概率 - 随机数

让我们试着重新表述这个问题。假设彩票有 1000 万种组合，所有玩家随机选择号码（允许重复），那么彩票需要售出多少张彩票才能使至少一人中奖的概率达到 90%？设中奖概率为 p，售出的彩票数量为 n。1 人输掉的概率是 1-p。n 人全部输掉的概率是 (1-p) ⁿ 。至少有一人中奖的概率是 1 - (1-p) ⁿ 。因此，我们需要将其设为 0.9，并解出 n。

.9 = 1 - (1-p) ⁿ
.1 = (1-p) ⁿ
ln(.1) = ln((1-p) ⁿ )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(.9999999)
n = 23,025,850。

因此，彩票需要售出23,025,850张彩票，才能使至少一位中奖者的概率达到90%。如果你想知道，如果彩票恰好售出1000万张彩票，那么至少一位中奖者的概率将是63.2%，非常接近1-(1/e)。

答案中的一个因素是售给其他玩家的彩票总数。如果不止一位玩家中了头奖，奖金就必须由其他玩家分享。我们设可能的组合数为 n，售出的其他彩票总数为 t，小奖的回报率为 r（在大奖赛中，r=0.179612），j 为头奖金额。要使这笔投资达到盈亏平衡，j*n/(n+t) + r*n - n=0。结果为 j=(1-r)*(n+t)。

使用 Visual C++ 时，种子显然总是相同的。如果我给程序相同的输入，那么经过随机模拟后，输出也总是相同的。我的理解是，这正是微软的意图，以便实验能够完全重复。Visual J++ 显然会根据我的游戏有所不同，否则每次都会以相同的顺序出现相同的牌局。

后记：自从写了这篇文章之后，我找到了一种调用随机数的方法，虽然速度慢，但效果更好。点击此处了解更多信息。

20个人生日全不相同的概率（忽略闰日）为(364/365)*(363/365)*(362/365)...(346/365) = 58.8562%，因此至少两人生日相同的概率为41.1438%。而要使匹配概率超过50%，最少需要23人。

在 94 道题中答对 6 道题的概率是 combin(94,6) 中的 1，即 814,216,767 分之一。

谢谢你的赞美。任何入门概率统计书籍都应该对二项分布进行很好的阐述。简而言之，二项分布是在给定每个事件的特定概率和特定试验次数的情况下，任意给定数量事件发生的概率。具体来说，如果每次成功的概率为 p，成功次数为 s，试验次数为 n，则 s 次成功的概率为 p· ^s * (1-p) ^ns * combin(n,s)。combin 函数的解释在我的词汇表中。例如，假设你想知道在 100 次轮盘赌中，红色的数量恰好是 60 的概率。根据二项分布，概率为 (18/38) ⁶⁰ * (20/38) ⁴⁰ * combin(100,60) = 0.003291。

Excel 也有一个二项分布函数。它是 =BINOMDIST(x,n,p,0)，其中：

x=阳性试验次数。n=试验总次数。p=任何给定试验的成功概率。

在函数的第四位使用 0 表示 x 的准确获胜概率。对于 x 或更少的获胜概率，使用 1。

在上面的轮盘赌示例中，函数将是 =BINOMDIST(60,100,18/38,0)

我认为你提到的实际上叫做“大数定律”。它指出，对于均值为 x 的 n 个随机变量的随机样本，当样本规模趋于无穷大时，样本均值 x _n收敛于 x。我们可以把赌注的结果看作一个随机变量。这条定律告诉我们，随着赌注数量的增加，平均结果会越来越接近赌场优势。

我不喜欢用这种形式的概率，但它们通常用在这样的句式中：“抽到同花大顺的概率是649,739比1。” 这意味着有649,739种方法你抽不到同花大顺，只有1种方法可以抽到。在你的例子中，12比1的概率是1/13，即7.69%，而3比2的概率是2/5，即40.00%，所以3比2的概率更高。

在您的示例中，正确得出 x 的概率是 combin(100,x)*(1/5) ^x *(4/5) ^(100-x) 。要得到精确答案，您必须计算 x 从 0 到 24 的所有值，将它们相加，然后取与 1 的差。答案是 13.14%。

你应该在我还在社保局当精算师的时候就问我这个问题。我本来可以轻松地在全国范围内查询死亡记录。我会说答案接近365分之一。这个数字可能略低一些，因为婴儿出生后的死亡率异常高。2000年出生的婴儿，第一年内死亡的概率为男婴0.71%，女婴0.59%。换句话说，这些婴儿不太可能在生日当天死亡，因为一旦过了第一个生日，孩子就过了危险期。另外，虽然我不知道这是否属实，但《六尺之下》这首歌里说，殡仪馆的生意在一月份会好转，显然是因为人们试图再撑一个圣诞假期，然后就放弃了。同样的逻辑也适用于庆祝生日。比如乔治·伯恩斯，他在百岁生日后48天去世。

您的数字恰好命中 x 次的概率是 combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x 。下表显示了从 0 到 6 的所有命中次数以及总数的概率。

所以答案是 0.00000177564555，即 563175 中的 1。我希望这种情况不会发生在互联网赌场。

你可能想知道，为什么我没有像上面抛硬币问题那样使用正态近似。这是因为它在非常高和非常低的概率下都不太有效。

如果你在选错一次后移除了杯子，那么你的答案就是正确的。由于你每次选错后都会把杯子留在桌子上，所以每次选错的概率是 1/322，选错的概率是 321/322。75 次选错的概率是 (321/322) ⁷⁵ = 79.193%。所以，75 次选错至少一次的概率是 100% - 79.193% = 20.807%。

那将是组合(34,18)*.19^18*(1-.19)^(34-18) = 0.000007880052468。

A 的概率显然是 25%。五次射击中零次的概率是 0.95 ⁵ = 77.378%。因此，五次射击中至少一次的概率是 100% - 77.378% = 22.622%。所以 A 的概率更高。

过去的旋转结果无关紧要。连续三次出现红色 23 的概率是 (1/38) ³ = 1/54,872。

因此，有30个黑色号码、30个红色号码和4个绿色号码。这样，黑色中奖的概率为30/64，红色中奖的概率为30/64，绿色中奖的概率为4/64。如果某个事件的概率为p，则公平赔率为(1-p)/p比1。因此，任何红色号码的公平赔率为(34/64)/(30/64) = 34比30 = 17比15。黑色号码的公平赔率为(60/64)/(4/64) = 60比4 = 15比1。对于特定号码，公平赔率为(63/64)/(1/64) = 63比1。

我建议红黑投注赔率为1比1，绿投注赔率为14比1，任何单个数字的赔率为60比1。赌场优势的一个公式是(ta)/(t+1)，其中t是真实赔率，a是实际赔率。在本例中，投注红色或黑色的赌场优势为(63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%。投注绿色的赌场优势为(15-14)/(15+1) = 1/16 = 6.25%。投注单个数字的赌场优势为(63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%。

恰好 6 个正确的概率是 combin(10,6)×0.2 ⁶ ×0.8 ⁴ = 0.00550502。

恰好 7 个正确的概率为组合(10,7)×0.2 ⁷ ×0.8 ³ = 0.00078643。

恰好 8 个正确的概率是 combin(10,8)×0.2 ⁸ ×0.8 ² = 0.00007373。

恰好 9 个正确的概率是 combin(10,9)×0.2 ⁹ ×0.8 ¹ = 0.00000410。

恰好 10 个正确的概率是 0.2 ¹⁰ = 0.00000010。

将 6 到 10 个正确答案的概率相加，则至少 6 个正确答案的概率为 0.00636938。

如果中奖概率为 1/n，并且你玩了 n 次，当 n 趋近于无穷大时，至少中奖一次的概率趋近于 1-(1/e)，其中 e = 2.7182818……，即约 63.21%。精确答案可以表示为 1-(999,999/1,000,000) ^1,000,000 = 0.63212074。我的估算是 1-(1/e) = 0.63212056，精确到小数点后六位。

假设没有跳过任何数字，只要参与者人数足够多，概率就几乎不受参与者人数的影响。参与者人数越多，至少匹配一次的概率就越接近 1-(1/e) = 63.21%。

在 12 场游戏中，任意数字恰好出现 n 次的期望值为(12,n)×(6/45) ⁿ ×(39/45) ^n-12 。下表显示了从 0 到 12 的期望出现次数。

所以，回答你的问题：你会在每副牌中看到同一个数字恰好出现六次，大约是每副牌出现0.099次，或者说每10.1次出现一次。同一个数字恰好出现七次，每副牌中会出现0.0131次，或者说每76.6次出现一次。

你说得对。连续两个晚上选中相同数字序列的概率是千分之一。作者回答的问题是，1-9-6 连续两次被抽中的概率是多少，这确实是百万分之一。然而，正如你所指出的，关键问题是任何序列重复出现的概率是多少。这个问题的答案是 (1/10) ³ = 千分之一。

对于一个如此简单的问题，解答起来却相当复杂。按照我的方法，你需要知道这个积分。

这是答案和我的解决方案（PDF） 。