WOO logo

Wizard 巫师推荐

请问巫师 #333

有无数个灯泡，全部关闭。灯泡开启的时间间隔服从指数分布*，平均值为1天。灯泡开启后，其预期寿命也服从指数分布，平均值为1天。

第一个灯泡烧坏的平均时间是多少？

*：遵循指数分布的随机事件具有无记忆特性，即过去的事情并不重要。换句话说，单个事件永远不会过期，其发生的概率也始终相同。

Ace2

答案是 e - 1 = 约 1.7182818...

[剧透=解决方案]

平均而言，第一盏灯泡需要一天的时间才能亮起来。

从那时开始，平均需要半天时间才能发生下一个重大事件，要么是新灯泡亮了，要么是第一个灯泡烧坏了。我们将等待时间加到半天，这样就得到了 1 + (1/2) = 1.5 天。

第二个事件是打开第二个灯泡的概率是1/2。在这种情况下，距离下一个重要事件（前两个灯泡烧坏或打开新灯泡）有1/3天的等待时间。因此，将1/2（发生到这一步的概率）乘以1/3，等于1/6，加到等待时间上。这样，我们得到的不是1.5 + 1/6 = 5/3 = 1.66667天。

第三个重要事件是第三个灯泡亮起的概率为 (1/2)*(1/3) = 1/6。在这种情况下，距离下一个重要事件（前三个灯泡烧坏或新灯泡亮起）有 1/4 天的等待时间。因此，将 1/6（发生到这一步的概率）乘以 1/4，等于 1/24，加到等待时间上。这样，我们得到的不是 5/3 + 1/24 = 41/24 = 1.7083 天。

按照这种模式，答案是 (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

常识应该是 e = (1/0!) + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

唯一的区别是我们的答案少了 1/0! 这个因子。因此，答案是 e - 1/0! = e - 1 = 约 1.7182818……

[剧透]

我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。

平均而言，一个人必须玩多少场红心大战*才能看到自己手中的全部 52 张牌？

*：红心大战使用一副52张牌的牌组进行游戏。每手牌由13张牌组成。

anonymous

要看完整 52 张牌，平均需要 16.41217418 手牌。

[剧透=解决方案]

我使用 Excel 中的马尔可夫链来解决这个问题。下表显示了在 4 到 100 手牌中看到全部 52 张牌的概率。左列显示牌局数。中间列显示玩家在 4 到 100 手牌中恰好看到第 52 张牌的概率。右列显示玩家在 4 到 100 手牌中恰好看到第 52 张牌的概率。例如，恰好 20 手牌的概率为 4.64%，20 手牌或更少手牌的概率为 84.63%。

红心问题

手可能性
精确的
数字		可能性
通过这个
数字
4 0.0000000000 0.0000000000
5 0.0000000002 0.0000000002
6 0.0000007599 0.0000007601
7 0.0000746722 0.0000754323
8 0.0012814367 0.0013568690
9 0.0078648712 0.0092217402
10 0.0250926475 0.0343143878
11 0.0519205664 0.0862349541
12 0.0800617820 0.1662967361
十三0.1007166199 0.2670133561
14 0.1098088628 0.3768222189
15 0.1081357062 0.4849579251
16 0.0989810156 0.5839389408
17 0.0859323992 0.6698713400
18 0.0717845305 0.7416558705
19 0.0582992717 0.7999551422
20 0.0463771514 0.8463322937
21 0.0363346393 0.8826669329
22 0.0281478762 0.9108148092
23 0.0216247308 0.9324395399
24 0.0165110023 0.9489505422
二十五0.0125489118 0.9614994539
二十六0.0095051901 0.9710046441
二十七0.0071815343 0.9781861784
二十八0.0054157295 0.9836019079
二十九0.0040783935 0.9876803013
三十0.0030680973 0.9907483986
31 0.0023062828 0.9930546814
三十二0.0017326282 0.9947873096
33 0.0013011028 0.9960884124
三十四0.0009767397 0.9970651521
三十五0.0007330651 0.9977982171
三十六0.0005500841 0.9983483012
三十七0.0004127226 0.9987610238
三十八0.0003096311 0.9990706549
三十九0.0002322731 0.9993029280
40 0.0001742327 0.9994771607
41 0.0001306901 0.9996078508
四十二0.0000980263 0.9997058771
43 0.0000735246 0.9997794017
四十四0.0000551461 0.9998345478
45 0.0000413611 0.9998759089
46 0.0000310217 0.9999069306
四十七0.0000232667 0.9999301974
四十八0.0000174503 0.9999476477
49 0.0000130879 0.9999607356
50 0.0000098160 0.9999705516
51 0.0000073620 0.9999779136
52 0.0000055216 0.9999834352
53 0.0000041412 0.9999875764
54 0.0000031059 0.9999906823
55 0.0000023294 0.9999930117
56 0.0000017471 0.9999947588
57 0.0000013103 0.9999960691
58 0.0000009827 0.9999970518
59 0.0000007370 0.9999977889
60 0.0000005528 0.9999983416
61 0.0000004146 0.9999987562
62 0.0000003109 0.9999990672
63 0.0000002332 0.9999993004
64 0.0000001749 0.9999994753
65 0.0000001312 0.9999996065
66 0.0000000984 0.9999997048
67 0.0000000738 0.9999997786
68 0.0000000553 0.9999998340
69 0.0000000415 0.9999998755
70 0.0000000311 0.9999999066
71 0.0000000233 0.9999999300
72 0.0000000175 0.9999999475
73 0.0000000131 0.9999999606
74 0.0000000098 0.9999999705
75 0.0000000074 0.9999999778
76 0.0000000055 0.9999999834
77 0.0000000042 0.9999999875
78 0.0000000031 0.9999999907
79 0.0000000023 0.9999999930
80 0.0000000018 0.9999999947
81 0.0000000013 0.9999999961
82 0.0000000010 0.9999999970
83 0.0000000007 0.9999999978
84 0.0000000006 0.9999999983
85 0.0000000004 0.9999999988
86 0.0000000003 0.9999999991
87 0.0000000002 0.9999999993
88 0.0000000002 0.9999999995
89 0.0000000001 0.9999999996
90 0.0000000001 0.9999999997
91 0.0000000001 0.9999999998
92 0.0000000001 0.9999999998
93 0.0000000000 0.9999999999
94 0.0000000000 0.9999999999
95 0.0000000000 0.9999999999
96 0.0000000000 0.9999999999
97 0.0000000000 1.0000000000
98 0.0000000000 1.0000000000
99 0.0000000000 1.0000000000
100 0.0000000000 1.0000000000
[剧透]

加州内华达州的赌场里有一款古老的电子二十一点游戏，规则如下：

  • 赢钱（二十一点除外）赔率为 3 比 2（或 1 比 2）
  • 二十一点赔率为 6 比 1（或 5 比 1）
  • 单层
  • 庄家在软 17 点停牌
  • 任何最初提供的两张底牌都加倍
  • 允许拆分
  • 分牌后加倍
  • 无需重新拆分
  • 不投降

Rosebud

有意思。我假设如果玩家加倍下注并获胜，他仍然只能获得总赌注金额的 1 比 2 的赔付。

首先，这些规则的基本策略如下：

  • 硬牌：绝不加倍。其他方面，与常规基本策略类似，但12对3、16对10时停牌。
  • 软牌：切勿加倍。如果要软牌17或以下，或者软牌18对9，则停牌。否则，停牌。
  • 对子：只有当牌面是 6 到 8 时，才用 8 来分牌。一定要打出两张 A。否则，请遵循硬总点数策略。

根据这些规则和策略，我获得了 7.88% 的庄家优势。

如果玩家在掷出七点之前必须两次获得一个点数才能赢得掷骰子的通过线赌注，那么这会增加多少赌场优势？

Gary

这项可怕的规则将使赌场优势从 1.41% 增加到 33.26%。