请问巫师 #356
从一副52张牌的牌堆中抽取一张牌，并进行替换。需要抽取多少次才能抽出任意花色的13张牌？请用微积分来解答。
[剧透=解决方案]
如果每单位时间内抽取一张牌，而不是每单位时间内只抽取一张牌，并且两次抽取之间间隔一段随机的时间，且平均时间遵循平均值为 1 的指数分布，那么答案将是相同的。
抽取任何给定卡片之间的时间平均值为 52。鉴于指数分布的性质，在 t 个时间单位后未抽取卡片的概率为 exp(-t/52)。
经过 t 个时间单位后，任何特定卡片至少被抽出一次的概率是 1-exp(-t/52)。
经过 t 个时间单位后，至少抽出一次 13 张特定牌的概率是 (1-exp(-t/52))^13。
经过 t 个时间单位后，13 张特定牌中至少有一张不会被抽出，即 1-(1-exp(-t/52))^13。
经过 t 个时间单位后，每套花色中至少缺少一张牌的概率为 (1-(1-exp(-t/52))^13)^4。
将此方程放入积分计算器中，注意将积分范围设置为从 0 到无穷大，得出 712830140335392780521 / 6621889966337599800 =~ 107.6475362712258
[/spoiler]这个问题是在我的Wizard of Vegas论坛中提出并讨论的。
在“问巫师”栏目第355栏中，有人问了一个关于鱿鱼游戏中玻璃桥的问题。这个问题假设玩家记得安全台阶的位置。我的问题是，如果玩家不记得了，答案会是什么？
让我先重新表述一下您的问题，而不先提及之前的问题。
16名玩家在一座玻璃桥上进行游戏。这座桥由18对玻璃板组成。每对玻璃板中，一块是钢化玻璃，可以支撑一名玩家的重量。另一块是普通玻璃，在玩家的重量下会破碎。如果玩家踩到一块普通玻璃，就会破碎并坠落身亡。
玩家必须按照预先指定的顺序逐一前进。玩家通常不会记得安全台阶的位置，除非一对台阶中的一块损坏，否则安全台阶的位置显而易见。
假设随机猜测每对玻璃台阶，预计有多少玩家可以安全通过？
请点击下面的按钮查看我的答案。
下表显示了每位玩家（按游戏顺序）的生存概率。右下角单元格显示预期幸存者人数为 0.23884892。
无记忆鱿鱼游戏桥牌谜题
| 玩家 数字 | 可能性 生存 |
|---|---|
| 1 | 0.00000381 |
| 2 | 0.00000763 |
| 3 | 0.00001526 |
| 4 | 0.00003051 |
| 5 | 0.00006094 |
| 6 | 0.00011911 |
| 7 | 0.00023545 |
| 8 | 0.00046159 |
| 9 | 0.00089886 |
| 10 | 0.00175139 |
| 11 | 0.00345091 |
| 12 | 0.00693198 |
| 十三 | 0.01418276 |
| 14 | 0.02923634 |
| 15 | 0.05993762 |
| 16 | 0.12152477 |
| 全部的 | 0.23884892 |
我的解决方案使用了马尔可夫链，这很难解释，而且很耗时。
这个问题是我在我的专栏“ 拉斯维加斯巫师”中提出并讨论的。
如果我在德州扑克中持有口袋对 K，并且有四个对手，那么至少有一个对手持有口袋对 A 的概率是多少？
[剧透=解决方案]
四位对手的八张牌中，四张是A的概率为combin(46,4)/combin(50,8) = 0.000303951。
由此可知，四张 A 牌同时出现在不同人手中的概率为 1-2^4*4!*4!/8! = 0.228571429。因此，另一种可能性，即至少有一对 A 牌出现的概率为 1 - 0.228571429 = 0.771428571。
四张 A 全部出局且至少有一手有两张 A 的概率为 0.000303951 * 0.771428571 = 0.000234477。
四位对手的八张牌中，三张是A的概率为combin(4,3) * combin(46,5)/combin(50,8) = 0.010212766。
从那里，他们两个在同一手中的概率是 4*3*COMBIN(3,2)*5*COMBIN(4,2)/(COMBIN(8,2)*COMBIN(6,2)*COMBIN(4,2)) = 0.428571429。
出现三张 A 且其中两张在同一手牌中的概率为 0.010212766 * 0.428571429 = 0.0043769。
四位对手的八张牌中，有两张是A的概率为combin(4,2) * combin(46,6)/combin(50,8) = 0.104680851。
它们同时出现在同一手牌中的概率是 1/7 = 0.142857143。
两张 A 牌同时出现且在同一手牌中的概率为 0.104680851 * 0.142857143 = 0.014954407。
将至少一名对手获得两张 A 的方式相加，我们得到的答案是 0.000234477 + 0.0043769 + 0.014954407 = 0.019565784。
[/spoiler]我在一家在线体育博彩公司看到一个促销活动，如果NFL的输赢盘投注中，所选球队领先17分或以上，投注将自动计为赢家。这个活动的价值是多少？
如果所选球队领先17分或以上后输掉比赛，这项优惠将使原本输掉的投注变成赢利。一个很好的例子是投注第51届超级碗亚特兰大猎鹰队。在第三节，猎鹰队一度以28比3领先，领先25分。然而，他们最终以34比28落败。
为了回答这个问题，我分析了2000年至2015年NFL每个赛季的4131场比赛。下表显示了获胜球队在比赛过程中的最大分差。概率列过滤掉了五场平局的比赛。
克服最大赤字
| 赤字 | 游戏 | 可能性 |
|---|---|---|
| 领带 | 5 | 0.000000 |
| 0 | 1804 | 0.437227 |
| 1 | 100 | 0.024237 |
| 2 | 二十九 | 0.007029 |
| 3 | 560 | 0.135725 |
| 4 | 235 | 0.056956 |
| 5 | 23 | 0.005574 |
| 6 | 131 | 0.031750 |
| 7 | 622 | 0.150751 |
| 8 | 三十九 | 0.009452 |
| 9 | 三十四 | 0.008240 |
| 10 | 195 | 0.047261 |
| 11 | 84 | 0.020359 |
| 12 | 14 | 0.003393 |
| 十三 | 49 | 0.011876 |
| 14 | 104 | 0.025206 |
| 15 | 10 | 0.002424 |
| 16 | 6 | 0.001454 |
| 17 | 三十六 | 0.008725 |
| 18 | 14 | 0.003393 |
| 19 | 2 | 0.000485 |
| 20 | 4 | 0.000969 |
| 21 | 22 | 0.005332 |
| 22 | 0 | 0.000000 |
| 23 | 2 | 0.000485 |
| 24 | 5 | 0.001212 |
| 二十五 | 1 | 0.000242 |
| 二十六 | 0 | 0.000000 |
| 二十七 | 0 | 0.000000 |
| 二十八 | 1 | 0.000242 |
| 全部的 | 4131 | 1.000000 |
“平局”这一行代表16个赛季中只有5场比赛以平局结束，所以我们不计算这些比赛。“0”这一行代表获胜球队从未落后的比赛占比为43.7%。
表格显示，有87场比赛中，一支球队输掉17分或以上，然后又赢了。在已结算的4126场比赛中（即不包括5场平局），这一概率为2.11%。
考虑到这些情况会将输赢转化为赢，我们将这个概率乘以一，得出的数值为4.22%。输赢盘的赌场优势与让分盘的赌场优势大致相同，均为4.76%。减去4.22%，我们得到本次促销活动中赌场优势非常低，仅为0.54%。