请问巫师 #401
假设篮球比赛中半场投篮命中的概率是1%。那么平均需要投多少次才能连续三次?
任意概率和任意连续数字的一般公式是什么?
让我们:
- a=假设初始状态或最后一次射击失败,则预计会有更多射击。
- b=假设最后一次投篮命中,预计还会有更多投篮。
- c=假设最后两次投篮命中,预计投篮次数会更多。
我们可以建立以下从一个状态到另一个状态的方程:
a = 1 + 0.01b + 0.99a
b = 1 + 0.01c + 0.99a
c = 1 + (1-p)a
现在我们有三个方程和三个未知数,所以我们可以解了。我更喜欢矩阵代数。
无需赘述,解可以表示为 determ(A)/determ(B)。矩阵中的项取自上述三个方程。
这个行列式比率的答案是 101010。
为了回答第二个问题,对于任何概率 p 和连续成功的次数 n,答案是:
(1/p)^n + (1/p)^(n-1) + (1/p)^(n-2) + ... + (1/p)^2 + (1/p)^1
在本题中,通用公式的答案为 100^3 + 100^2 + 100^1 = 1000000 + 10000 + 100 = 1010100
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
从一副牌中取出任意花色的13张牌。两位逻辑学家,亚历克斯和鲍勃,每人发一张牌。2为小牌,A为大牌。每位逻辑学家都可以查看自己的牌。然后,亚历克斯可以提议鲍勃换牌。如果鲍勃提出换牌,他可以接受或拒绝。两位玩家的最佳策略应该是什么?
为了亲自回答这个问题,我尝试了各种策略,如下所示。
如果 Alex 以 4 或更低的点数切换,Bob 应该以 2 接受,并以 3 表示无所谓。Bob 获胜的概率为 56.7%。
如果 Alex 的牌面数字为 3 或更小,Bob 应该只用 2 来接受。Bob 获胜的概率为 53.3%。
如果 Alex 只用 2 换牌,Bob 应该始终拒绝该提议。Bob 获胜的概率为 50.0%。
模式是,Bob 在选择换人时应该比 Alex 更挑剔。如果 Alex 用 3 或更高的数字换人,Bob 就能凭借更低的换人标准占据优势。Alex 唯一能避免被击败的方法就是只用 2 换人。Bob 明白这一点,如果有人提出换人,他绝不会换人。因此,如果两位逻辑学家参与游戏,Alex 应该提出只用 2 换人。Bob 应该始终拒绝这个提议。
然而,万一鲍勃拿到了 2 并且有人提出交换,鲍勃当然应该接受,因为他认为亚历克斯要么读错了牌,要么不是真正的逻辑学家。
[剧透]我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
平均需要旋转多少次轮盘才能看到一个数字重复出现?
您没有说出车轮的类型,但这里有三种答案:
- 单零 = 8.306669466
- 双零 = 8.408797212
- 三零 = 8.509594851
下表显示了三个轮子每次旋转时第一次重复的概率。
重复次数的概率
旋转 | 单身的 零 | 双倍的 零 | 三倍 零 |
---|---|---|---|
1 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000000 |
2 | 0.0270270270 | 0.0263157895 | 0.0256410256 |
3 | 0.0525931337 | 0.0512465374 | 0.0499671269 |
4 | 0.0746253924 | 0.0728240268 | 0.0711070652 |
5 | 0.0914329132 | 0.0894330154 | 0.0875163879 |
6 | 0.1019353424 | 0.1000237672 | 0.0981754352 |
7 | 0.1057923554 | 0.1042352943 | 0.1027066091 |
8 | 0.1034096446 | 0.1024066049 | 0.1013898577 |
9 | 0.0958236089 | 0.0954768346 | 0.0950762036 |
10 | 0.0844931146 | 0.0847985044 | 0.0850200666 |
11 | 0.0710452616 | 0.0719051646 | 0.0726667236 |
12 | 0.0570282235 | 0.0582810281 | 0.0594376534 |
十三 | 0.0437169674 | 0.0451747682 | 0.0465525677 |
14 | 0.0320000324 | 0.0334848063 | 0.0349144258 |
15 | 0.0223534530 | 0.0237240530 | 0.0250667672 |
16 | 0.0148879175 | 0.0160538705 | 0.0172161863 |
17 | 0.0094424270 | 0.0103646041 | 0.0113008813 |
18 | 0.0056941663 | 0.0063755953 | 0.0070811612 |
19 | 0.0032589823 | 0.0037306115 | 0.0042294718 |
20 | 0.0017665054 | 0.0020725619 | 0.0024039306 |
21 | 0.0009046116 | 0.0010908221 | 0.0012976683 |
22 | 0.0004364140 | 0.0005425405 | 0.0006638073 |
23 | 0.0001977062 | 0.0002542733 | 0.0003209618 |
24 | 0.0000837944 | 0.0001119289 | 0.0001462658 |
二十五 | 0.0000330845 | 0.0000461035 | 0.0000626155 |
二十六 | 0.0000121086 | 0.0000176932 | 0.0000250863 |
二十七 | 0.0000040842 | 0.0000062951 | 0.0000093656 |
二十八 | 0.0000012609 | 0.0000020644 | 0.0000032419 |
二十九 | 0.0000003534 | 0.0000006197 | 0.0000010345 |
三十 | 0.0000000890 | 0.0000001689 | 0.0000003022 |
31 | 0.0000000199 | 0.0000000414 | 0.0000000802 |
三十二 | 0.0000000039 | 0.0000000090 | 0.0000000191 |
33 | 0.0000000007 | 0.0000000017 | 0.0000000040 |
三十四 | 0.0000000001 | 0.0000000003 | 0.0000000007 |
三十五 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000001 |
三十六 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000000 |
三十七 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000000 |
三十八 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000000 |
三十九 | 0.0000000000 | 0.0000000000 | 0.0000000000 |