.000022998 0.000009887 0.000004122 0.000001665 0.000000651 0.000000246
三十八0.000071113 0.000032728 0.000014633 0.000006354 0.000002679 0.000001095 0.000000434
三十九0.000096511 0.000046062 0.000021386 0.000009658 0.000004241 0.000001809 0.000000749
40 0.000129791 0.000064158 0.000030891 0.000014487 0.000006616 0.00000294 0.000001271
41 0.000173054 0.000088494 0.00004413 0.000021463 0.000010178 0.000004705 0.000002118
四十二0.000228879 0.000120941 0.00006239 0.000031427 0.000015456 0.000007419 0.000003474
43 0.000300403 0.000163856 0.000087347 0.000045516 0.000023184 0.000011541 0.000005611
四十四0.000391434 0.000220182 0.000121158 0.000065239 0.000034377 0.000017723 0.000008937
45 0.000506562 0.000293576 0.000166593 0.000092597 0.000050419 0.00002689 0.000014043
46 0.000651294 0.000388556 0.000227172 0.000130215 0.000073189 0.000040335 0.000021791
四十七0.000832209 0.000510674 0.00030735 0.000181512 0.000105209 0.000059852 0.000033413
四十八0.00105713 0.000666713 0.000412727 0.000250913 0.000149843 0.000087908 0.000050659
49 0.001335323 0.000864925 0.000550303 0.00034411 0.000211543 0.000127866 0.000075988
50 0.001677713 0.001115298 0.000728779 0.000468372 0.00029616 0.000184277 0.000112831
51 0.002097141 0.001429869 0.00095892 0.000632935 0.000411334 0.000263253 0.000165928
52 0.002608639 0.001823083 0.001253972 0.000849465 0.000566973 0.000372942 0.00024178
53 0.003229744 0.002312203 0.001630164 0.00113262 0.000775858 0.000524135 0.000349238
54 0.003980847 0.00291778 0.002107285 0.001500722 0.001054371 0.000731031 0.00050026
55 0.004885585 0.003664188 0.002709367 0.00197656 0.001423401 0.001012196 0.000710896
56 0.00597127 0.004580236 0.003465469 0.002588353 0.001909441 0.00139177 0.001002546
57 0.007269372 0.005699849 0.004410597 0.003370878 0.002545921 0.001900954 0.001403565
58 0.008816047 0.007062856 0.005586756 0.00436682 0.003374825 0.002579867 0.001951297
59 0.010652724 0.008715865 0.007044171 0.005628345 0.004448633 0.00347982 0.002694649
60 0.012826749 0.01071325 0.008842683 0.007218964 0.005832653 0.004666122 0.003697309
61 0.015392099 0.013118266 0.011053354 0.009215699 0.007607808 0.006221496 0.005041785
62 0.018410157 0.016004284 0.013760297 0.011711618 0.009873964 0.008250245 0.006834419
63 0.021950572 0.019456189 0.017062769 0.014818782 0.01275387 0.010883302 0.009211608
64 0.026092189 0.023571921 0.021077538 0.018671665 0.016397832 0.014284334 0.012347475
65 0.030924076 0.028464206 0.025941585 0.023431109 0.020989225 0.018657089 0.0164633
66 0.036546635 0.034262471 0.031815151 0.029288886 0.026750973 0.024254216 0.021839072
67 0.04307282 0.041114965 0.038885185 0.036472953 0.033953159 0.031387809 0.028827574
68 0.050629456 0.049191119 0.047369225 0.045253478 0.042921917 0.040441984 0.037871519
69 0.059358672 0.058684142 0.057519774 0.055949755 0.054049822 0.051887829 0.049524294
70 0.069419464 0.069813893 0.0696292 0.068938091 0.067807958 0.066301115 0.064475025
71 0.080989374 0.082830042 0.084035241 0.084660814 0.084759948 0.084383237 0.083578736
72 0.094266321 0.09801555 0.101127155 0.103636513 0.105578181 0.10698589 0.10789255
73 0.109470566 0.115690485 0.121352585 0.126471677 0.131062569 0.135140072 0.138718993
74 0.126846847 0.136216216 0.145225225 0.153873874 0.162162162 0.17009009 0.177657658
75 0.146666667 0.16 0.173333333 0.186666667 0.2 0.213333333 0.226666667
全部的1 1 1 1 1 1 1

通过呼叫次数准确扩展覆盖 18 至 24 个标记模式的概率

呼叫18 分19 分20 分21 分22 分23 分24 分
18 0 0 0 0 0 0 0
19 0 0 0 0 0 0 0
20 0 0 0 0 0 0 0
21 0 0 0 0 0 0 0
22 0 0 0 0 0 0 0
23 0 0 0 0 0 0 0
24 0 0 0 0 0 0 0
二十五0 0 0 0 0 0 0
二十六0 0 0 0 0 0 0
二十七0 0 0 0 0 0 0
二十八0 0 0 0 0 0 0
二十九0 0 0 0 0 0 0
三十0.000000001 0 0 0 0 0 0
31 0.000000001 0 0 0 0 0 0
三十二0.000000003 0.000000001 0 0 0 0 0
33 0.000000006 0.000000002 0 0 0 0 0
三十四0.000000012 0.000000004 0.000000001 0 0 0 0
三十五0.000000024 0.000000008 0.000000002 0.000000001 0 0 0
三十六0.000000047 0.000000016 0.000000005 0.000000002 0 0 0
三十七0.00000009 0.000000032 0.000000011 0.000000003 0.000000001 0 0
三十八0.000000166 0.000000062 0.000000022 0.000000008 0.000000002 0.000000001 0
三十九0.000000301 0.000000117 0.000000044 0.000000016 0.000000006 0.000000002 0.000000001
40 0.000000534 0.000000217 0.000000086 0.000000033 0.000000012 0.000000004 0.000000001
41 0.000000928 0.000000395 0.000000163 0.000000066 0.000000025 0.00000001 0.000000003
四十二0.000001585 0.000000705 0.000000305 0.000000128 0.000000052 0.000000021 0.000000008
43 0.000002663 0.000001233 0.000000556 0.000000244 0.000000104 0.000000043 0.000000017
四十四0.000004405 0.000002121 0.000000997 0.000000457 0.000000204 0.000000088 0.000000037
45 0.000007178 0.000003589 0.000001754 0.000000837 0.00000039 0.000000177 0.000000078
46 0.000011537 0.000005982 0.000003036 0.000001507 0.000000731 0.000000346 0.00000016
四十七0.000018299 0.000009827 0.000005172 0.000002666 0.000001345 0.000000663 0.000000319
四十八0.000028669 0.000015927 0.000008682 0.000004641 0.000002431 0.000001247 0.000000625
49 0.000044391 0.000025484 0.00001437 0.000007956 0.000004322 0.000002302 0.000001201
50 0.000067973 0.00004028 0.000023472 0.000013443 0.000007563 0.000004177 0.000002263
51 0.00010299 0.000062938 0.000037858 0.000022405 0.00001304 0.000007459 0.000004191
52 0.000154484 0.000097268 0.000060335 0.000036859 0.000022168 0.000013118 0.000007634
53 0.00022952 0.000148763 0.000095074 0.000059897 0.000037184 0.000022738 0.000013688
54 0.000337904 0.000225269 0.000148204 0.000096198 0.000061587 0.000038875 0.000024183
55 0.000493157 0.000337904 0.000228657 0.000152784 0.000100778 0.000065601 0.000042125
56 0.00071378 0.00050229 0.000349337 0.00024009 0.000163024 0.000109335 0.000072402
57 0.001024915 0.000740217 0.000528726 0.000373473 0.000260838 0.000180081 0.000122865
58 0.001460505 0.001081855 0.000793089 0.00057535 0.000412994 0.000293275 0.000205979
59 0.00206608 0.00156869 0.001179466 0.000878166 0.000647396 0.000472499 0.000341337
60 0.00290235 0.002257383 0.001739713 0.001328508 0.001005167 0.000753444 0.000559414
61 0.00404979 0.003224833 0.002545921 0.001992762 0.001546411 0.001189649 0.000907157
62 0.005614482 0.004574763 0.003697647 0.002964841 0.002358277 0.001860733 0.001456226
63 0.007735509 0.006446257 0.005331491 0.004376669 0.003566175 0.002884136 0.002315026
64 0.010594284 0.00902476 0.007633726 0.00641233 0.005349263 0.004431722 0.003646166
65 0.014426259 0.012556188 0.010856855 0.009327025 0.007961693 0.0067531 0.005691576
66 0.019535559 0.017364941 0.015341207 0.013472369 0.011761592 0.010208175 0.008808391
67 0.026313202 0.023876794 0.021542972 0.019329921 0.017250336 0.015312262 0.013519857
68 0.03525969 0.032647861 0.030070399 0.02755542 0.025125489 0.022798256 0.020587054
69 0.047012921 0.044401092 0.041730349 0.039036845 0.036351771 0.03370177 0.031109327
70 0.062382529 0.060072065 0.057587882 0.054970251 0.052255671 0.049477067 0.04666399
71 0.08239202 0.080866242 0.079042191 0.076958351 0.074650958 0.072154056 0.069499559
72 0.108330248 0.108330248 0.107922991 0.107138097 0.106004361 0.104549755 0.102801432
73 0.141814143 0.144440331 0.146612366 0.148345057 0.149653215 0.150551648 0.151055165
74 0.184864865 0.191711712 0.198198198 0.204324324 0.21009009 0.215495495 0.220540541
75 0.24 0.253333333 0.266666667 0.28 0.293333333 0.306666667 0.32
全部的1 1 1 1 1 1 1

覆盖模式的平均呼叫次数

下表显示了覆盖 1 至 24 个分数模式所需的平均通话次数。此表仅适用于只有一种方法覆盖该模式的情况。

预期覆盖 x 标记模式的呼叫

标记预期的
呼叫
1三十八
2 50.666667
3 57
4 60.8
5 63.333333
6 65.142857
7 66.5
8 67.555556
9 68.4
10 69.090909
11 69.666667
12 70.153846
十三70.571429
14 70.933333
15 71.25
16 71.529412
17 71.777778
18 72
19 72.2
20 72.380952
21 72.545455
22 72.695652
23 72.833333
24 72.96

多人宾果游戏

接下来的三个表格涉及多人宾果游戏。如果单个玩家在 x 次游戏中获得宾果的概率为 p，那么 n 个玩家中至少有一个玩家获得宾果的概率为 1-(1-p) n ，这种说法并不准确。这是因为牌之间的获胜概率是相关的，因为每张硬牌都必须有 1 到 15、16 到 30、46 到 60 和 61 到 75 范围内的五个数字，以及 31 到 45 范围内的四个数字。与上面使用精确概率计算的表格不同，多人宾果游戏表格是通过随机模拟确定的。

下表显示了根据游戏中牌张数量，在4到31次叫牌中出现宾果的概率。例如，在一场200张牌的游戏中，在15次叫牌中出现第一个宾果的概率为11.77%。此表基于随机模拟。对于非常低的概率，我们应该持保留态度，因为它们可能仅仅基于样本中一次出现的情况。

准确按呼叫次数计算宾果概率

呼叫100张卡片200张卡片500张卡片1000张卡片
4 0.000333167 0.000639132 0.001545351 0.002983166
5 0.001341463 0.002625 0.006396723 0.011673257
6 0.003404038 0.006691083 0.015624365 0.028503103
7 0.006963215 0.013373607 0.03056466 0.054277042
8 0.012340564 0.023433519 0.051918191 0.086568549
9 0.019871351 0.037010947 0.076838161 0.120499356
10 0.029717013 0.053648288 0.103894182 0.145935527
11 0.041651539 0.072544586 0.126298908 0.15385821
12 0.055417233 0.091149084 0.13820249 0.140720391
十三0.069777089 0.107159236 0.13611471 0.110260937
14 0.08362415 0.116721736 0.117300559 0.072856976
15 0.095122551 0.11774383 0.087937627 0.040533943
16 0.102117953 0.108574045 0.056048018 0.018943822
17 0.103352359 0.090687301 0.030212144 0.00801996
18 0.097540284 0.067779658 0.013738567 0.003046216
19 0.085478209 0.044590565 0.005132749 0.000995289
20 0.069016393 0.025538416 0.001649517 0.000279221
21 0.050929028 0.012566083 0.00046875 0.000039631
22 0.033866054 0.005165804 0.000095274 0.000004504
23 0.02017523 0.001741441 0.000016514 0.000000901
24 0.010526889 0.000481091 0.000002541 0
二十五0.00477439 0.000112858 0 0
二十六0.001839564 0.000019506 0 0
二十七0.000604958 0.000002588 0 0
二十八0.00017433 0.000000597 0 0
二十九0.000033287 0 0 0
三十0.000007197 0 0 0
31 0.0000005 0 0 0
全部的1 1 1 1

下表显示了根据游戏中牌的数量，在4到31次或更短的时间内出现宾果的概率。例如，在一场200张牌的游戏中，在15次或更短的时间内出现第一个宾果的概率为64.27%。非常低的概率应该谨慎对待，因为它们可能仅仅基于样本中一次出现的情况。

宾果概率（按呼叫次数或更少）

呼叫100张卡片200张卡片500张卡片1000张卡片
4 0.000333167 0.000639132 0.001545351 0.002983166
5 0.00167463 0.003264132 0.007942073 0.014656423
6 0.005078669 0.009955215 0.023566438 0.043159526
7 0.012041883 0.023328822 0.054131098 0.097436567
8 0.024382447 0.046762341 0.106049289 0.184005116
9 0.044253798 0.083773288 0.182887449 0.304504472
10 0.073970812 0.137421576 0.286781631 0.450439999
11 0.115622351 0.209966162 0.413080539 0.604298208
12 0.171039584 0.301115247 0.551283028 0.7450186
十三0.240816673 0.408274482 0.687397739 0.855279537
14 0.324440824 0.524996218 0.804698298 0.928136512
15 0.419563375 0.642740048 0.892635925 0.968670456
16 0.521681327 0.751314092 0.948683943 0.987614278
17 0.625033687 0.842001393 0.978896087 0.995634238
18 0.72257397 0.909781051 0.992634654 0.998680454
19 0.808052179 0.954371616 0.997767403 0.999675743
20 0.877068573 0.979910032 0.999416921 0.999954964
21 0.927997601 0.992476115 0.999885671 0.999994596
22 0.961863655 0.997641919 0.999980945 0.999999099
23 0.982038884 0.99938336 0.999997459 1
24 0.992565774 0.999864451 1 1
二十五0.997340164 0.999977309 1 1
二十六0.999179728 0.999996815 1 1
二十七0.999784686 0.999999403 1 1
二十八0.999959016 1 1 1
二十九0.999992303 1 1 1
三十0.9999995 1 1 1
31 1 1 1 1

宾果游戏中平局很常见。牌越多，同时叫出“宾果”的人数就越多。下表显示了根据确切叫牌次数和牌数计算出的预期获胜人数。例如，在一个200张牌的游戏中，如果在第20次叫出“宾果”，那么预期叫出“宾果”的玩家人数为1.66。对于非常低的概率，我们应该持保留态度，因为它们可能仅仅基于样本中一次出现的情况。

预计叫宾果的玩家数量

呼叫100张卡片200张卡片500张卡片1000张卡片
4 1.0090009 1.02335721 1.061652281 1.114432367
5 1.015275708 1.029496512 1.069307914 1.121296296
6 1.022258765 1.042122799 1.083987154 1.146942645
7 1.028581682 1.048192412 1.104964568 1.190889479
8 1.033890891 1.061522127 1.132701248 1.239306635
9 1.043170534 1.077518379 1.164762676 1.302551913
10 1.052359825 1.094201366 1.207151634 1.389465628
11 1.063636058 1.116077308 1.260499384 1.502997342
12 1.076579112 1.141551275 1.324602686 1.647857033
十三1.093521954 1.174362146 1.405741511 1.836531471
14 1.113105085 1.212457155 1.508972374 2.093635644
15 1.135955427 1.255469998 1.643348814 2.449646682
16 1.161564153 1.311716739 1.802746991 2.885650437
17 1.19272741 1.377605556 2.010154312 3.418463612
18 1.230036493 1.454971001 2.284419787 3.982554701
19 1.271820227 1.549211465 2.629625046 4.328506787
20 1.322227855 1.660278243 3.078167116 4.719354839
21 1.382000573 1.804489007 3.447154472 6.772727273
22 1.449972845 1.961545871 4.026666667 3.6
23 1.52832292 2.178420391 5.153846154 2
24 1.615738147 2.376086057 4.75 0
二十五1.722860792 2.726631393 0 0
二十六1.855784383 2.714285714 0 0
二十七2.020819564 3.461538462 0 0
二十八2.170298165 4.666666667 0 0
二十九2.21021021 0 0 0
三十2.569444444 0 0 0
31 2.6 0 0 0
全面的1.201004098 1.263574841 1.401860391 1.598345388

100张牌宾果游戏的概率基于10,004,000场游戏的样本量。200张牌宾果游戏的样本量为5,024,000场。500张牌宾果游戏的样本量为5,574,400场。1000张牌宾果游戏的样本量为1,110,230场。

多人连体服

接下来的三个表格涉及一场覆盖整张牌的游戏，玩家人数分别为 100、200、500 和 1000 人。

下表显示了根据牌局数量，在恰好24到75次叫牌中，出现连体衣的概率。例如，在一场200张牌的游戏中，在恰好60次叫牌中，第一张连体衣出现的概率为8.88%。非常低的概率应该谨慎对待，因为它们可能仅仅基于样本中一次出现的情况。

按呼叫次数准确计算覆盖率的概率

呼叫100张卡片200张卡片500张卡片1000张卡片
24 0 0 0 0
二十五0 0 0 0
二十六0 0 0 0
二十七0 0 0 0
二十八0 0 0 0
二十九0 0 0 0
三十0 0 0 0
31 0 0 0 0
三十二0 0 0 0
33 0 0 0 0
三十四0 0 0 0
三十五0 0 0 0
三十六0 0 0 0
三十七0 0 0 0
三十八0.000000081 0 0.000000556 0
三十九0 0.000000451 0 0
40 0.000000244 0.000000451 0.000001668 0.00000335
41 0.000000812 0.000000677 0.000001112 0
四十二0.000000812 0.000002481 0.000003336 0.000005584
43 0.0000013 0.00000406 0.000008341 0.000023453
四十四0.000004387 0.000006316 0.000017794 0.000040205
45 0.000007392 0.000011954 0.000035587 0.000067009
46 0.000016653 0.000031127 0.0000873 0.000161939
四十七0.000032331 0.000061126 0.000171819 0.000329462
四十八0.000063444 0.000131273 0.000310832 0.000617601
49 0.000124939 0.000240217 0.000598866 0.001111235
50 0.000221852 0.000450885 0.001129893 0.002188966
51 0.000418197 0.000823052 0.002054604 0.004050704
52 0.000773924 0.001495433 0.003847309 0.007561983
53 0.001392283 0.002724033 0.00671597 0.013308019
54 0.002404224 0.004761024 0.011786588 0.02302323
55 0.004186596 0.008286004 0.020299155 0.038641948
56 0.00714078 0.014069246 0.033530916 0.062962922
57 0.011965475 0.023529942 0.054423376 0.096555729
58 0.019776442 0.037942709 0.083837856 0.136793612
59 0.031830382 0.059312281 0.120524911 0.17127094
60 0.04982039 0.08881606 0.157332629 0.180108331
61 0.075076767 0.124190143 0.177556161 0.147070583
62 0.106797563 0.156943949 0.161671486 0.082063882
63 0.140753859 0.172727416 0.107064613 0.027109672
64 0.164937206 0.152701928 0.045642794 0.004566674
65 0.163299594 0.099422578 0.01031528 0.000350681
66 0.126231113 0.04129559 0.000993661 0.000012285
67 0.067797238 0.009152588 0.000035587 0
68 0.021547035 0.000845833 0 0
69 0.003220227 0.000019172 0 0
70 0.000154427 0 0 0
71 0.000002031 0 0 0
72 0 0 0 0
73 0 0 0 0
74 0 0 0 0
75 0 0 0 0
全部的1 1 1 1

在100人游戏中，连体服的预期呼唤次数为63.43次，在200人游戏中为62.00次，在500人游戏中为60.18次，在1000人游戏中为58.85次。对于非常低的概率，我们应该持保留态度，因为它们可能仅仅基于样本中一次的出现。

下表显示了根据游戏中牌张数量，在24至75次或更短时间内叫出连体衣的概率。例如，在一场200张牌的游戏中，在60次或更短时间内叫出第一张连体衣的概率为36.69%。

按呼叫次数或更少计算的覆盖概率

呼叫100张卡片200张卡片500张卡片1000张卡片
24 0 0 0 0
二十五0 0 0 0
二十六0 0 0 0
二十七0 0 0 0
二十八0 0 0 0
二十九0 0 0 0
三十0 0 0 0
31 0 0 0 0
三十二0 0 0 0
33 0 0 0 0
三十四0 0 0 0
三十五0 0 0 0
三十六0 0 0 0
三十七0 0 0 0
三十八0.000000081 0 0.000000556 0
三十九0.000000081 0.000000451 0.000000556 0
40 0.000000325 0.000000902 0.000002224 0.00000335
41 0.000001137 0.000001579 0.000003336 0.00000335
四十二0.00000195 0.00000406 0.000006673 0.000008935
43 0.000003249 0.00000812 0.000015013 0.000032388
四十四0.000007636 0.000014436 0.000032807 0.000072593
45 0.000015028 0.00002639 0.000068394 0.000139602
46 0.000031682 0.000057517 0.000155694 0.000301541
四十七0.000064013 0.000118642 0.000327513 0.000631003
四十八0.000127457 0.000249915 0.000638345 0.001248604
49 0.000252396 0.000490132 0.001237211 0.002359839
50 0.000474249 0.000941017 0.002367104 0.004548805
51 0.000892445 0.001764069 0.004421708 0.008599509
52 0.001666369 0.003259502 0.008269017 0.016161492
53 0.003058652 0.005983534 0.014984987 0.029469511
54 0.005462876 0.010744558 0.026771575 0.052492741
55 0.009649472 0.019030563 0.04707073 0.091134688
56 0.016790252 0.033099808 0.080601646 0.15409761
57 0.028755727 0.056629751 0.135025022 0.250653339
58 0.048532169 0.09457246 0.218862878 0.387446951
59 0.080362551 0.153884741 0.339387789 0.558717891
60 0.130182941 0.242700801 0.496720418 0.738826223
61 0.205259708 0.366890944 0.674276579 0.885896806
62 0.312057271 0.523834893 0.835948065 0.967960688
63 0.452811129 0.69656231 0.943012678 0.99507036
64 0.617748335 0.849264238 0.988655472 0.999637034
65 0.781047929 0.948686816 0.998970752 0.999987715
66 0.907279041 0.989982407 0.999964413 1
67 0.975076279 0.999134995 1 1
68 0.996623314 0.999980828 1 1
69 0.999843542 1 1 1
70 0.999997969 1 1 1
71 1 1 1 1
72 1 1 1 1
73 1 1 1 1
74 1 1 1 1
75 1 1 1 1

分享奖金

平局在所有宾果游戏中都很常见，包括连体宾果游戏。牌的数量越多，图案越容易覆盖，平局的情况就越多。下表显示了根据图案和牌的数量，平均有多少人会判定为宾果。HW 代表“Hard Way”（困难路），这意味着玩家无法使用空闲的格子。

预计叫宾果的玩家数量

游戏牌
2000 4000 6000 8000 10000
单宾果2.62 4.11 5.72 7.11 8.2
双倍宾果1.3 1.34 1.37 1.39 1.42
三重宾果1.27 1.31 1.33 1.34 1.33
单人家庭宾果游戏1.49 1.78 2.01 2.32 2.6
双倍 HW 宾果游戏1.27 1.3 1.33 1.35 1.4
三重 HW 宾果游戏1.26 1.27 1.29 1.31 1.31
六块腹肌1.96 2.54 3.08 3.68 4.21
九块腹肌1.35 1.43 1.47 1.53 1.55
连体服1.32 1.34 1.34 1.35 1.38

玩宾果游戏最让人头疼的就是必须分享累积奖金。在我看来，许多玩家愿意支付保费以获得全额累积奖金，无论同时参与宾果游戏的其他玩家有多少。上表可以用来确定此类累积奖金分享保险的合理保费。例如，在一场包含10,000张卡牌的游戏中，预期中奖人数为1.38人。累积奖金分享保险的合理保费应为每张卡牌价格的38%。

我正在申请一项关于累积奖金分享保险的专利。我欢迎任何宾果游戏厅尝试这个概念。如有任何兴趣，请联系我。

另一个关于宾果概率的好资料是杜兰戈·比尔的《宾果概率》 。他提供的概率和我提供的一样，但对概率的计算方法进行了更深入的讲解。

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撰写者: Michael Shackleford