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Kelly Criterion凯利准则
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简介
Kelly Criterion凯利准则是⼀种押注⾦额的技巧、针对优势赌客对于risk⻛ 险与reward回报两者之间的平衡。相同的原理也可运⽤在任何能够获利的 投资上⾯。针对赌客/投资者俱备平均的投注资本与固定的押注⾦额, 在⼀ 笔押注之后的预期资⾦成⻓为:
例如, 假设⼀家赌场推⾏Craps花旗骰的促销活动, 总点数为2点⽀付3⽐1 的赔率、12点⽀付4⽐1的赔率。 3点, 4点, 9点, 10点, 11点还是维持⽀付1 ⽐1的赔率, 其他的总点数则算输。 2点或12点的机率各为1/36, 任何even money等额注⾦赔率的赢注机率为14/36, 输注的机率为20/36. 假设玩家每 ⼀笔押注⾦额为其资⾦的1%. 则每⼀笔押注预期的资⾦增⻓为:
(1 + (0.01*3))^(1/36) * (1 + (0.01*1)^(14/36) * (1 + (0.01*-1))^(20/36) * (1 + (0.01*4))^(1/36)) - 1 = 0.00019661.
这项乘积是Kelly betting凯利押注的最⼤值。 Kelly betting凯利押注也最⼩ 化达到加倍资⾦所需要的押注次数, 押注⾦额总是以⺫前资⾦的⽐例来做 出调整。
Kelly押注的⾦额是针对赌客的平均赢注机率、得出能够最⼤化预期资⾦成 ⻓的最佳押注⾦额。当押注多过Kelly的押注⾦额时、相较于刚好押注 Kelly⾦额的状况, 过多押注所增加的不稳定性将会导致⻓期资⾦成⻓的下 降。押注双倍的Kelly⾦额会导致预期资⾦的零成⻓。任何⼤过双倍Kelly ⾦额的押注、将会导致预期资⾦的减少。最常⻅的是押注少于Kelly⾦额的 状况, 如此会降低预期的成⻓, 也会降低资⾦的不稳定性。例如, 押注⼀半 的Kelly⾦额, 会降低50%的资⾦不稳定性, 不过成⻓却只有25%.
针对只有两种结果的简单押注, 最佳的Kelly bet凯利押注是优势除以「to one⽐⼀」赔率基准的押注⽀付。⾄于超过⼀种可能结果的押注, 最佳的 Kelly wager凯利押注是最⼤化押注之后的资⾦log对数值。然⽽, 针对超过 ⼀种可能结果的押注, 可能很难得出结果。⼤部分的赌客都是运⽤ advantage优势/variance变异数来当作估计值, 那是相当好的⼀种估值。 例如, 如果⼀种押注有2%的优势, ⽽variance变异数有4种, 赌客运⽤「full Kelly完全凯利押注⾦额」将会押注 0.02/4 = 0.5% 的资⾦在那次赌局上。 记住variance变异数为standard deviation标准均⽅差的平⽅, 这个数值在 我的Game Comparison Guide游戏⽐较指南当中列出的许多游戏⾥都 有。
让我们查看以下三种范例:
范例1: ⼀位算牌者在算牌时可以得知1%的优势。从我的Game Comparison Guide游戏⽐较指南, 我们知道Blackjack⼆⼗⼀点的standard deviation标准均⽅差为1.15（这个数值会随着规则与算牌⽽有变化）。如 果standard deviation标准均⽅差为1.15, 则variance变异数为 1.152 = 1.3225. 押注相对于资⾦的占⽐为 0.01 / 1.3225 = 0.76%.
范例2: 城⾥⼀家赌场提供video poker视频扑克5X点数的促销活动。通常 在slot club⽼⻁机俱乐部free play免费试玩在2/9⽼⻁机当中⽀付1%. 所以 在5X, ⽼⻁机俱乐部⽀付1.11%. 最佳的游戏是「9/6 Jacks or Better」视 频扑克、其回报率为99.54%. 在⽼⻁机俱乐部的点数之后, 其回报率为 99.54% + 1.11% = 100.65%, 或者是0.65%的优势。在「Game Comparison Guide游戏⽐较指南」当中显⽰「9/6 Jacks or Better」的 standard deviation标准均⽅差为4.42, 所以variance变异数为19.5364. 押 注相对于资⾦的占⽐为0.0065 / 19.5364 = 0.033% . 顺便⼀提的是, 当我 写作本⽂时的2007年9⽉2⽇和3⽇, Wynn永利赌场刚好正在提供这种促销 活动。
范例3: ⼀种运动投注有20%的赢注机会, ⽀付赔率为9⽐2. 其优势为 0.2×4.5 + 0.8×-1 = 0.1. 最佳的Kelly wager凯利押注为 0.1/4.5 = 2.22%.
以下为范例3的数学运算。假设 x 为最佳的Kelly bet凯利押注, 押注之前的 资⾦为1. 预期的押注之后的资⾦log对数值为...
f(x) = 0.2 × log(1+4.5x) + 0.8 × log(1-x)
要最⼤化f(x), 将函数设为零来推算。
f'(x) = 0.2 × 4.5 / (1+4.5x) - 0.8 / (1-x) = 0
0.9 / (1+4.5x) = 0.8/(1-x)
0.9 - 0.9x = 0.8 + 3.6 x
4.5x = 0.1
x = .1/4.5 = 1/45 = 2.22%
当超过⼀种可能结果时、数学推算会更加繁杂, 例如在video poker视频扑 克的情况。⽅法还是相同, 不过要得出 x 会更加困难。在这种情况要解出x 的最简单⽅法, 依我所⻅, 是利⽤不同的数值加以实验, 运⽤较⾼或较低的 技巧（像是「Price is Right价钱是正确的」Clock Game时钟游戏） , 直 到f'(x)趋近于零。
我针对回报率超过100%的两种普遍video poker视频扑克游戏来做这个运 算。针对「Full Pay Deuces Wild满付2点⺩牌」、回报率为100.76%, 最 佳押注⾦额为资⾦的0.0345%. 针对「10/7 Double Bonus加倍红利」、回 报率为100.17%, 最佳押注⾦额为资⾦的0.0062637%. 我听过⼀种实⽤⽅ 法是, 你在视频扑克要运⽤它、应该准备同花⼤顺奖⾦的3到5倍资⾦去 玩。如果是玩「Full Pay Deuces Wild满付2点⺩牌」, 则资⾦是3.66倍的 同花⼤顺奖⾦。针对「10/7 Double Bonus加倍红利」, 则是19.96倍的同 花⼤顺奖⾦。
模拟
为了要证明我的论点、Kelly最⼩化押注的次数以达到加倍的资⾦, 我假设 ⼀种even money等额注⾦赔率的押注、俱有51%的赢注机会, 也就是2% 的优势, 和2%的Kelly押注⾦额。这⾥是在不同的押注⾦额、平均需要押注 多少次才能让资⾦加倍。如果在⼀笔赢注的押注⾦额、押注者必须押注超 过加倍资⾦所需要的⾦额时, 那么他只要押注刚好能够加倍资⾦的⾦额即 可。
加倍资⾦的平均押注次数
| 押注⾦额 | 平均押注次数 |
|---|---|
| 0.5% | 7,901 |
| 1% | 4,617 |
| 2% | 3,496 |
| 3% | 4,477 |
Kelly Vs. 最佳视频扑克策略
在我的 2007年9⽉20⽇Ask the Wizard请问巫师专栏 当中, 我建议Kelly押 注者有时候不要按照最佳视频扑克策略去玩牌。我的理由在那⾥有解释 过。
连结到Kelly
德⽂版翻译 本篇专⻚的.
Fortune’s Formula by William Poundstone. 阅读我的评论 。
Kelly的⼀种不错的材料来源, 特别是关于Blackjack⼆⼗⼀点, 是 Blackjack Attack⼆⼗⼀点攻击 by Don Schlesinger.
SBRForum.com 针对Kelly有不错的材料, 包括⽂章《A Quantitative Introduction to the Kelly Criterion凯利准则的量化介绍》, part I 和 part II, 还有⼀种 Kelly calculator计算器 。
Kelly Criterion凯利准则的 Wikipedia维基百科.