请问巫师 #357

[剧透=答案]5/34 + 7/68 + 9/12 [/剧透]

[剧透=解决方案]

有 permut(9,3)*permut(6,3)*permut(3,3)/fact(3) = 60,480 种可能的排列组合需要排序才能找到答案。我必须承认，我反复试验了至少一个小时，却没有找到答案。

因此，我编写了一个程序，对 fact(9) = 362,880 种对这 9 个数字进行排序的方法进行了测试。棘手的部分在于要对这 9 个数字的所有可能排序方式进行排序。以下是使用字典顺序排序的方法。

1. 将所有九个元素放入一个数组中，按从低到高的顺序排列。
2. 找到数组中最后一个元素，使得下一个元素大于它。如果未找到，则退出程序。
3. 从步骤 2 中的下一个元素开始，找到数组中大于步骤 2 中的元素的最后一个元素。
4. 交换步骤 2 和步骤 3 中数组中的元素。
5. 将数组中的元素从步骤 2 开始依次反转，直到最后。
6. 返回步骤 2

按照这个过程，你会找到六次正确答案，一次解决所有六种排序三个分数的方法。[/剧透]

[剧透=代码]

我编写了以下代码，按字典顺序对从 1 到 9 的每个数字进行排序，并测试每个数字是否是解决方案。

无效三分数（无效）
{
 int i，x_max，y_max，temp_array[100]，保持，pt；
 int lex_array[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };
 int num_elements = sizeof(lex_array) / sizeof(lex_array[0]);
 int 计数 = 0;
 bool 停止 = false;
 双倍tot3；
 cerr << "元素数量 =\t" << num_elements << "\n";
 做
 {
  计数++；
  tot3 = (双精度)lex_array[0] / (双精度)(10 * lex_array[1] + lex_array[2]);
  tot3 += (双精度)lex_array[3] / (双精度)(10 * lex_array[4] + lex_array[5]);
  tot3 += (双精度)lex_array[6] / (双精度)(10 * lex_array[7] + lex_array[8]); 
  如果 (tot3 == 1.0)
  {
   cerr << count << "\t";
   cerr << lex_array[0] << "/" << lex_array[1] << lex_array[2] << " + ";
   cerr << lex_array[3] << "/" << lex_array[4] << lex_array[5] << " + ";
   cerr << lex_array[6] << "/" << lex_array[7] << lex_array[8] << "\n";
  } 
  x_max = -1；
  对于（i = 0；i <（num_elements - 1）；i ++）
  {
   如果 (lex_array[i] < lex_array[i + 1])
    x_max = i;
  }
  如果（x_max> = 0）
  {
   y_max = 0;
   对于（i = x_max + 1；i < num_elements；i++）
   {
    如果（lex_array[x_max] < lex_array[i]）
     y_max = i;
   }
   保持 = lex_array[x_max];
   lex_array[x_max] = lex_array[y_max];
   lex_array[y_max] = 保持；
   if (x_max + 1 < num_elements - 1) // 反转
   {
    对于（i = x_max + 1；i < num_elements；i++）
    {
     temp_array[i] = lex_array[i];
    }
    pt = 0;
    对于（i = x_max + 1；i < num_elements；i++）
    {
     lex_array[i] = temp_array[num_elements - 1 - pt];
     点++；
    }
   }
  }
  别的
   停止=真；
 } 当（停止==假）时；
}

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

[剧透=解决方案]

设 j = 罐子的体积。

第一次装满酒壶后，酒壶中剩余 10 加仑葡萄酒。用水取代葡萄酒后，葡萄酒与整桶葡萄酒的比例为 (10-j)/10。

壶舀出稀释酒后，桶中剩余10焦加仑稀释酒。稀释酒中纯酒的含量可表示为：

(10-j)*((10-j)/10) = 5

(10-j)^2 = 50

j^2 - 20j + 100 = 50

j^2 - 20j + 50 = 0

j = (20 +/- 平方根(400-200))/2

j = (20 +/- 10*sqrt(2))/2

j = 10 +/- 5*sqrt(2)

壶不可能比桶大，所以我们必须使用负号：

j = 10 - 5*sqrt(2) =~ 约 2.92893218813452 加仑。

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

[剧透=答案]平均值=14.690219
中位数 = 14
模式 = 13

[剧透=解决方案]

我不得不用马尔可夫链来解决这个问题。下表根据左列的累计和显示了每个最终总数的概率。首先从 13 到 18 的明显情况开始。然后，对于 0 到 12 的累计和，取下面六个单元格的平均值。

可以在第一行中找到初始状态的概率，其总和为 0。

这个问题是在我的论坛“ 拉斯维加斯巫师”中提出并讨论的。