花旗骰 - 一般问题
我是当地一家赌场的场内主管，对一个奇怪的玩法感到疑惑。一位玩家同时押注过关和不过关。我的问题是，如果他押注过关的一方10美元，我会给他的平均投注额10美元。既然他现在押注双方，而且可能没有冒任何资金风险，那么平均投注额应该是多少？我知道，如果这位玩家在轮盘赌中同时押注红色和黑色，他应该会得到红色和黑色两方投注的平均投注额，因为5.26%的庄家优势从长远来看会使他两次投注都输。
只要你告诉我一个玩家的下注方向相反或接近相反，我就能告诉你他正在耍什么花招。他很可能想利用促销或赠品。如果我经营赌场，我只会给那些冒险的钱打分。有人可能会说他冒了10美元的风险，因为12点会导致pass赢，而don't pass会平局。然而，这种情况只会在36次pass线下注中发生一次。如果我经营赌场，我平均会给他0美元的下注。
我在 www.gamehouse.com 玩掷骰子游戏，在角斗士上投注 20 美元，并在掷出 11 点时赢了 60 美元。如果角斗士的赌注分散在 2、3、11、12 之间，我不应该赢得 75 美元（5 美元 X 15 美元）吗？
不，你得到的赔付是正确的。11 的赔率是 15:1，相当于你下注的 5 美元。但是你在 2、3 和 12 的赔率上输掉了剩下的 15 美元。所以 75 美元 - 15 美元 = 60 美元。他们不会从你的赌注中扣除这 15 美元，而是从你的奖金中扣除。
您在大西洋城玩掷骰子和西班牙21点时会选择哪些赌场？您提到玩掷骰子时最好全押赔率，您是指用相同赔率的赌注来匹配您的赌注，还是用最高允许的赔率赌注来下注（例如：在10倍最大赔率的赌桌上，下注1美元，同时下注1美元的免费赔率赌注，或者下注1美元，同时下注10美元的免费赔率赌注）。我对此有点困惑。我很喜欢您的网站，真心觉得它是赌博咨询网站中的“璞玉”。就我个人而言，当我用辛苦赚来的钱下注时，我很想知道数学上的赔率是多少！提前感谢您回答我的问题！
谢谢你的赞美。整个大西洋城的西班牙21点规则都一样。我只知道两家酒店有这个游戏，Tropicana和Claridge，但现在应该还有其他酒店了。如果我没记错的话，最好的掷骰子游戏是在金沙酒店，那里提供5倍赔率。我说的“选择最高赔率”是指在赔率上投注允许的最高金额。例如，在10美元的线下投注后下注50美元。记住，选择赔率并不会赢更多钱，你只是在长期内下注更多而不会输更多而已。
赌场玩掷骰子游戏的平均赔率是多少？
我不知道任何游戏的持币率。为了方便其他读者理解，持币率指的是赌场利润与牌桌上购买筹码的比率。由于相同的筹码会在玩家和荷官之间来回流通，时间长短不定，数学家无法计算持币率或持币率。
在阅读关于赌场计算赠金公式的文献时，我唯一看到的用作示例的公式是二十一点的公式。假设赌场根据你的点差确定你的平均赌注，那么赌场通常使用什么公式来确定预期掷骰子游戏的损失，进而确定可用的赠金呢？
我向我的朋友 Larry Drummond 寻求帮助，他是一位掷骰子发牌员，也是Next Shooter的前网站管理员。Larry 说话有点粗鲁，但他确实是一位很棒的掷骰子信息来源，提供了很多很难找到的信息。他说道：“掷骰子游戏的奖金在各个赌场和不同的赌台管理员那里各不相同。玩家应该了解赌台管理员。赌台管理员负责设定玩家的平均投注额，并记录玩家在牌桌上的时间。如果玩家的投注模式保持一致，赌台管理员就更容易追踪奖金的发放。现在，我问你……如果一个玩家在建立点数后，在过线区（Pass Line）上以 5 美元的平注赢得 52 美元或 54 美元，那么平均投注额是 57 美元还是 59 美元？……还是平均投注额是 5 美元，再加上一大堆其他个人投注？答案是……这取决于你对赌台管理员的了解程度，以及你去这家赌场的次数。”
Larry 在另一封电子邮件中补充道：“除了我已经发给你的信息之外……Pass Line 和 Come 投注的赔率通常不包含在 comps 的平均值中。Don't Side 的下注赔率也是如此……从长远来看，这应该是一笔划算的。但是……如果一个聪明的赌客想要一个在 7（桌上最差的赌注）上花大钱的人……他可能会平均计算 ODDS 和 LAYS，让这个傻瓜回到赌场……你可以重新措辞，让它更适合你的网站……此外……如果一个好的赌客发现玩家在“为男孩下注”，他会把 COMP 调到最大。
你会对掷骰子游戏的破产风险进行分析吗？目前为止我在网上找到的唯一一份分析似乎有缺陷。
我没打算这么做。掷骰子游戏的投注模式太多了，单一的分析只能适用于一小部分玩家。
巫师先生，您的网站太棒了。我想您可能是互联网上唯一诚实的专家。我的问题是：我知道掷骰子游戏的赔率是怎么计算的，但我总觉得，一旦玩家下注多次，无论是通过下注，还是在过线区下注，并连续下注来注，赔率就会急剧转向赌场。只需一个“7”，就能一次性抵消所有赌注。为了赢钱，你必须击中每个数字，击中一个“7”后，剩下的数字就会全部抵消。
谢谢你的赞美。我仍然认为，赌场优势并不取决于你下注的来点数。没错，接连获得一个来点，然后因为一个7而输光所有钱确实令人沮丧。然而，也有一些时候，投掷者花了很长时间才掷出一个7，而你却一路赢了很多来点数。
您对圣地亚哥地区许多赌场玩的纸牌掷骰子游戏有何看法？
在加州，单凭骰子不能决定游戏结果。为了规避这条法律，许多赌场会混合使用纸牌和骰子，或者只用纸牌。我的掷骰子部分现在会介绍一些这种做法。
我意识到，像二十一点和掷骰子这样的游戏，每小时的决策次数很大程度上取决于诸多因素，例如桌上其他玩家的数量、手牌洗牌和机器洗牌、掷骰子和发牌的速度。不过，我还是想问问，您能否粗略地估算一下，在一张几乎满员的掷骰子牌桌，以及一张同时进行手牌洗牌和机器洗牌的二十一点牌桌上，一个人每小时预计会做出多少次决策。这能帮助我估算我每小时的预期损失，并将其与我获得的补偿进行比较。
下表显示了二十一点、掷骰子和轮盘赌每小时的发牌/掷骰次数。表格来源：Jim Kilby 著《赌场运营管理》 。
二十一点每小时手数
| 玩家 | 每小时手数 |
| 1 | 209 |
| 2 | 139 |
| 3 | 105 |
| 4 | 84 |
| 5 | 70 |
| 6 | 60 |
| 7 | 52 |
每小时掷骰子次数
| 玩家 | 每小时卷数 |
| 1 | 249 |
| 3 | 216 |
| 5 | 144 |
| 7 | 135 |
| 9 | 123 |
| 11 | 102 |
在掷骰子游戏中，平均而言，总掷骰结果的 29.6% 是 come out 掷骰。
轮盘每小时旋转次数
| 玩家 | 每小时旋转次数 |
| 1 | 112 |
| 2 | 76 |
| 3 | 60 |
| 4 | 55 |
| 5 | 四十八 |
| 6 | 三十五 |
在家玩真钱掷骰子有什么好的规则/设置吗？我知道为了合法，我不能接受“庄家分成”，但假设买入费是强制的（就像在家玩扑克一样），有没有一个好的系统可以私下玩真钱游戏，而不用成为“庄家”，自己掏腰包支付赢家的钱？
你可以举办一场比赛。每位玩家都用相同数量的不可兑现筹码买入。指定一个人担任庄家，像普通掷骰子一样支付赌注。在达到某个基准（例如 x 7 出局）后，筹码最多的人将赢得彩池。既然你和其他人的机会都一样，我觉得你可以要求别人给你一些使用你房子的小费。
我只是想知道你是否知道拉斯维加斯大多数赌场的骰子赌桌是从哪里买的。这些公司是否把赌桌卖给了公众？
我知道有两家赌桌供应商，分别是TCS John Huxley和Midwest Game Supply。他们可能确实会向公众出售。Midwest Game Supply的掷骰子赌桌售价为3950美元。如果二手的就够了， Gambler's General Store也有卖二手赌桌。
拉斯维加斯的哪些赌场有一张称为“桶”的小桌子，用于玩掷骰子游戏？
根据NextShooter.com上的 Bone Man 的说法，您可以在这里找到这些浴缸的地点和时间：
Wild, Wild West 的 One Tub（可能只在晚上、工作日和周末开放）。
埃利斯岛的 One Tub（可能仅在晚上、工作日和周末开放）。
位于西赌场区 Circus Circus 的 One Tub 几乎从不营业，除非是繁忙的假期。
2010 年更新：我听说埃利斯岛用一张完整的掷骰子桌取代了浴缸。
掷骰子游戏中，有多少百分比的掷骰结果为 come out 掷骰结果？
总掷骰次数的预期值为 1671/196 = 8.5255。有趣的是，一个点数的预期掷骰次数恰好是 6。也就是说，掷出点数的概率为 2.5255。因此，掷出点数的概率为 2.5255/8.5255 = 29.6%。
我想知道掷一对骰子时，哪个点数会更大——奇数还是偶数？
答案是50/50。无论掷多少个骰子，结果都是50/50，而不仅仅是两个。
有点跑题了，但我一直觉得奇偶组合下注是替代掷骰子游戏中令人畏惧的6/8大注的好方法。为了让赌场更有优势，以下是我建议的赔率表和分析。
奇数投注
| 事件 | 支付 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 3 或 11 | 1.5 | 4 | 0.111111 | 0.166667 |
| 5或9 | 1 | 8 | 0.222222 | 0.222222 |
| 7 | 0.5 | 6 | 0.166667 | 0.083333 |
| 甚至 | -1 | 18 | 0.500000 | -0.500000 |
| 全部的 | 三十六 | 1.000000 | -0.027778 |
均等投注
| 事件 | 支付 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 2 或 12 | 3 | 2 | 0.055556 | 0.166667 |
| 4 或 10 | 1 | 6 | 0.166667 | 0.166667 |
| 6或8 | 0.5 | 10 | 0.277778 | 0.138889 |
| 奇怪的 | -1 | 18 | 0.500000 | -0.500000 |
| 全部的 | 三十六 | 1.000000 | -0.027778 |
请注意，我对该出版物主张所有权利。
这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。
玩掷骰子游戏时给掷骰子者小费的礼仪是什么？
绝对不要指望给掷骰子的人小费！我甚至会强烈建议你不要这么做，以免它变成一种“习惯”，然后那些寄生虫会开始在赌桌周围徘徊，只在轮到自己下注时下注，并向其他玩家勒索小费。赌场里这种给小费的文化已经完全失控了。
这个问题是在我的 “拉斯维加斯巫师”论坛中提出并讨论的。
假设我在一张赔率为100倍的赌桌上玩掷骰子。我正在考虑是押6或8的位置注，还是押看跌。我需要押多少赔率才能比押位置注更有价值？
好问题。押注6或8的庄家优势是1.52%。赔率5倍时，押注6或8的庄家优势与押注1.52%的庄家优势完全相同。赔率6倍时，庄家优势降至1.30%。所以，需要6倍赔率才能获得更好的价值。
掷骰子游戏中的铁十字策略是什么？您对此有何看法？
铁十字是一种投注场地和位置的方式，在掷出除 7 以外的任何数字时都会获胜。场地已经涵盖了 2、3、4、9、10、11 和 12。玩家将在此基础上加上 5、6 和 8 的位置投注，以覆盖除 7 之外的其余数字。下表显示了场地投注 5 美元、5 美元位置投注 5 美元、6 美元位置投注 6 和 8 的数学计算情况。
铁十字勋章
| 骰子总数 | 赢 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 10 | 1 | 0.027778 | 0.277778 |
| 3 | 5 | 2 | 0.055556 | 0.277778 |
| 4 | 5 | 3 | 0.083333 | 0.416667 |
| 5 | 2 | 4 | 0.111111 | 0.222222 |
| 6 | 2 | 5 | 0.138889 | 0.277778 |
| 7 | -22 | 6 | 0.166667 | -3.666667 |
| 8 | 2 | 5 | 0.138889 | 0.277778 |
| 9 | 5 | 4 | 0.111111 | 0.555556 |
| 10 | 5 | 3 | 0.083333 | 0.416667 |
| 11 | 5 | 2 | 0.055556 | 0.277778 |
| 12 | 15 | 1 | 0.027778 | 0.416667 |
| 三十六 | 1.000000 | -0.250000 |
表格右下角显示预期损失为0.25美元。总投注金额为22美元。因此，总赌场优势为0.25美元/22美元=1/88=1.14%。
说到这儿，你可能会疑惑，为什么这个赌场优势会低于每次投注的赌场优势。答案是，投注6和8的赌场优势为1.52%，投注5的赌场优势为4.00%，这些优势都是基于每次投注的。如果以每次投注为单位来定义位置投注的赌场优势，那么投注6和8的赌场优势为0.46%，投注5的赌场优势为1.11%。
我们可以对所有投注进行加权平均，得出 1.14% 的赌场优势，如下所示：
（$5*2.78% + $5*1.11% + $12*0.46%）/22 = $0.25/$22 = 1.14%。
警惕那些在12点的场地投注中只支付2比1赔率的赌场。坚持要求获得完整的3比1赔率。短赔率会使该投注的赌场优势从2.78%翻倍至5.56%。
在我看来，与大多数游戏相比，1.14% 的赔率已经相当不错了。然而，在掷骰子游戏中，你的赔率可以更高。例如，如果赔率为 3-4-5 倍，下注 Pass 和 Come，再加上全赔率，你的赌场优势可以降至 0.37%。反过来，下注 Don't Pass 和 Don't Come，再加上全赔率，赌场优势就会降到 0.27%。假设投注过线，赔率为 3-4-5 倍，那么掷骰子游戏的标准差是多少？假设投注不过线，赔率为 3-4-5 倍，那么标准差是多少？
相对于通过投注，完整的 3-4-5x 赔率的标准差为 4.915632。
相对于不通过投注，投注全额 3-4-5 倍赔率的标准差为 4.912807。
您如何理解掷骰子游戏中，如何将 5 美元的赌注累积到 1,200 美元？首先在 4 上押 5 美元。如果赢了，就将赢来的钱累积到 5 上。如果赢了，就将赢来的钱累积到 6 上。继续押注 8、9，然后是 10。您可以假设玩家在 4 和 8 上获胜后会加注 1 美元，以保持赌注为整数。
押注数字 4 的胜率是 3/(3+6) = 3/9 = 1/3。押注数字 4 的赔率为 9 比 5，因此如果押注成功，您将获得总计 9 美元 + 5 美元 = 14 美元的奖金。
接下来，玩家在数字 5 上加 1 美元，总计 15 美元。数字 5 的胜率是 4/(4+6) = 4/10 = 2/5。数字 5 的位置投注赔率为 7 比 5，因此如果该投注胜出，您将获得 21 美元 + 15 美元 = 36 美元的奖金。至少赢得这个数字的概率是 (1/3) * (2/5) = 13.33%。
接下来，玩家在数字 6 上押 36 美元。押 6 的胜率是 5/(5+6) = 5/11。押 6 的赔率是 7 比 6，所以如果押对了，你将获得 42 美元 + 36 美元 = 78 美元。至少押到这个数字的概率是 (1/3)*(2/5)*(5/11) = 2/33 = 6.06%
接下来，玩家在数字 8 上押注 78 美元。8 的胜率是 5/(5+6) = 5/11。如果在数字 8 上押注位置，赔率是 7 比 6，所以如果该位置下注成功，您将获得 91 美元 + 78 美元 = 169 美元。至少赢得这个位置的概率是 (1/3)*(2/5)*(5/11)^2 = 10/363 = 2.75%
接下来，玩家从口袋里拿出 1 美元，加到 169 美元中，并在数字 9 上押 170 美元。数字 9 获胜的概率是 4/(4+6) = 2/5。如果押 9 的位置，赔率为 7 比 5，所以如果押对了，你将获得 238 美元 + 170 美元 = 408 美元。至少赢得这个数字的概率是 (1/3)*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/363 = 1.10%
最后，我们准备押注数字 10。由于买入投注的庄家优势较低，我们假设玩家押注 10。您没有明确说明玩家是必须预付佣金还是仅在赢钱时支付。我们先来看看预付佣金的情况。根据该规则，投注金额应该能被 21 美元整除。假设玩家押注 10 380 美元，预付 19 美元 5% 的佣金，并从他的 408 美元中扣除 9 美元。
点数为4的中奖概率为3/(3+6) = 3/9 = 1/3。如果下注380美元，将赢得760美元的奖金，总计760美元+380美元=1,140美元。至少赢得这个数字的概率为(1/3)^2*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/1089 = 0.37% = 1/272.25。
回想一下，玩家在游戏中下注 5 美元 + 1 美元 + 1 美元，但赢到 9 美元后却赚了 9 美元，净赢 1,142 美元。如果我们将赌场优势定义为最初 5 美元赌注的预期损失，那么赌场优势就是 1.06 美元/5.00 美元 = 21.16%。
接下来，我们来看看如果只对10的赢钱支付佣金会怎么样。在这种情况下，10的买入投注应该能被20美元整除。假设玩家赢了8美元，并下注了剩下的400美元。
赢得 400 美元的赌注将支付 780 美元的奖金，总计 780 美元 + 400 美元 = 1,180 美元。
回想一下，玩家在游戏中下注 5 美元 + 1 美元 + 1 美元，但在 9 点获胜后获得了 8 美元，净赢 1,181 美元。如果我们将赌场优势定义为最初 5 美元赌注的预期损失，那么赌场优势就是 0.92 美元/5.00 美元 = 18.44%。
所以，除非玩家在9点获胜后，或者在游戏过程中的其他地方掏出更多钱，否则我们不可能达到1200美元的目标。我无法认可这个策略的价值，但它看起来确实很有趣也很刺激。
在“赢钱”掷骰子游戏中，玩家可以下注“下注”或“输钱”投注。“输钱”投注的赔率如下：
- 4 和 10：5 到 11
- 5 和 9：5 到 8
- 6 和 8：4 到 5
下注的赔率是公平的，但如果玩家获胜，则必须根据获胜金额支付 5% 的佣金。
我的问题是哪种类型的赌注提供更好的赔率？
下表显示了不同投注点的赌场优势。您可以看到，除6和8之外，所有点数的赌场优势在下注时都较低。
输钱和下注的赌场优势
| 数字 | 失败的地方 | 莱伊 |
|---|---|---|
| 4 或 10 | 3.03% | 1.67% |
| 5或9 | 2.50% | 2.00% |
| 6或8 | 1.82% | 2.27% |
我听说拉斯维加斯的米高梅酒店现在只在赢钱后才收取买入投注的佣金。这会如何改变赌场优势？
我相信，只有在4和10的号码牌上赢钱后，他们就已经收取了佣金。所以，这部分没有影响。以下是4和10的三种投注方式的赌场优势：
- 位置投注（赔率为 9 比 5）— 6.67%
- 买入投注（始终支付佣金）——4.76%
- 买入投注（仅对赢钱支付佣金）——1.76%
对于 5 和 9 来说，这是个好消息，将赌场优势从位置投注的 4.00% 降低到 2.00%。
- 位置投注（赔率为 7 比 5）— 4.00%
- 买入投注（始终支付佣金）——4.76%
- 买入投注（仅对赢钱支付佣金）——2.00%
对于 6 和 8，这并不重要，因为位置投注的赌场优势仍然较低。
- 位置投注（赔率为 7 比 6）— 1.52%
- 买入投注（始终支付佣金）——4.76%
- 买入投注（仅对赢钱支付佣金）——2.27%
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
如果我押注 4 和 10 买入 20 美元，押注 5、6、8 和 9 买入 30 美元，我的赌场优势是多少？请假设 4 和 10 的佣金仅按赢钱支付。请计算一下我是否：
- 只保留一轮投注
- 等到重大事件发生后再下注（掷出 4 到 10 之间的任何点数）
- 保留赌注，直到所有赌注都解决为止。
第一个表格展示了我仅投一轮的分析结果。回报列的计算方式为：赢率*概率/（总投注额）。右下角单元格显示赌场优势为 0.69%。
单卷分析
| 卷 | 赌注 | 净赢 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0.027778 | 0.000000 |
| 3 | 0 | 0 | 2 | 0.055556 | 0.000000 |
| 4 | 20 | 三十九 | 3 | 0.083333 | 0.020313 |
| 5 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.111111 | 0.029167 |
| 6 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.138889 | 0.030382 |
| 7 | 0 | -160 | 6 | 0.166667 | -0.166667 |
| 8 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.138889 | 0.030382 |
| 9 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.111111 | 0.029167 |
| 10 | 20 | 三十九 | 3 | 0.083333 | 0.020313 |
| 11 | 0 | 0 | 2 | 0.055556 | 0.000000 |
| 12 | 0 | 0 | 1 | 0.027778 | 0.000000 |
| 160 | 三十六 | 1.000000 | -0.006944 |
第二张表格展示了我对“等到投注结果出来再下注”的分析。换句话说，在总点数为2、3、11或12后再次掷骰。回报列的计算方式为：赢率*概率/（总投注额）。右下角单元格显示赌场优势为0.83%。
一次重要的滚动分析
| 卷 | 赌注 | 净赢 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 20 | 三十九 | 3 | 0.100000 | 0.024375 |
| 5 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.133333 | 0.035000 |
| 6 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.166667 | 0.036458 |
| 7 | 0 | -160 | 6 | 0.200000 | -0.200000 |
| 8 | 三十 | 三十五 | 5 | 0.166667 | 0.036458 |
| 9 | 三十 | 四十二 | 4 | 0.133333 | 0.035000 |
| 10 | 20 | 三十九 | 3 | 0.100000 | 0.024375 |
| 全部的 | 160 | 三十 | 1.000000 | -0.008333 |
第三个表格展示了我对所有结果都成立后再下注的分析。回报栏的计算方式为：赢率*概率/（总投注额）。右下角单元格显示赌场优势为 2.44%。
滚动直至所有投注结果分析
| 赢 | 4,10 卷起 | 5,9 卷起 | 6,8 卷起 | 组合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -160 | 1 | 0 | 0 | 2,677,114,440 | 0.200000 | -0.200000 |
| -101 | 0 | 1 | 0 | 594,914,320 | 0.044444 | -0.028056 |
| -88 | 0 | 0 | 1 | 823,727,520 | 0.061538 | -0.033846 |
| -95 | 2 | 0 | 0 | 1,070,845,776 | 0.080000 | -0.047500 |
| -42 | 0 | 2 | 0 | 74,364,290 | 0.005556 | -0.001458 |
| -16 | 0 | 0 | 2 | 149,768,640 | 0.011189 | -0.001119 |
| -30 | 1 | 1 | 0 | 267,711,444 | 0.020000 | -0.003750 |
| -29 | 1 | 0 | 1 | 421,812,160 | 0.031512 | -0.005712 |
| -36 | 0 | 1 | 1 | 562,464,448 | 0.042020 | -0.009455 |
| -23 | 1 | 1 | 1 | 800,192,448 | 0.059780 | -0.008593 |
| 三十六 | 2 | 1 | 0 | 751,055,104 | 0.056109 | 0.012625 |
| 三十 | 2 | 0 | 1 | 93,017,540 | 0.006949 | 0.001303 |
| 23 | 1 | 2 | 0 | 127,949,276 | 0.009559 | 0.001374 |
| 43 | 0 | 2 | 1 | 136,097,920 | 0.010168 | 0.002733 |
| 49 | 1 | 0 | 2 | 276,379,776 | 0.020648 | 0.006323 |
| 二十九 | 0 | 1 | 2 | 259,917,112 | 0.019418 | 0.003519 |
| 四十二 | 2 | 1 | 1 | 383,915,862 | 0.028681 | 0.007529 |
| 95 | 1 | 2 | 1 | 280,463,688 | 0.020953 | 0.012441 |
| 108 | 1 | 1 | 2 | 430,248,448 | 0.032143 | 0.021696 |
| 101 | 2 | 2 | 0 | 626,008,276 | 0.046767 | 0.029522 |
| 102 | 2 | 0 | 2 | 48,772,745 | 0.003644 | 0.002323 |
| 88 | 0 | 2 | 2 | 101,392,694 | 0.007575 | 0.004166 |
| 114 | 2 | 2 | 1 | 243,130,194 | 0.018164 | 0.012942 |
| 167 | 2 | 1 | 2 | 263,665,646 | 0.019698 | 0.020560 |
| 160 | 1 | 2 | 2 | 409,147,802 | 0.030566 | 0.030566 |
| 173 | 2 | 2 | 2 | 679,339,612 | 0.050752 | 0.054875 |
| 232 | 0 | 0 | 0 | 832,156,379 | 0.062168 | 0.090144 |
| 全部的 | 13,385,573,560 | 1.000000 | -0.024848 |
[剧透=Wiz，你上面表格里的概率是从哪里得来的？] 我用了积分。关键在于，无论两次投掷之间间隔一个单位的时间，还是时间长度服从平均值为1的指数分布，概率都是一样的。
回想一下你的统计课上，事件 x 不发生的概率是 exp(-x)。然后很容易得出它至少发生一次的概率是 1-exp(-x)。下表显示了在任意时间长度 x 内，给定点数被掷出的概率。然后，对 x 的所有时间段（从 0 到无穷大）进行积分。我更喜欢使用www.integral-calculator.com/上的积分计算器。最后，记住要用类似事件来加权这些概率。例如，掷出 4 的概率与掷出 10 的概率相同。
- 4 或 10 -- (1-exp(-3x/36))*exp(-3x/36)*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 5 或 9 -- (1-exp(-x/9))*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/9)exp(-x/6)/6
- 6 或 8 -- (1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)exp(-x/6)/6
- 4 和 10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 5 和 9 -- (1-exp(-4x/36))^2*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 6 和 8 -- (1-exp(-5x/36))^2*exp(-4x/36)^2*exp(-3x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 4 和 5 -- (1-exp(-3x/36))*(1-exp(-4x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-4x/36)*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 4 和 6 -- (1-exp(-3x/36))*(1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 5 和 6 -- (1-exp(-4x/36))*(1-exp(-5x/36))*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-4x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,5,6 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/6)/6
- 4,5,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-4x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,6,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-5x/36))*exp(-4x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,5,9 -- (1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-3x/36))*exp(-5x/36)^2*exp(-3x/36)*exp(-x/6)/6
- 5,6,9 -- (1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))*exp(-3x/36)^2*exp(-5x/36)*exp(-x/6)/6
- 4,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)*exp(-4x/36)^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 5,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^0*exp(-3x/36)^2*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,9 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*exp(-4x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^1*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)/6
- 4,5,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^0*exp(-5x/36)^2*exp(-x/6)/6
- 4,6,8,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)/6
- 5,6,8,9 -- (1-exp(-3x/36))^0*exp(-3x/36)^2*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-5x/36)^0*exp(-x/6)*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*exp(-3x/36)^0*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^1*exp(-5x/36)^1*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))^1*exp(-4x/36)*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8,9 -- (1-exp(-3x/36))^1*exp(-3x/36)^1*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
- 4,5,6,8,9,10 -- (1-exp(-3x/36))^2*(1-exp(-4x/36))^2*(1-exp(-5x/36))^2*exp(-x/6)/6
您对掷骰子游戏中的 Doey Don't 策略有何看法？
对于那些不熟悉的人来说，Doey Don't 的工作原理如下：
- 在首次掷骰中，下注通过和不过注，金额相同。
- 如果掷出一个点，则押注该点的赔率。
其理念是，押注“不过关”是为了对冲开局掷出7点的赔率。押注“不过关”的玩家可能会选择“不过关”和“不过关”，这样玩家就可以享受赔率投注的乐趣，而不会受到庄家优势的影响。
缺陷在于，如果在开局掷骰中掷出 12，弃牌方将输，弃牌方将平局，最终损失 1 个单位。弃牌掷出 12 的概率为 1/36，因此该策略的预期损失为 1/36 = 1 个单位的 2.78%。而如果只押弃牌，且赔率为 7/495，预期损失为 1 个单位的 1.41%。
然而，Doey Don't 的波动性较小。假设赔率 3-4-5 倍，以下是两种赔率的标准差：
- 通过+总赔率：4.915632
- Doey Don't：4.085789
底线是我不推荐 Doey Don't，因为预期损失要多出 1.36% 的单位。
讽刺的是，你测试在线掷骰子游戏的公平性，而你自己的掷骰子游戏却存在如此严重的缺陷。我输了72个7出局的过关赌注，才拿到一分！
为了验证你的理论，我玩了50次过线投注，结果要么是赢得1分，要么是7出局。这花了248次投掷。
在下表中，我记录了我的结果。
掷骰子数据
| 观点 | 胜利 | 损失 | 全部的 | 概率获胜 | 预期胜利 |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 3 | 5 | 8 | 33.33% | 2.666667 |
| 5 | 3 | 3 | 6 | 40.00% | 2.400000 |
| 6 | 5 | 5 | 10 | 45.45% | 4.545455 |
| 8 | 6 | 4 | 10 | 45.45% | 4.545455 |
| 9 | 4 | 3 | 7 | 40.00% | 2.800000 |
| 10 | 1 | 8 | 9 | 33.33% | 3.000000 |
| 全部的 | 22 | 二十八 | 50 | 19.957576 |
右侧单元格显示，根据掷出的点数，预期获胜次数为 19.96。我实际获胜次数为 22。获胜次数恰好为 22 次的概率为 7.66%。少于 22 次的概率为 64.73%。获胜次数为 23 次或以上的概率为 27.61%。因此，这项测试表明我的结果接近预期。
有关所有详细信息，请参阅此视频对您的挑战的回应。
您对掷骰子游戏中的“行军士兵”策略有何看法？
为了方便其他读者，我先解释一下“行军士兵”是什么。简而言之，这是一种将5美元累积成1200美元的投注方法。有时你需要投入更多资金，以使奖金能够被1美元整除。以下是它在你必须预付4美元和10美元佣金的赌桌上的具体操作方法：
- 在 4 上投注 5 美元。
- 如果步骤 1 获胜，则从您的筹码中拿出 14 美元的奖金*加上 1 美元，并在 5 上押下 15 美元的注。
- 如果第 2 步获胜，则在 6 上投注 36 美元。
- 如果第 3 步获胜，则在 8 上投注 78 美元。
- 如果第 4 步获胜，则在 9 上押注 169 美元赢利加上您的筹码中的 1 美元。
- 如果第5步获胜，您将获得408美元。从您的筹码中拿出12美元，用于支付400美元买入10美元的佣金。
- 如果第 6 步获胜，则拿下 1200 美元。
- 如果任何赌注输了，那你就完了。
*：“赢”包括原始赌注金额。
您也可以按相反的顺序执行此操作，从 10 开始，以 4 结束。
如果您一路坚持到最后，扣除初始赌注中的 5 美元和后续赌注中的 14 美元后，您将获得 1,181 美元的净收益。
成功的概率是 0.3673%，即 272 分之一。
如果你在一张牌桌上玩，4 和 10 的佣金只在赢钱后支付，那么在 9 赢钱后，我不会从你的口袋里掏出 12 美元，而是会往里面放 8 美元。这样，你 10 的佣金就等于 400 美元，赢了就能拿回 1,180 美元。这个更慷慨的规则意味着预期净赢额为 1,188 美元。
如果我们将赌场优势定义为预期损失与预期赌注之比，则如果必须提前支付佣金，则赌场优势为 19.76%，如果仅在赢钱后支付佣金，则赌场优势为 17.03%。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。