请问巫师 #350
在国家冰球联盟（NHL）的常规赛中，如果比赛在规定时间内结束，胜方将获得两分，负方则得零分。然而，如果比赛进入加时赛，胜方仍然获得两分，而负方将获得一分。然而，在季后赛中，没有这样的加时赛激励机制。
你觉得在常规赛中，如果比赛进行到最后阶段打平，两队会拖延时间试图进入加时赛吗？这样做似乎合乎逻辑，因为两队之间会各得三分，而不是两分。
正如您所说，在冰球比赛中，确实存在着一种让比赛进入加时赛的动机。让我们来看一些数据来回答您的问题。以下数据来自四个冰球赛季，从2017/2018赛季开始。
下表对四个赛季的7846场比赛进行了细分，包括常规赛、季后赛以及是否进入加时赛。表格显示，常规赛期间，11.27%的比赛进入加时赛，而季后赛期间，54/544 = 9.03%的比赛进入加时赛。
NHL加时赛数据
| 季节 | 随着时间的推移 | 游戏 |
|---|---|---|
| 常规的 | 是的 | 817 |
| 常规的 | 不 | 6431 |
| 季后赛 | 是的 | 54 |
| 季后赛 | 不 | 544 |
问题在于，11.27% 和 9.03% 之间的差异是否具有统计学显著性，或者是否能用正态方差来解释。为了检验两个样本均值，我将进行卡方检验，例如 MedCalc.org 上的比例比较计算器。在全部 7,846 场比赛中，有 871 场比赛进入加时赛，概率为 11.10%。在同一样本中，不进行加时赛的概率为 88.90%。如果我们假设常规赛和季后赛的比赛之间没有统计学上的显著差异，那么常规赛应该有 804.6 场比赛进入加时赛，季后赛应该有 66.4 场比赛进入加时赛。
下表比较了实际结果与预期结果，假设常规赛和季后赛加时赛的真实概率相同。右列显示的是卡方统计量，即实际总分与预期总分之差的平方除以预期总分。
NHL加时赛数据——卡方检验
| 季节 | 随着时间的推移 | 实际的 全部的 | 预期的 全部的 | X^2 |
|---|---|---|---|---|
| 常规的 | 是的 | 817 | 804.61 | 0.190641 |
| 常规的 | 不 | 6431 | 6443.39 | 0.023806 |
| 季后赛 | 是的 | 54 | 66.39 | 2.310641 |
| 季后赛 | 不 | 544 | 531.61 | 0.288540 |
| 全部的 | 7846 | 7846.00 | 2.813628 |
上表的卡方统计量为 2.813628。自由度为 1 时，结果出现如此或更大偏差的概率为 9.347%。换句话说，如果常规赛和季后赛之间的行为没有变化，导致加时赛的概率真正相等，那么我们看到进入加时赛的比赛出现 2.24% 或更长时间差异的概率为 9.347%。简而言之，这些证据确实表明两类比赛的加时赛率存在统计学上的显著差异。然而，仍有 9.35% 的可能性可以将其解释为正态随机方差。
我应该补充一点，我链接的MedCalc计算器以及其他来源都对卡方统计量进行了“N-1”调整。具体来说，它们将卡方统计量乘以(N-1)/N，其中N是观测值的总数。在这种情况下，调整后的卡方统计量将是2.813628 * (7845/7846) = 2.813270。这个自由度为1的卡方统计量的p值为9.349%。我不想用这个小调整来混淆视听，但如果我没有这样做，我相信我的读者会想知道我为什么不这样做。
就我个人而言，我相信球队在常规赛中确实比在季后赛中更倾向于打加时赛，数据也支持这一点，但数据并不能排除合理的怀疑。
外部链接
- 约翰霍普金斯大学彭博公共卫生学院使用卡方统计量。
更有可能的是：
- 贾斯汀·韦兰德连续投出 100 次好球。
- 斯蒂芬·库里连续 100 次罚球命中。
- 贾斯汀·塔克连续 100 次 40 码射门得分。
韦兰德的实力很难估计，所以我们最后再来评价他。
2019/2020赛季，斯蒂芬·库里的罚球命中率为93.10%（来源：篮球参考）。
NFL 40码射门得分的平均命中率为85.83%。然而，我认为塔克的命中率高于平均水平。30码至39码射门得分的平均命中率为89.32%，而塔克的命中率为96.63%。将塔克的命中率应用到NFL平均命中率中，我估算塔克命中40码射门得分的概率为85.85% × (96.63%/89.32%) = 92.86%。
棒球比赛就变得棘手了。我们必须要问，我们讨论的是真实比赛中的实际投球，还是在受控的演示中。这一点很重要，因为在真实比赛中，投手并非每次都力求投出好球。大多数时候，他们会努力将球投到好球区边缘附近，这使得击球手更难打出干净利落的击球。
我没有统计数据支持这一点，但我在小联盟比赛中观察过一些牛棚投手，他们几乎每次都能把球直接送到捕手的手套里，捕手根本不用移动。我粗略估计，像韦兰德这样的投手在受控测试中至少能有95%的概率投出好球。然而，在实际比赛中，韦兰德的好球率只有68.50%。
要获得连续 100 次成功试验的概率，忽略疲劳因素，只需将单次成功试验的概率取 100 次方。
底线是，如果我们谈论的是一个受控实验，我会选择韦兰德，而在实际比赛条件下，我会选择库里。
这个问题最初是在Barstool Sports上提出的。在我的Wizard of Vegas论坛上也有很多关于它的讨论。
哪种堆放炮弹的方法更有效？是像埃及金字塔那样堆放方形底座的金字塔，还是堆放成三角形，形成四面体？
以下是读者可能会发现有用的几个公式：
向下滚动查看我的答案和解决方案。
我假设你所说的“高效”是指炮弹之间浪费的空间最少。
为了简单起见，为了定义每个金字塔的体积，我们用位于金字塔角的球体中心点作为定义。设 n 为每个金字塔底部每侧炮弹的数量。
我们先来看一下方形底座的金字塔。
整个金字塔的炮弹数量为1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + ... + n 2 = n*(n+1)*(2n+1)/6。
接下来，我们来求这个底边为 n 的正方形金字塔的高度。如图所示，除正方形底边外，其他边都是等边三角形。因此，斜高也为 n。底边一角到对角的距离为 n*sqrt(2)。因此，底边一角到底边中心的距离为 n*sqrt(2)/2。设高度为 h。考虑由高度、底边一角到底边中心的距离以及斜高构成的直角三角形。
h 2 + (n*sqrt(2)/2) 2 = n 2
h = n*sqrt(2)/2。
回想一下，金字塔的体积是底面*高/3。因此，金字塔的体积为：
n 2 * n* sqrt(2)/2 * (1/3) = n 3 *sqrt(2)/6。因此，球与体积的比率为 [n*(n+1)*(2n+1)/6] / [n 3 *sqrt(2)/6] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n 3 ) = sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n 2 )
接下来我们看一下三角形底座的金字塔。
整个金字塔的炮弹数量为1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + n*(n+1)/2 = n*(n+1)*(n+2)/6。
接下来，我们来求底面积。回想一下，30°-60°-90°三角形的边长分别与1/2、sqrt(3)/2和1成比例。由此不难得出，边长为n的等边三角形的高是n*sqrt(3)/2。这样，底面积就是n的2 *sqrt(3)/4。
底面一个角到底面中心的距离是 sqrt(3)/3。已知该距离以及金字塔的斜高 1，我们可以使用勾股定理求出金字塔的高度，即 sqrt(6)/3。
现在我们可以找到金字塔的体积，即底面*高度/3 = (n 2 *sqrt(3)/4) * (n*sqrt(6)/3) * (1/3) = n 3 *sqrt(18)/36 = n 3 *sqrt(2)/12。
因此，球与体积的比率为 [n*(n+1)*(n+2)/6] / [n 3 *sqrt(2)/12] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n 3 ) = sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n 2
以下是球与体积比率的比较：
- 平方底：sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n 2 )
- 三角形底边：sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n 2
我们将两个比率除以 sqrt(2)*(n+1)/n 2 ：
- 方底：（2n+1）/2 = n + 0.5
- 三角形底数：n+2
随着 n 的增大，两个金字塔的炮弹数量与体积之比都会趋近于 n。换句话说，炮弹数量越多，它们的效率就越接近。
给定一个炮弹的体积，两个金字塔的效率（定义为炮弹体积与总体积的比率）接近 pi*sqrt(2)/6 =~ apx. 74.05%。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。