请问巫师 #346
我听说了《危险边缘》的投注规则，叫“三分之二规则”。你知道吗？
是的。这指的是当第二名玩家的得分超过第一名玩家的2/3时，他的策略会发生变化。
让我们将情况简化为双人游戏，如下所示：
- 情况A：第二名的人数还不到第一名的一半。
- 情况 B：第二个玩家拥有第一名的 1/2 到 2/3 份额。
- 情况C：第二名拥有第一名的2/3以上。
在继续深入讨论之前，我想提醒读者一下《危险边缘》规则的一项变化，该规则在“最终危险边缘”之后对平局进行了修改。现在不再是双方选手同时晋级，而是设置一个突然死亡决胜题。以下就是这种情况。
情况 A
假设 A=10,000 美元，B=4,000 美元
玩家A不应冒险下注，下注金额不应超过A-2B-1。如果他对该类别没有信心，可以下注0美元。无论哪种方式，他都能确保获胜。在这种情况下，A的下注金额应在0美元到1999美元之间。
玩家B毫无希望，除非A下注过多而输掉比赛。在这种情况下，B应该考虑第三名的分数，并尽量保持领先，如果可以的话，争取第二名赢得2000美元，而不是第三名赢得1000美元。
情况 B
假设 A=10,000 美元，B=6,000 美元
A 的策略是预期 B 会全押，如果押对了，押注金额会覆盖 2B。然而，为了安全起见，他不应该押注过高，以免押错后金额低于 B。在这种情况下，他应该至少押注 2B - A + 1 和 AB - 1。在这种情况下，押注范围是 2,001 美元到 3,999 美元。
B 的策略是，如果答对了，至少要获得足够的分数才能超过 A，并提高总分。在本例中，A 的分数是 4,001 美元，B 的分数是 6,000 美元。
如果两位玩家都按照预期行事并遵循此策略，那么玩家 B 获胜的唯一可能性是 A 猜错而 B 猜对。这种情况的概率约为 19%。
情况 C
这里的事情变得更加复杂，涉及更多的博弈论和随机化。
假设 A=$10,000，B=$7,000。
在进一步探讨之前，重要的是估算“最终危险边缘”线索被正确解答的概率。根据第30至34季的数据，第一名玩家的正确率为52%，第二名玩家的正确率为46%。然而，这些概率是正相关的。以下是所有四种可能性的细分：
- 均正确：27%
- 第一名正确，第二名错误：25%
- 第一个位置错误，第二个位置正确：19%
- 两者都不正确，为 29%。
尽管前两位玩家的 Jeopardy 平均答对率为 49%，但两人都答对或都答错的概率却高达 56%。
当然，这些可以根据类别而改变，但让我们保持简单并使用上述概率。
在这种情况下，玩家B不必依赖A错而B正确。他可以下注较低金额，比如0美元，确保在A错的情况下获胜。换句话说，如果A的赌注足以弥补B的赔率（如果正确），那么如果A错而B的赌注为0美元，他就有可能跌破B的赔率。
然而，如果A预测B会押低注，比如0美元，那么A也可以押0美元来锁定胜局。两位玩家基本上都可以选择押低注还是押高注。A应该希望押与B相同的注，而B应该押与B相反的注。如果两位玩家都是完美的逻辑学家，他们就会随机做出决定。
在这种情况下，A 的高额投注应为 2B-A+1 至 AB-1，与情况 B 相同。在这种情况下，A 的低额投注应为 2,999 美元至 4,001 美元。
B 的高额投注应与情况 B 相同，如果正确，投注金额应足以超过 A。在本例中，分别为 3,001 美元和 7,000 美元。B 的低额投注应为 0 美元。
如果我跳过数学计算并直接讨论两位玩家的随机化策略，请原谅我。
玩家 A 选择高牌的概率为 62.3%，选择低牌的概率为 37.7%。
球员 B 应该处于高位，概率为 61.2%，处于低位，概率为 38.8%。
假设两个玩家都遵循这种随机化策略，并且概率配对正确，则玩家 A 获胜的概率为 65.2%。
如果玩家 A 的得分超过玩家 B 的 2/3，那么他获胜的概率就会上升到 81.0%。
在双重危险中下注时，两位玩家都应该牢记 2/3 规则的重要性。
在您的视频扑克编程技巧中，您解释了尽管视频扑克中有 2,598,960 种可能的起手牌，但在 52 张牌的扑克牌组中，只需分析 134,459 种类型的牌型。我的问题是，如果有人玩的是牌型顺序很重要的游戏，比如Ace$ Bonus Poker或连续皇家牌有累积奖金的游戏，那么需要分析多少种不同类型的牌型？
为此，我向我尊敬的同事Gary Koehler请教，他是视频扑克数学专家。他的答案是15,019,680。
掷一个六面骰子，直到发生以下任一事件：
A) 任何一方都出现了六次。
B) 每一方都至少出现过一次。
事件 A 首先发生的概率是多少？
为了像我一样使用微积分来回答这个问题，我推荐使用积分计算器，例如integral-calculator.com/上的那个。
这是我的解决方案（PDF）。
我在Wizard of Vegas论坛上提出过这个问题（用略有不同的措辞）并讨论过这个问题。