概率 - 一般问题

除了二十一点和视频扑克中罕见的正期望机会外，是的，这就是我所说的。

假设某事发生的概率为 x 比 y，意味着该事件每不发生 y 次，就会发生 x 次。为了进行转换，设 p 为某事发生的概率。该概率也可以表示为 (1/p)-1 比 1。让我们看一个例子。在五张牌梭哈中抽到葫芦的概率是 0.00144058。这也可以表示为 693.165 比 1。

假设格线当中的⽅框栏位是由随机选出的, 那么在任何⼀个quarter场次赢 的概率将会是1/100. 假设每⼀个quarter场次都是独⽴事件, 其实并⾮如此, 赢到所有四个quarters场次的概率将会是 (1/100)4 = 100百万分之⼀。

我不喜欢用这种形式的概率，但它们通常用在这样的句式中：“抽到同花大顺的概率是649,739比1。” 这意味着有649,739种方法你抽不到同花大顺，只有1种方法可以抽到。在你的例子中，12比1的概率是1/13，即7.69%，而3比2的概率是2/5，即40.00%，所以3比2的概率更高。

你说得对，那篇文章是错误的。在 x 年的时间段内发生五百年一遇洪水的概率是 1-e ^-x/500 。因此，50 年内至少发生一次五百年一遇洪水的概率是 9.52%，100 年内至少发生一次五百年一遇洪水的概率是 18.13%。

设 p 为热门球队获胜的概率。如果 -160 为公平赔率，则：

100*p-160*(1-p)=0
260便士=160
p = 160/260 = 8/13 = 61.54%。

因此，在赔率为-145的赔率线上，下注145美元的预期回报为(8/13)*100 + (5/13)*-145 = 75/13 = 5.77美元。因此，玩家优势为5.77美元/145美元 = 3.98%。

我们将t定义为不计庄家优势的真实赔率线，a定义为实际赔率线。以下是玩家预期回报的公式：

A 为负数，t 为负数：(100*(ta) / (a*(100-t))
A为正，t为正：(at)/(100+t)
A 为正数，t 为负数：(a*t + 10000)/((t-100)*100)

因此，在您的情况下，您的预期回报率是 100*(-160 -(-145))/(-145*(100-(-160))) = 3.98%。

首先，我之所以发表这篇文章，是因为作者在文章底部允许我这么做。这是一个很好的例子，说明相关性并不一定意味着因果关系。回顾过去，很容易发现很多巧合。要论证任何事，都应该在收集任何证据之前先提出假设。

后续（2004年11月13日）：另一位读者指出，这张地图最初只是个玩笑，后来却成了都市传说。正如此链接指出的那样，图中的飓风路径根本不准确，而且实际飓风袭击了戈尔县的许多县。这恰恰表明，你不应该轻信你读到的一切，尤其是在互联网上。

谢谢你的赞美。说实话，现在没人太在意点击率了。所以，如果只是为了炫耀，就没必要非得点开横幅广告。回答你的问题，在美国，生男孩的概率非常接近50.5%，生女孩的概率接近49.5%。假设博彩界没有其他信息，那么押注男孩的玩家优势应该是0.505*1.05 - 0.495 = 3.53%。也可能是掌握内幕消息的人押注女孩。另一种说法是，有些人错误地认为可以通过母亲的肚子形状来判断性别，而这些人押注的是女孩。我个人不去深究这个问题。

不是。根据美国疾病控制与预防中心 (CDC) 的精算表，72 岁的白人男性活到 76 岁的概率为 85.63%。这意味着死亡概率约为七分之一。存活率可以通过将 76 岁时出生队列的 57,985 人除以 72 岁时出生队列的 67,719 人得出，该数据来自第 14 页的白人男性表格。使用的表格称为“周期生命表”，它假设 2003 年的死亡率在未来不会发生变化，这是最常用的精算表类型。追求完美的人可能会想使用 1936 年的队列生命表，但我认为这不会有太大区别。

附言：发布此回复后，我收到几条评论，说我的回复没有考虑到约翰·麦凯恩的个人健康状况。他的不利之处在于他是一名癌症幸存者。他的优势在于能够享受到金钱能买到的最好的医疗服务，对于一个72岁的老人来说，他的身心状态显然仍然很好，而且长寿，他的母亲仍然健在就是明证。然而，我从未打算将这些信息考虑在内。我指的是马特·达蒙引用的精算表。我只是说，对于普通的72岁白人男性来说，再活四年的概率是86%。如果必须的话，我预测约翰·麦凯恩的几率甚至会更高。

请参阅我的配套网站MathProblems.info ，问题编号 210，以获取答案和解决方案。

不计入平局，在139次选择中至少赢得88次的概率是0.00107355，也就是931分之一。这真是令人失望。我敢肯定，还有930只动物的表现更差，只是没人提及而已。想了解更多关于“公主”的信息，请阅读ESPN.com上的文章《新泽西骆驼预测巨人队战胜爱国者队》 。

我希望你开心；我为此花了好几个小时。

要回答这个问题，重要的是量化切尔西·汉德勒“红头假说”下的行为。以下是我的假设。

1. 红头发的人永远不会与另一个红头发的人交配。
2. 雌性总是会选择雄性进行交配。
3. 每个人都会交配，每次交配都会产生相同数量的孩子。
4. 红头发的雌性动物将有优先选择配偶的权利，在非红头发的动物中随机选择。
5. 女性携带者（拥有一个红发基因）将在红头发剩下的男性中随机选择配偶。
6. 阴性女性（既没有红发基因）将在红发男性和携带者剩下的男性中随机选择。

首先，让我们回顾一下筹码堆栈。

希望你满意。为了回答这个问题，我在Office Depot买了一大卷彩票。然后我把其中500张彩票放进一个纸袋里，一半对折，大约90度角，另一半展开。之后，我让六位志愿者每人每次抽取40到60张彩票，并进行替换，同时我记录结果。结果如下。

好问题！这是我的答案和粗略的解决方案。另请参阅我的PDF 版解决方案。

这就是所谓的圣彼得堡悖论。

确实，游戏的预期赢利是∞，但同时硬币最终出现反面的概率是存在的，最终赢的钱是有限的。预期赢利的计算方法如下：

预期赢利 = pr(1 次翻转)×2 + pr(2 次翻转)×4 + pr(3 次翻转)×8 + pr(4 次翻转)×16 + pr(5 次翻转)×32 + pr(6 次翻转)×64 + ... =

（1/2） ¹ × 2 ¹ + （1/2） ² × 2 ² + （1/2） ³ × 2 ³ + （1/2） ⁴ × 2 ⁴ + （1/2） ⁵ × 2 ⁵ + （1/2） ⁶ × 2 ⁶ + ...

= ((1/2)*(2/1)) ¹ + ((1/2)*(2/1)) ² + ((1/2)*(2/1)) ³ + ((1/2)*(2/1)) ⁴ + ((1/2)*(2/1)) ⁵ + ((1/2)*(2/1)) ⁶ + ...

= 1 ¹ + 1 ² + 1 ³ + 1 ⁴ + 1 ⁵ + 1 ⁶ + ...

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = ∞

矛盾的是，玩家必须赢得有限的金额，但预期赢取的金额却是无限的。这怎么可能呢？

这或许不是一个令人满意的答案，但关于无穷大，确实存在很多悖论。这或许会让我收到一些愤怒的邮件，但尽管存在这些无穷大悖论，让我晚上睡得安稳的是，我相信无穷大是一个数学或哲学概念，在现实物理宇宙中尚未得到证实。这个无穷大的概念或理论本身就带有悖论。

对于那些不同意这一点的人，请告诉我任何被证明具有无限数量或测量的东西。除非你有黑洞大小的证据，否则请不要说黑洞的密度是无限的。

要回答最初关于玩这个游戏应该花多少钱的问题，我们应该记住，幸福感并不与金钱的数量成正比。我个人在经济学课上学习过，我相信金钱带来的效用，或者说幸福感，与金钱数量的对数成正比。在这个假设下，如果将任何两个人的财富增加或减少相同的百分比（初始财富不为零），那么他们都会体验到相同的幸福感变化。例如，如果吉姆的财富突然从 1,000 美元增加到 1,100 美元，而约翰的财富突然从 10,000,000 美元增加到 1,1,000,000 美元，那么他们都会体验到相同的幸福感增长，因为在这两种情况下，他们的财富都增加了 10%。假设金钱带来的幸福感确实与金额的对数成正比，那么下表显示了一个人在付费玩游戏之前，根据其财富应该愿意支付的最高金额。

首先，最后行动没有任何位置优势。由于在前面的玩家进行游戏时，玩家会被安排在隔音室内，所以顺序并不重要。

其次，博弈中必须存在一个纳什均衡，其中至少获得 x 分的策略优于其他任何策略。问题在于找到 x。

我问自己，如果每位玩家拿到的不是1到100的牌，而是0到1之间均匀分布的随机数，并寻找一个点x，让完美的逻辑学家对停牌和换牌无感，那么策略会是什么。有了这个答案，我们就能很容易地将答案应用到1到100的离散分布中。

我就不多说了，让读者自己体会这个问题的乐趣吧。查看下面的链接获取答案和解决方案。

答案为从 0 到 1 的连续分布。

答案为 1 到 100 的离散分布。

如需了解我的解决方案，请点击此处（PDF） 。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

这就像问14张随机牌中全部包含10张黑牌的概率是多少。从一副牌中的10张红牌中，有(10,4)=210种方法可以选出4张红牌。当然，只有一种方法可以选出全部10张黑牌。从20张牌中，有(20,14)=38,760种方法可以选出14张。所以答案是210/38,760=0.005418，即1/184.57。

让我们看看视频扑克的黄金标准，9-6 Jacks or Better来回答您的问题。

第一步是修改我的计算器，使其包含所有13种四类赔付的明细项目。修改后的收益表如下：

[/spoiler] 让：
c = 牛吃草的速率
l = 骆驼吃草的比率
s = 羊吃草的速率
g = 草的生长率

在一段时间结束时，消耗的草量必须等于初始草量加上该时间段内生长的草量。所以……

（1）21*（c+l）=1+21g
（2）42*（l+s）=1+42g
（3）28*（s+c）=1+28g

其中 1 代表一片草地。

我们还得到：

（4）c=s+l

首先，将公式（4）代入公式（2）：

（5）42c = 1 + 42g

用 g 来表示：

（6）g = (42c-1)/42

接下来，将方程（6）代入（1）...

（7）21（c+l）=1+21*（42c-1）/42

经过一些代数运算，我们得到...

（8）l = 1/42。

接下来，将方程 (4) 代入 (3)...

（9）28*（2秒+1）=1+28克

我们知道 l=1/42，所以...

28*(2秒+1/42)=1+28克
56秒+28/42=1+28克
2352秒+28=42+1176克
（10）g = (2352秒 - 14)/1176

接下来，将方程（8）和（10）代入（2）中……

42*(1/42 + 秒) = 1 + 42*(2352秒 - 14)/1176

经过一些简单的代数运算，我们得到：

（11）s = 14/1176 = 1/84

根据公式（4）

（12）c =（1/84）+（1/42）=3/84=1/28

因此，如果草不长，那么牛需要 28 天才能吃完田地，骆驼需要 42 天，羊需要 84 天。

接下来，我们来求解 g。将 (11) 代入 (10) 中：

g = [2352*(1/84)-14]/1176
（13）g = 14/1176 = 1/84。

巧合的是，这与羊吃草的速度相同。

设t为最终答案。我们知道，在t天内，吃掉的草的数量必然等于田地里的草量（1）加上当时生长的草量。所以……

（13）t*（s+l+c）=1+tg

解决...

t*[(1/84) + (1/42) + (1/28)] = 1 + t/84
t = 1/[(1/84) + (1/42) + (1/28) - (1/84)]
（14）t = 84/5 = 16.8 天 = 16 天 19 小时 12 分钟

[/spoiler]

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

对于一个如此简单的问题，解答起来却相当复杂。按照我的方法，你需要知道这个积分。

这是答案和我的解决方案（PDF） 。

这其实相当简单，尤其对于麻省理工学院的组合数学课程来说。题目描述如下：

“画出所有大小为 n=10 的同胚不可约树。”

以下是我尝试用简单易懂的英语表达的。

仅使用直线，画出所有交点和死角之和等于10的图形。不能有任何闭环。也不能有两个等值的图形。任何交点都必须至少有三条路径从该交点延伸出去。

你可能会问，“等效”是什么意思？意思是你可以随意移动棋子，但交叉点保持不变，而且不会产生任何新的棋子。

以下是一个例子：



我给你个提示。和电影里的答案不一样，答案有十个。威尔只答对了八个。看看你能不能追上甚至超过威尔·亨特。

[/spoiler]

我在我的MathProblems.info网站问题 220 上展示了得出全部十个问题的逻辑。

• 《心灵捕手 II》中的数学：从学生的角度看问题——关于该问题的学术论文。
• 心灵捕手数学问题——在我的论坛中讨论这个问题。

答案和解决方案可以在我的数学问题页面第 225 题中找到。

作为一名前精算师，你问对人了。希望精算师协会不会认为我的回答是对职业的滥用。话虽如此，为了回答你的问题，我查阅了我之前工作单位——社会保障局首席精算师办公室——的2014年期间寿命表。

周期生命表显示了 2014 年任何特定年龄和性别的人的死亡概率等。利用这些信息，我创建了下表，其中显示了从 0 到 100 岁的所有年龄段和两种性别的死亡概率和预期分数。

该表显示，90 岁男性的最高预期分数为 1.645220。

这个问题是在我的非赌博论坛“Diversity Tomorrow”中提出和讨论的。

问得好！我之前在游戏展上看到一些细长的汽水罐，容量和标准尺寸的一样，都是355毫升，就好奇这个问题了。肯定不可能两个都对（别叫我雪莉）。[/spoiler] 让：
r = 罐体的半径
h = 罐子的高度
v = 罐子的体积
s=罐的表面积

我们从简单的几何知识中知道表面积 = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h。

同样，我们也知道体积是 pi*r^2*h，等于 355。

所以，355=pi*r^2*h。

让我们重新排列一下：

（1）h = 355/（π*r^2）

我们知道：

（2）s = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h。

我们将方程 (1) 中 h 的表达式代入 (2) 中，将其变为只有一个变量的函数：

s = 2*pi*r^2 + + 2*pi*r*(355/(pi*r^2))) = 2*pi*r^2 + 710/r。

让我们取 s 的导数并将其设置为零，以求解最优 r。

ds/dr = 4*pi*r - 710/(r^2) = 0

4*pi*r = 710/(r^2)

将两边乘以 r^2：

4*pi*r^3 = 710

r^3 = 177.5/pi。

r = (177.5/pi)^(1/3) = 3.837215248。

将该值代入公式 (1) 可得 h = 7.674430496。[/spoiler]

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

我同意你听到的关于游戏方差的讨论比标准差更多，我一直觉得这有点烦人。我认为赌徒应该关心游戏波动性的原因是，他们把输赢与一局游戏的概率联系起来。比如，玩200手二十一点后，1%的输钱率算什么？要回答这个问题，你可以用二十一点的标准差，大约是1.15，具体取决于规则。

这个问题的具体答案是 1.15 × 200^0.5 × -2.32635（即高斯曲线上的 1%）= 低于预期 -37.83 个单位。别忘了，由于赌场优势，你可能会损失一些钱。假设赌场优势为 0.3%，那么 200 手牌之后，你可能会损失 0.003*200 = 0.6 手牌。因此，1% 的损失将是 0.6 + 37.83 = 38.43 手牌。

如果人口和年龄分布稳定，那么如果离婚概率真的是 50%，那么在样本量较大的情况下，我们预计在任何给定的时间段内都会看到一起离婚与两起结婚的比例。

然而，人口并不稳定。从这张图表来看，美国人口每十年增长10.71%，相当于每年1.02%。为了简单起见，我们就假设是1%吧。

地图来源：美国人口普查

据fatherly.com称，失败的婚姻平均持续 8 年。

如果您观察到目前离婚与结婚的比例为 1 比 2，那么任何特定婚姻以离婚告终的平均概率是多少？

我们现在看到的离婚案例是8年前结婚的，当时的人口比例是现在的92.35%。简单的计算表明，真实的离婚概率是54.14%。

我们来检查一下。

首先，根据疾病预防控制中心的数据，每年每1000人中就有6.9对结婚。这个数字与本文的问题无关，但我认为有助于理解所涉及的数字。

假设8年前人口为3亿，那么当年结婚的人数为0.69%*3亿=207万对。

如果其中 54.14% 的人在八年后以离婚告终，那么我们现在将看到 2,070,000 * 54.14% = 1,120,698 起离婚事件。

1,120,698 / 2,070,000 = 目前观察到的离婚与结婚比率的 50%。

免得有人说，是的，我知道并非所有离婚都会在八年内结束。然而，综合考虑，我认为最终结果与我54.14%的真实离婚率相差无几。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

假设每个人每次选择一个。每个人选择时，会出现两种情况：

1. 挑选者的名字已经被挑选了。
2. 挑选者的名字仍然在名字箱里。

对于任何给定的挑选者，假设还有 n 个人需要挑选。

如果正在挑选名字的人的名字已经被选中，那么挑选者有 1/n 的概率会选择与他名字相关的名字，从而形成一个闭环。例如，假设艾米正在挑选。艾米的名字已经被鲍勃占据，鲍勃的名字已经被查理占据，而查理的名字仍然在箱子里。由于箱子里还有 n 个名字，所以艾米选择查理名字的概率为 1/n，从而形成一个闭环。

如果选择者的名字尚未被选中，那么艾米选择自己名字的概率为 1/n，从而形成一个循环。

无论如何，如果拾取者没有完成一个循环，她就加入了另一个链条的一部分，而这个链条最终会被其他人完成。每个链条在完成时只应被计算一次。

因此答案是 1/100 + 1/99 + 1/98 + ... + 1/1 =~ 5.187377518。

对于任何足够多的玩家数量 n 的估计值是 ln(n)。

这个问题是在我的Wizard of Vegas论坛中提出并讨论的。

选择这两个很容易，因为它们可能是最著名的两个：

• 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
• 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... = π^2/6

确实如此，随机选取23个人，至少有一对生日相同的概率是50.73%。这个概率忽略了闰日，并假设每个人在其他365天出生的概率相同（实际上并非如此，春季和秋季的生日概率略高一些）。

回答你问题的表格很长，所以我会把它们放在剧透标签里。点击按钮查看答案。

庄家有 42 种方法可以把 10 美元分成 10 美元。具体如下：

数学家们把这些称为“分区”。以下是起始数量最多为 405 的分区数，这是我的计算机所能计算的最大数量（2^64）。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

让我们首先查看 n（x 轴）乘以 f(n)（y 轴）的图表。

如你所见，极限从左边趋向于∞，从右边趋向于-∞。由于极限从两边不指向同一个位置，所以不存在极限。

不过，我们先不画图来回答这个问题。洛必达规则指出，如果 f(x)/g(x) 的极限 = 0/0，则 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)。所以，我们来解 f'(x) 和 g'(x)。

f'(n) = ((ln(1-n) - sin(n)) d/dn = -1/(1-n) - cos(n)
g'(n) = (1 - cos ² (n)) d/dn = sin ² (n) d/dn

让我们用乘积法则来求解 sin ² (n) d/dn

sin ² (n) d/dn = sin(n) × sin(n) d/dn =
sin(n) × cos(n) + cos(n) × sin(n) =
2sin(n)cos(n)。

接下来，让我们求解 n = 0 时的 f'(n) 和 g'(n)。

f'（0）= -1/（1-0）-cos（0）= -2。
g'(0) = 2sin(0)cos(0) = 0

所以，f'(0)/g'(0) = -2/0 = -∞。因此，原函数的极限不存在。

我要夸赞《贱女孩》的编剧，他们把数学运用得炉火纯青。即使是像《心灵捕手》这样严肃的数学电影，也常常把数学运用得一塌糊涂。

首先，我来介绍一下排列数。这意味着不仅数字重要，它们在卡片上的顺序也很重要。对于 B、I、G 和 O 列，可能的排列数为 permut(15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360,360。对于 N 列，排列数为 permut(14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32,760。因此，宾果卡的排列总数为 360,360 ⁽⁴ × 32,760) = 552446474061128648601600000。

其次，我来讨论一下组合数。这意味着数字很重要，但它们在卡片上的顺序并不重要。对于 B、I、G 和 O 列，可能的组合数共有 combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3,003 种。对于 N 列，排列数为 combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1,365。因此，宾果卡的排列总数为 3,003 ⁴ × 1,365 = 111007923832370565。

在节目中，谢尔顿问自己有多少张独特的宾果卡。根据后来的错误公式，我猜他指的是排列。换句话说，两张数字相同但位置不同的卡牌都是独一无二的。

上图展示了 Sheldon 计算 B、I、G 和 O 列的公式。他最初计算的公式是 5! × combin(15,5)。然而，他错误地将其简化为 15!/(15!-5)!。第二个感叹号不应该出现在那里，应该是 15!/(15-10)!。然而，他随后又得到了正确答案 360,360。

N 列也出现了同样的问题。公式应该是 15!/(15-4)!，而不是 15!/(15!-4)!。第二个感叹号搞砸了。

讽刺的是，在剧集的后面，谢尔顿开始痴迷于《指环王》年表中的错误，就像我痴迷于这个一样。

让我们首先定义几个变量：

• s = 罐中盐的重量
• t = 将盐倒入水箱后的分钟数

已知每分钟流失10%的盐分。用数学语言来表达就是：

ds/dt = (-10/100) × s

让我们重新排列一下：

ds = (-10/100) × s dt

-10/s ds = dt

整合双方：

（1）-10×ln(s) = t + c

接下来，我们来求出那个令人头疼的积分常数。为了求出这个常数，我们已知当 t = 0 时 s = 10。将其代入上面的公式 (1) 中，我们得到：

-10 × ln(10) = 0 + c

所以 c = -10×ln(10)

将其代入公式 (1) 中，我们得到：

（2）-10×ln(s) = t -10×ln(10)

问题是，t=30 时，水箱里有多少盐。求解 t=30 时的 s：

-10×ln(s) = 30 -10×ln(10)。接下来将两边同时除以 -10……

ln(s) = -3 + ln(10)

s = exp(-3 + ln(10))

s = exp(-3) × exp(ln(10))

s = 指数(-3) × 10

s =~ 0.4979 公斤盐。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

解决这类问题的关键在于如何设置它们。我建议尽量将问题简化为尽可能少的未知数。在本例中，我们可以将正方形上的未知距离表示为三个，如下所示：

处理矩形比处理三角形更容易。已知三个三角形的面积，我们可以将矩形的大小和面积都加倍。这样一来：

• ab=10
• ac=16
• （ab）（ac）=14

让我们分解 (ab)(ac)：

a ² - ab - ac + bc = 14

^2-10-16 + bc = 14

（1） ^a2 +bc=40

让我们用 a 来表示 b 和 c，以将其归结为单个变量：

b = 10/a

c = 16/a

用这些值代替方程 (1) 中的 b 和 c：

² + (10/a)*(16/a) = 40

^a2 + 160/ ^a2 = 18

接下来，让我们将所有数都乘以²来去掉分母中的² 。

⁴ + 160 = 40 * ²

^4-40 * ² +160=0

让我们定义一个新变量 y = a ²

y ² - 18y + 32 = 0

接下来，让我们使用二次公式求解 y：

y = (40 +/- 平方根(1600-640))/2

y = (40 +/- 平方根(960))/2

y = (40 +/- 8*sqrt(15))/2

y = 20 +/- 4 * sqrt(15)

整个正方形的面积是² ，恰好等于 y。根据上面的公式，如果 +/- 为负，则 y = apx 4.5081，这显然是错误的，因为我们知道面积至少是 20，甚至不包括 x。因此，正方形的面积必须是 20 + 4*sqrt(15)。

给定三个三角形，其面积分别为 5+7+8=20。用正方形的总面积减去该面积，可得出 x 的面积：20 + 4*sqrt(15) - 20 = 4*sqrt(15) = apx 15.4919。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

注意照片里我的T恤。我去看《原钻》的时候，电影院收银员夸我穿了这件T恤。为了报答她，我用这道题折磨她，只用面积分别为2、3和4的三角形。电影结束后，我去看她，她还是没解出来，但似乎在努力。于是，我在阳光海岸酒吧给她写了下面的解法。她似乎很欣赏。我觉得这位年轻女士的人生一定会很成功。

了解以下提示中的无穷级数将非常有用。

莱布尼茨 π 公式指出：

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4

仅需获取答案，请单击以下按钮。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

点击下面的按钮获取答案。

单击下面的按钮获取解决方案。

[剧透=解决方案]

^9x + ^12x = ^16x =

将两边除以 9 ^x

1 + (12/9) ^x = (16/9) ^x

1 + (4/3) ^x = ((4/3) ^x ) ²

（1）设 u = (4/3) ^x

1 + u = u ²

根据二次公式...

u = (1+sqrt(5)) / 2（黄金分割率）

将其代入公式 (1) 中：

（4/3） ^x =（1 + 平方根（5））/ 2

对两边取对数：

x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]

x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)

x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = 约 1.67272093446233。[/剧透]

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

致谢：我从Mind Your Decisions的 Presh Talwalkar 那里得到了这个问题的变体。

[剧透=解决方案]

一位农民种了5颗苹果种子。每天，每颗种子有1/3的概率发芽。请问五棵树全部发芽的平均时间是多少？

我们反过来算一下。如果剩下一颗种子还没有发芽，它平均需要 1/p 天才能发芽，其中 p 是任意一天发芽的概率。由于 p = 1/3，所以平均需要 3 天才能发芽。我们称其为 t ₁ = 3。

如果剩下两颗种子呢？第二天两颗种子都有 ap ² = 1/9 的概率发芽，这样就完成了。其中一颗种子第二天发芽的概率是 2×p×q，其中 q 是不发芽的概率。因此，一颗种子发芽的概率是 2×(1/3)(2/3) = 4/9。两颗种子都不发芽的概率是 q ² = (2/3) ² = 4/9。我们将两颗种子的预期天数称为 t ₂ 。

t ₂ = 1 + (4/9)×t ₁ + (4/9)t ₂

t ₂ = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9)×t ₁

_t2 = (1 + (4/9)×3) / (1 - (4/9))

_t2 = (21/9) / (5/9)

_t2 = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4.2

如果剩下三颗种子呢？有 p ³ = 1/27 的概率，它们第二天都会发芽，我们就完成了。其中一颗种子第二天发芽的概率是 3×p×q ² = 3×(1/3)(2/3) ² = 12/27。第二颗种子第二天发芽的概率是 3×p ² ×q = 3×(1/3) ² ×(2/3) = 6/27。没有种子发芽的概率是 q ³ = (2/3) ³ = 8/27。我们将拥有三颗种子的预期天数称为 t ₃ 。

t ₃ = 1 + (6/27)t ₁ + (12/27)×t ₂ + (8/27)×t ₃

t ₃ = 1 + (6/27)×3 + (12/27)×4.2 + (8/27)×t ₃

_t3 × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)

t ₃ = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = 约 5.02105263

如果剩下四颗种子怎么办？有 ap ⁴ = 1/81 的概率，四颗种子第二天都会发芽，我们就完成了。一颗种子第二天发芽的概率是 4×p×q ³ = 4×(1/3)(2/3) ³ = 32/81。第二颗种子第二天发芽的概率是 combin(4,2)×p ² ×q ² = 6×(1/3) ² ×(2/3) ² = 24/81。第三颗种子第二天发芽的概率是 combin(4,3)×p ³ ×q = 4×(1/3) ³ ×(2/3) = 8/81。没有种子发芽的概率是 q ⁴ = (2/3) ⁴ = 16/81。我们将拥有三颗种子的预期天数称为 t ₄ 。

t ₄ = 1 + (8/81)×t ₁ + (24/81)×t ₂ + (32/81)×t ₃ + (16/81)×t ₄

_t4 = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263 + (16/81)× _t4

t ₄ = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263) / (1 - (16/81))

t ₄ = 约 5.638056680161943319838056680。

如果剩下的五颗种子都还剩下呢？第二天，五颗种子全部发芽的概率是 p ⁵ = 1/243，这样我们就完成了。一颗种子第二天发芽的概率是 5×p×q ⁴ = 5×(1/3)(2/3) ⁴ = 80/243。第二颗种子第二天发芽的概率是 combin(5,2)×p ² ×q ³ = 10×(1/3) ² ×(2/3) ³ = 80/243。第三颗种子第二天发芽的概率是 combin(5,3)×p ³ ×q = 10×(1/3) ³ ×(2/3) ² = 40/243。第四颗种子第二天发芽的概率是 combin(5,4)×p ⁴ ×q = 5×(1/3) ⁴ ×(2/3) = 10/243。没有种子发芽的概率是 q ⁵ = (2/3) ⁵ = 32/243。我们将有三颗种子的预期天数称为 t ₅ 。

t ₅ = 1 + (10/243)×t ₁ + (40/243)×t ₂ + (80/81)×t ₃ + (80/243)×t ₄ + (32/243)×t ₅

_t5 = (1 + (10/243)× _t1 + (40/243)× _t2 + (80/81)× _t3 + (80/243)× _t4 ) / (1 - (32/243))

_t5 = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4.2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5.63805668) / (1 - (32/243))

t ₅ = 约 6.131415853。

该问题改编自Mind Your Decisions的 Presh Talwalkar 提出的类似问题。

[剧透=解决方案]

请参阅我的解决方案（PDF）

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。

点击下面的按钮获取答案。

单击下面的按钮获取解决方案。

[剧透=解决方案]

这个解法需要一个常微分方程。如果你的数学教育还没达到这个程度，你就无法理解。

让：
m = Covid-20 微生物数量
t = 时间，以天为单位

由于每个微生物平均每天产生一个新微生物，因此 m 个微生物平均每天会产生 m 个新微生物。换句话说，在任何给定时间 t，微生物 (m) 的增长率可以写成：

dm/dt = m。

我不确定表达这一点的正确方法，但将 dt 分开到右侧：

dm = m dt。

将两边除以 m：

1/m dm = 1 dt。

将两边积分：

ln(m) = t + C，其中 C 是积分常数。

已知在时间 0 时有 1 个微生物。换句话说，当 t = 0 时，m = 1。我们可以将这些值代入上面的公式来求解 C：

ln(1) = 0 + C

0 = 0 + C

C = 0。

我们现在有 ln(m) = t。

对两边取 exp()：

m = e ^t

因此，在时间 t=7 时，将有 e ⁷ = 约 1096.6332 个微生物。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

[剧透=CharliePatrick 解决方案]

假设有20个牛仔。我们选择这个数字是因为所有涉及的概率都能被5%整除，而20的5%等于1。

把他们排成一排。然后，从左边开始，射杀其中90%的人，也就是18人，射中他们的腿部。然后画一个图表，上面一行写牛仔的编号，左边一列写每个人的受伤总数，如下图所示。

接下来，你需要射中85%的子弹，也就是17发子弹击中手臂。从两个腿部没有中弹的牛仔开始。你还剩15发子弹。回到左边的牛仔，沿着这一排向下移动，射中腿部的子弹总数达到15发。你的伤害卡应该是这样的：

接下来，你需要射击 80%，也就是腹部 16 发子弹。从五个只受过一次伤的牛仔开始。你还有 11 发子弹要打。回到左边的牛仔，沿着这一排向下移动，总共射击 11 发已经受过两次伤的牛仔。你的伤势卡应该是这样的：

接下来，你需要射击75%，也就是头部15个。从9个只被射中两次的牛仔开始。你还有6个牛仔需要射击。回到左边的牛仔，沿着这一排向下移动，总共射击6个已经被射中三次的牛仔。你的伤害卡应该是这样的：