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请问巫师 #401

假设篮球比赛中半场投篮命中的概率是1%。那么平均需要投多少次才能连续三次？

任意概率和任意连续数字的一般公式是什么？

seven

让我们：

  • a=假设初始状态或最后一次射击失败，则预计会有更多射击。
  • b=假设最后一次投篮命中，预计还会有更多投篮。
  • c=假设最后两次投篮命中，预计投篮次数会更多。

我们可以建立以下从一个状态到另一个状态的方程：

a = 1 + 0.01b + 0.99a
b = 1 + 0.01c + 0.99a
c = 1 + (1-p)a

现在我们有三个方程和三个未知数，所以我们可以解了。我更喜欢矩阵代数。

无需赘述，解可以表示为 determ(A)/determ(B)。矩阵中的项取自上述三个方程。

这个行列式比率的答案是 101010。

为了回答第二个问题，对于任何概率 p 和连续成功的次数 n，答案是：

(1/p)^n + (1/p)^(n-1) + (1/p)^(n-2) + ... + (1/p)^2 + (1/p)^1

在本题中，通用公式的答案为 100^3 + 100^2 + 100^1 = 1000000 + 10000 + 100 = 1010100

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

从一副牌中取出任意花色的13张牌。两位逻辑学家，亚历克斯和鲍勃，每人发一张牌。2为小牌，A为大牌。每位逻辑学家都可以查看自己的牌。然后，亚历克斯可以提议鲍勃换牌。如果鲍勃提出换牌，他可以接受或拒绝。两位玩家的最佳策略应该是什么？

anonymous

Alex 应该只给出 2 分。Bob 应该只给出 2 分。

[剧透=解决方案]

为了亲自回答这个问题，我尝试了各种策略，如下所示。

如果 Alex 以 4 或更低的点数切换，Bob 应该以 2 接受，并以 3 表示无所谓。Bob 获胜的概率为 56.7%。

如果 Alex 的牌面数字为 3 或更小，Bob 应该只用 2 来接受。Bob 获胜的概率为 53.3%。

如果 Alex 只用 2 换牌，Bob 应该始终拒绝该提议。Bob 获胜的概率为 50.0%。

模式是，Bob 在选择换人时应该比 Alex 更挑剔。如果 Alex 用 3 或更高的数字换人，Bob 就能凭借更低的换人标准占据优势。Alex 唯一能避免被击败的方法就是只用 2 换人。Bob 明白这一点，如果有人提出换人，他绝不会换人。因此，如果两位逻辑学家参与游戏，Alex 应该提出只用 2 换人。Bob 应该始终拒绝这个提议。

然而，万一鲍勃拿到了 2 并且有人提出交换，鲍勃当然应该接受，因为他认为亚历克斯要么读错了牌，要么不是真正的逻辑学家。

[/spoiler]

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

平均需要旋转多少次轮盘才能看到一个数字重复出现？

anonymous

您没有说出车轮的类型，但这里有三种答案：

  • 单零 = 8.306669466
  • 双零 = 8.408797212
  • 三零 = 8.509594851

下表显示了三个轮子每次旋转时第一次重复的概率。

重复次数的概率

旋转单身的
零		双倍的
零		三倍
零
1 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
2 0.0270270270 0.0263157895 0.0256410256
3 0.0525931337 0.0512465374 0.0499671269
4 0.0746253924 0.0728240268 0.0711070652
5 0.0914329132 0.0894330154 0.0875163879
6 0.1019353424 0.1000237672 0.0981754352
7 0.1057923554 0.1042352943 0.1027066091
8 0.1034096446 0.1024066049 0.1013898577
9 0.0958236089 0.0954768346 0.0950762036
10 0.0844931146 0.0847985044 0.0850200666
11 0.0710452616 0.0719051646 0.0726667236
12 0.0570282235 0.0582810281 0.0594376534
十三0.0437169674 0.0451747682 0.0465525677
14 0.0320000324 0.0334848063 0.0349144258
15 0.0223534530 0.0237240530 0.0250667672
16 0.0148879175 0.0160538705 0.0172161863
17 0.0094424270 0.0103646041 0.0113008813
18 0.0056941663 0.0063755953 0.0070811612
19 0.0032589823 0.0037306115 0.0042294718
20 0.0017665054 0.0020725619 0.0024039306
21 0.0009046116 0.0010908221 0.0012976683
22 0.0004364140 0.0005425405 0.0006638073
23 0.0001977062 0.0002542733 0.0003209618
24 0.0000837944 0.0001119289 0.0001462658
二十五0.0000330845 0.0000461035 0.0000626155
二十六0.0000121086 0.0000176932 0.0000250863
二十七0.0000040842 0.0000062951 0.0000093656
二十八0.0000012609 0.0000020644 0.0000032419
二十九0.0000003534 0.0000006197 0.0000010345
三十0.0000000890 0.0000001689 0.0000003022
31 0.0000000199 0.0000000414 0.0000000802
三十二0.0000000039 0.0000000090 0.0000000191
33 0.0000000007 0.0000000017 0.0000000040
三十四0.0000000001 0.0000000003 0.0000000007
三十五0.0000000000 0.0000000000 0.0000000001
三十六0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
三十七0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
三十八0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
三十九0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000