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90 个数字宾果游戏 - 分析

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简介

与美国宾果游戏不同，美国宾果游戏使用 5x5 的卡片，数字从 1 到 75，而欧洲和南美洲的宾果游戏通常使用 3x9 的卡片，数字从 1 到 90。下面是一个例子。

如示例所示，该卡牌包含3行9列。每行恰好有5个数字。每行的其他四个格子是空白格，或者说是空格。我从其他示例中看到，第一行包含数字1到10，第二行包含数字11到20，依此类推，但从数学上讲这并不重要。我听说过的所有获胜事件都基于仅覆盖行，因此从数学上讲，游戏可以在3乘5的卡牌上进行，并且所有数字都覆盖，赔率是一样的。

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下表显示了抽出的球的数量恰好覆盖 0 到 3 行的概率。

90 个数字宾果游戏中的概率

呼叫零行一行两排三排
5 0.99999993 0.00000007 0.00000000 0.00000000
6 0.99999959 0.00000041 0.00000000 0.00000000
7 0.99999857 0.00000143 0.00000000 0.00000000
8 0.99999618 0.00000382 0.00000000 0.00000000
9 0.99999140 0.00000860 0.00000000 0.00000000
10 0.99998280 0.00001720 0.00000000 0.00000000
11 0.99996846 0.00003154 0.00000000 0.00000000
12 0.99994594 0.00005406 0.00000000 0.00000000
十三0.99991215 0.00008785 0.00000000 0.00000000
14 0.99986334 0.00013666 0.00000000 0.00000000
15 0.99979502 0.00020498 0.00000000 0.00000000
16 0.99970184 0.00029815 0.00000000 0.00000000
17 0.99957761 0.00042238 0.00000001 0.00000000
18 0.99941517 0.00058481 0.00000002 0.00000000
19 0.99920632 0.00079364 0.00000005 0.00000000
20 0.99894179 0.00105812 0.00000010 0.00000000
21 0.99861115 0.00138866 0.00000018 0.00000000
22 0.99820277 0.00179689 0.00000034 0.00000000
23 0.99770370 0.00229570 0.00000060 0.00000000
24 0.99709968 0.00289929 0.00000103 0.00000000
二十五0.99637503 0.00362325 0.00000171 0.00000000
二十六0.99551261 0.00448461 0.00000279 0.00000000
二十七0.99449375 0.00550182 0.00000442 0.00000000
二十八0.99329824 0.00669488 0.00000688 0.00000000
二十九0.99190422 0.00808528 0.00001050 0.00000000
三十0.99028822 0.00969603 0.00001575 0.00000000
31 0.98842504 0.01155172 0.00002324 0.00000001
三十二0.98628779 0.01367841 0.00003379 0.00000001
33 0.98384784 0.01610367 0.00004847 0.00000002
三十四0.98107483 0.01885649 0.00006864 0.00000004
三十五0.97793665 0.02196722 0.00009606 0.00000007
三十六0.97439951 0.02546744 0.00013293 0.00000012
三十七0.97042791 0.02938983 0.00018206 0.00000020
三十八0.96598475 0.03376802 0.00024690 0.00000034
三十九0.96103137 0.03863633 0.00033175 0.00000055
40 0.95552768 0.04402955 0.00044189 0.00000088
41 0.94943224 0.04998261 0.00058377 0.00000139
四十二0.94270245 0.05653021 0.00076518 0.00000215
43 0.93529473 0.06370641 0.00099556 0.00000331
四十四0.92716472 0.07154411 0.00128615 0.00000502
45 0.91826755 0.08007453 0.00165039 0.00000753
46 0.90855815 0.08932650 0.00210418 0.00001117
四十七0.89799157 0.09932579 0.00266623 0.00001641
四十八0.88652342 0.11009427 0.00335844 0.00002387
49 0.87411026 0.12164899 0.00420635 0.00003440
50 0.86071014 0.13400121 0.00523950 0.00004915
51 0.84628315 0.14715527 0.00649196 0.00006963
52 0.83079206 0.16110738 0.00800271 0.00009786
53 0.81420297 0.17584435 0.00981620 0.00013648
54 0.79648609 0.19134220 0.01198273 0.00018898
55 0.77761658 0.20756463 0.01455894 0.00025984
56 0.75757538 0.22446152 0.01760820 0.00035491
57 0.73635018 0.24196726 0.02120090 0.00048166
58 0.71393646 0.25999913 0.02541473 0.00064968
59 0.69033853 0.27845558 0.03033472 0.00087116
60 0.66557064 0.29721460 0.03605320 0.00116155
61 0.63965818 0.31613208 0.04266942 0.00154032
62 0.61263880 0.33504034 0.05028895 0.00203191
63 0.58456365 0.35374681 0.05902266 0.00266688
64 0.55549858 0.37203294 0.06898520 0.00348328
65 0.52552523 0.38965352 0.08029298 0.00452826
66 0.49474217 0.40633638 0.09306135 0.00586010
67 0.46326585 0.42178271 0.10740092 0.00755051
68 0.43123143 0.43566818 0.12341295 0.00968745
69 0.39879339 0.44764485 0.14118334 0.01237841
70 0.36612594 0.45734441 0.16077531 0.01575434
71 0.33342294 0.46438259 0.18222022 0.01997425
72 0.30089756 0.46836541 0.20550639 0.02523064
73 0.26878130 0.46889735 0.23056555 0.03175580
74 0.23732239 0.46559188 0.25725642 0.03982931
75 0.20678340 0.45808485 0.28534510 0.04978664
76 0.17743793 0.44605116 0.31448165 0.06202926
77 0.14956616 0.42922523 0.34417227 0.07703633
78 0.12344911 0.40742607 0.37374651 0.09537832
79 0.09936129 0.38058747 0.40231862 0.11773261
80 0.07756165 0.34879432 0.42874235 0.14490167
81 0.05828228 0.31232578 0.45155806 0.17783387
82 0.04171481 0.27170652 0.46893125 0.21764743
83 0.02799390 0.22776704 0.47858117 0.26565789
84 0.01717756 0.18171454 0.47769830 0.32340960
85 0.00922370 0.13521556 0.46284907 0.39271166
86 0.00396252 0.09049229 0.42986627 0.47567891
87 0.00106401 0.05043412 0.37372319 0.57477869
88 0.00000000 0.01872659 0.28838951 0.69288390
89 0.00000000 0.00000000 0.16666667 0.83333333
90 0.00000000 0.00000000 0.00000000 1.00000000

方法论——第一部分

以下是我对上表的计算方法。首先，我先定义一些变量。

  • n = 抽出的球的数量。
  • a = 覆盖所有三行的概率。
  • b = 覆盖至少两行特定行的概率。
  • c = 至少覆盖一行特定行的概率。

以下是 a、b 和 c 的公式：

  • a = 组合(a,15)/组合(90,15)
  • b = 组合(a,10)/组合(90,10)
  • c = 组合（a,5）/组合（90,5）

以下是恰好覆盖零到三行的公式。对于一行和两行，公式可以是任意一行或两行。

  • 恰好覆盖三行 = a。
  • 恰好覆盖两行 = 3×(ba)。
  • 恰好覆盖一行 = 3×(c-2b+a)。
  • 恰好覆盖零行 = 1 - (3c-3b+a)。

方法论——第 2 部分

本节展示了获取上表中概率的另一种方法。

在 c 次调用中覆盖 m 个标记的概率为combin (15,m)*combin(75,cm)/combin(90,m)。利用该概率，你可以计算出覆盖一张牌的概率为 combin(75,90-m)/combin(90,m)。为了计算覆盖 1 行或 2 行的概率，我确定了 m 个标记覆盖 1 行或 2 行的概率。下图基于基本概率展示了这些概率。

标记数覆盖的行

标记0 行1 行2 行3 行全部的
5 0.999001 0.000999 0 0 1
6 0.994006 0.005994 0 0 1
7 0.979021 0.020979 0 0 1
8 0.944056 0.055944 0 0 1
9 0.874126 0.125874 0 0 1
10 0.749251 0.24975 0.000999 0 1
11 0.549451 0.43956 0.010989 0 1
12 0.274725 0.659341 0.065934 0 1
十三0 0.714286 0.285714 0 1
14 0 0 1 0 1
15 0 0 0 1 1

紧急游戏

Urgent Games 是一家为互联网赌场提供游戏的供应商，提供 90 个号码的宾果游戏。玩家可以选择 45、55 或 65 个号码的抽奖。以下三个表格分别分析了每个选项。Excel 中有效数字限制为 15 位，敬请谅解。

45个数字

下表展示了Urgent Games软件的45球投注游戏。右下角单元格显示预期回报率为48.36%。

45个数字

行/行>支付组合可能性返回
3 100 781,879,430,625,944,000,000 0.000008 0.000753
2 50 171,356,221,250,483,000,000,000 0.001650 0.082520
1 5 8,313,931,625,579,050,000,000,000 0.080075 0.400373
0 0 95,341,351,561,293,300,000,000,000 0.918268 0.000000
全部的103,827,421,287,553,000,000,000,000 1.000000 0.483645

55个数字

下表展示了Urgent Games软件的55球投注游戏。右下角单元格显示预期回报率为57.37%。

65个数字

行/行>支付组合可能性返回
3 50 2,942,618,815,403,660,000,000 0.000260 0.012992
2 10 164,874,003,096,150,000,000,000 0.014559 0.145589
1 2 2,350,584,069,921,270,000,000,000 0.207565 0.415129
0 0 8,806,187,820,277,450,000,000,000 0.777617 0.000000
全部的0 11,324,588,512,110,300,000,000,000 1.000000 0.573711

65个数字

下表展示了Urgent Games软件的65球投注游戏。右下角单元格显示预期回报率为64.08%。

65个数字

行/行>支付组合可能性返回
3 20 52,588,547,141,148,900,000 0.004528 0.090565
2 2 932,475,551,941,065,000,000 0.080293 0.160586
1 1 4,525,207,169,948,350,000,000 0.389654 0.389654
0 0 6,103,141,366,229,710,000,000 0.525525 0.000000
全部的0 11,613,412,635,260,300,000,000 1.000000 0.640805

巫师关于宾果游戏的信息

撰写者: Michael Shackleford