请问巫师 #330
在一家老式西部酒吧里，一场关于纸牌游戏的争吵逐渐升级为附近所有的牛仔都拔出枪互相射击。
当硝烟最终散去时，90%的牛仔腿部中弹，85%的牛仔手臂中弹，80%的牛仔腹部中弹，75%的牛仔头部中弹。令人惊讶的是，只有四种伤势都达到的牛仔在这场激烈的枪战中阵亡。
最终被安葬的牛仔的最小可能百分比是多少？
[剧透=向导解决方案]
首先，向 90% 的牛仔的腿部开枪。
接下来，射击手臂上剩下的10%。你还有75%的子弹可以射击手臂，所以从那些已经中过腿的子弹中抽取。
所以，我们现在处于：
仅腿部 15% (90% - 75%)
仅武装 10%
两者均为 75%
都不是 0%
总腿长：90%
总臂长：85%
接下来，我们来看看腹部受伤的情况（80%）。拍摄那 25% 的受伤者，他们腹部只有一处受伤。我们还有 80% - 25% = 55% 的受伤者可以拍摄。我们会从腹部两处受伤的人员中抽取这 55%。所以现在我们得出：
腿和内脏 15%
手臂和内脏 10%
腿部和手臂 20% (75% - 55%)
三者皆有 55%
一次受伤 0%
零伤害 0%
最后，考虑头部受伤的75%。首先，射击恰好两次受伤的45%。我们还剩30%，所以从三次受伤的55%中抽取。这样就剩下：
头、腿和内脏 15%
头部、手臂和内脏 10%
头部、腿部和手臂 20%
腿部、手臂和肠道：25% (55% - 30%)
全部四个 30%
零伤害 0%
一次受伤 0%
两次受伤 0%
[剧透=CharliePatrick 解决方案]
假设有20个牛仔。我们选择这个数字是因为所有涉及的概率都能被5%整除，而20的5%等于1。
把他们排成一排。然后，从左边开始，射杀其中90%的人，也就是18人，射中他们的腿部。然后画一个图表，上面一行写牛仔的编号，左边一列写每个人的受伤总数，如下图所示。
| 受伤 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 十三 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | ||
| 2 | ||||||||||||||||||||
| 3 | ||||||||||||||||||||
| 4 | ||||||||||||||||||||
| 全部的 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
接下来，你需要射中85%的子弹，也就是17发子弹击中手臂。从两个腿部没有中弹的牛仔开始。你还剩15发子弹。回到左边的牛仔，沿着这一排向下移动，射中腿部的子弹总数达到15发。你的伤害卡应该是这样的：
| 受伤 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 十三 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 一个 | 一个 |
| 2 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | |||||
| 3 | ||||||||||||||||||||
| 4 | ||||||||||||||||||||
| 全部的 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
接下来，你需要射击 80%，也就是腹部 16 发子弹。从五个只受过一次伤的牛仔开始。你还有 11 发子弹要打。回到左边的牛仔，沿着这一排向下移动，总共射击 11 发已经受过两次伤的牛仔。你的伤势卡应该是这样的：
| 受伤 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 十三 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 一个 | 一个 |
| 2 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 |
| 3 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | |||||||||
| 4 | ||||||||||||||||||||
| 全部的 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
接下来，你需要射击75%，也就是头部15个。从9个只被射中两次的牛仔开始。你还有6个牛仔需要射击。回到左边的牛仔，沿着这一排向下移动，总共射击6个已经被射中三次的牛仔。你的伤害卡应该是这样的：
| 受伤 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 十三 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 左 | 一个 | 一个 |
| 2 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 一个 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 |
| 3 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 格 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 |
| 4 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | 哈 | ||||||||||||||
| 全部的 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
可以看到，6名牛仔被枪击四次，14名牛仔被枪击三次。因此，最多只能受三次伤的比例是14/20 = 70%。
对于一般情况，如果四个概率分别是 a、b、c 和 d，那么可以存活的最大比率是 1-(a+b+c+d)，只要 a+b+c+d >=3 且 a+b+c+d <=4。
我要感谢并赞扬维加斯巫师论坛成员 CharliePatrick 提供的解决方案。
[/spoiler]从这篇文章开始，这个问题就在我的论坛中被提出并讨论过。
一位赌场荷官正在研究一种新的三张牌扑克游戏。她从一副标准牌中取出所有人头牌，并彻底洗牌。然后，她给玩家1发了3张牌，给玩家2发了3张牌，给玩家3发了3张牌，最后给玩家4发了3张牌。四手牌中都包含顺子（任意花色的JQK）的概率是多少？
[剧透=解决方案]
每次发牌给一位玩家。第一位玩家拿到每种等级的牌的概率为 4^3/combin(12,3) = 64/220。
假设第一个玩家拿到顺子，那么牌堆里每个点数的牌就剩下三张了。第二个玩家拿到每个点数一张的概率是 3^3/combin(9,3) = 27/84。
假设前两位玩家拿到顺子，那么牌堆里每种点数的牌就剩下两张了。那么第三位玩家拿到每种点数各一张的概率是 2^3/combin(6,3) = 8/20。
假设前三名玩家拿到了顺子，那么牌堆里就剩下一张牌，每张牌都剩一张。这三张牌显然组成了顺子。
因此，四名玩家全部拿到顺子的概率为 (64/220)*(27/84)*(8/20)*1 = 216/5775 = 72/1925 = 3.74%。
[/spoiler]这个问题是在我在 Wizard of Vegas 的论坛上提出并讨论的，从这篇文章开始。
现在你已经分析了Oscar's Grind 、 Labouchere和斐波那契投注系统。哪一个系统总体上能提供最高的概率来实现你的获胜目标？
假设每个系统都基于百家乐中的玩家投注。假设我们的Oscar's Grind和Labouchere投注系统的资金是现有资金的50倍。斐波那契数列（斐波那契数列为1、2、3、5、8、13和21的和）的资金是现有资金的53倍。
以下是每种方法的成功概率：
- 拉布谢尔：97.53%
- 奥斯卡的磨砺：97.69%
- 斐波那契：97.93%
如果我一直说“所有投注系统都同样没用”，你可能会疑惑，为什么它们会有所不同。原因是我用“以总输钱数与总投注金额之比衡量”来限定这个说法。斐波那契投注系统的成功概率最高，因为玩家平均投注额较小。其他两种投注系统的平均投注额较大，这更有可能消耗玩家的资金。拉布谢尔投注系统的成功概率最低，但投注额最高，这让玩家可以更长时间地享受游戏体验。总体而言，以下是每种投注系统的平均投注额与获胜目标的比率：
- 拉布谢尔：20.95
- 奥斯卡的磨砺：14.56
- 斐波那契数列：9.59
总而言之，你选择的投注系统应该取决于你的游戏目的。如果你想最大化你的成功概率，斐波那契数列是不错的选择。如果你想玩得更久、投注更多，那么洛布切尔数列是最佳选择。
由于它们都基于相同的赌注，因此无论使用什么系统，您玩得越多，输掉的钱与赌注的钱之比总是会接近 1.235%，即玩家赌注的庄家优势。
一只青蛙可以跳一英尺或两英尺。青蛙多次跳跃，总共跳了十英尺，并且始终向前。考虑到跳跃距离和顺序，有多少种不同的方法可以做到这一点？
[剧透=解决方案]
- 如果青蛙只需要跳一只脚，显然只有一种方法。记住，青蛙不能超出目标。
- 如果青蛙需要跳两英尺，则有两种方法可以实现 - （1）1 英尺和 1 英尺，或（2）2 英尺。
如果青蛙需要跳三英尺，那么在最后一次跳跃之前，它可以离青蛙一英尺，也可以离青蛙两英尺。有一种方式可以离青蛙两英尺，如步骤1所示；还有两种方式可以离青蛙一英尺，如步骤2所示。因此，跳三英尺有三种方式。这也很容易验证：(1) 1+1+1，(2) 1+2，(3) 2+1。
如果青蛙需要跳四英尺，那么在最后一次跳跃之前，它可以离青蛙两英尺或三英尺远。如步骤2所示，有两种方法可以离青蛙两英尺远，如步骤3所示，有三种方法可以离青蛙一英尺远。因此，跳四英尺远的方法有五种。这也很容易验证：(1) 1+1+1+1，(2) 1+1+2，(3) 1+2+1，(4) 2+1+1，(5) 2+2。
如果青蛙需要跳5英尺，那么它在最后一次跳跃前可以距离目标3英尺或4英尺。距离目标2英尺有3种方法，如步骤3所示；距离目标1英尺有5种方法，如步骤4所示。因此，跳5英尺有3+5=8种方法。这也很容易验证：(1) 1+1+1+1+1，(2) 1+1+1+2，(3) 1+1+2+1，(4) 1+2+1+1，(5) 2+1+1+1，(6) 2+2+1，(7) 2+1+2，(8) 1+2+2。
你开始看出规律了吗？这就是斐波那契数列。按照同样的逻辑，青蛙一共可以跳出10英尺，一共有89种方法。