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请问巫师 #422

为了便于讨论,假设一个二十一点游戏有无限多副牌,允许无限次重新分牌,并且玩家可以分任何一对牌。那么,玩家最终打出任意给定数量的牌的概率是多少?

anonymous

重新分牌为 n 手的概率为 (combin(2*(n-1),n-1)/n) × (1/13)^(n-1) × (12/13)^n 。关于第一项的更多信息(我需要一些帮助),请查阅Catalan numbers

下表显示了最终牌型为1到20的概率。秒数列表示“树”的数量,也就是上述表达式中的卡泰罗尼亚数。

树木可能性
1 1 0.9230769230769
2 1 0.0655439235321
3 2 0.0093080128093
4 5 0.0016523099661
5 14 0.0003285065968
6四十二0.0000699777366
7 132 0.0000156163334
8 429 0.0000036037693
9 1430 0.0000008529631
10 4862 0.0000002059225
11 16796 0.0000000505114
12 58786 0.0000000125531
十三208012 0.0000000031540
14 742900 0.0000000007998
15 2674440 0.0000000002045
16 9694845 0.0000000000526
17 35357670 0.0000000000136
18 129644790 0.0000000000035
19 477638700 0.00000000000009
20 1767263190 0.0000000000002

我听说毕达哥拉斯三元组有无数个。有什么公式可以求出它们吗?

anonymous

是的,有无数个独特的毕达哥拉斯三元组!对于那些不熟悉这个术语的人来说,它们是直角三角形,每条边都是整数。3-4-5 是最著名的一个。为了得到一个独特的(换句话说,不可约的)集合,毕达哥拉斯三元组可以为 a 和 b 选择任意整数值,其中 a < b,并且一个为奇数,一个为偶数。

  • 第 1 条腿 = b 2 - a 2
  • 第 2 条腿 = 2ab
  • 斜边 = a 2 + b 2

下表列出了所有边长均为 101 或更小的不可约勾股数。

a,b第 1 站第 2 站斜边
1,2 3 4 5
1,4 8 15 17
1,6 12三十五三十七
1,8 16 63 65
1,10 20 99 101
2,3 5 12十三
2.5 20 21二十九
2,7二十八45 53
2,9三十六77 85
3,4 7 24二十五
3,6二十七三十六45
3,8四十八55 73
4,5 9 40 41
4,7 33 56 65
4,9 65 72 97
5,6 11 60 61
5,8三十九80 89
6,7十三84 85

使用两个骰子,在掷出七点之前,至少掷出两次除七点之外的其他所有点数的概率是多少?

Garrison

这类问题的诀窍在于,如果掷骰子之间的时间遵循平均值为 1 的指数分布,则概率相同。在这种情况下,可以用以下公式给出。

以文本形式表示:exp(-x/6)*(1-exp(-5x/36))^4*(1-exp(-4x/36))^4*(1-exp(-3x/36))^4*(1-exp(-2x/36))^4*(1-exp(-1x/36))^4/6

为了解决此类积分,我推荐使用这个积分计算器

答案是 7864581698887803455719/10946915593544650625105200 =~ 0.0007184290069364848。