请问巫师 #328
如果您掷一个骰子 20 次，那么至少一次击中所有六面的概率是多少？
[剧透=解决方案]
答案可以近似表示为 1 - (prob(没有 1) + prob(没有 2) + ... + prob(没有 6)) = 1 - 6*(5/6)^20 = apx. 0.84349568。
然而，这会导致双倍减去两种不同面从未掷出的情况。从六种面中选择两种面，一共有(6,2)=15种方法。任意两种给定面从未掷出的概率是(4/6)^20。我们需要将这些值加到概率中，因为它们在上一步中被减去了两次。所以，现在我们得到的结果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 = 约 0.84800661。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
然而，如果任何一组从未掷出的三面在第一步中被三次减去，在第二步中被三次加去，我们需要将它们减去，因为六面中并非所有面都掷出了。从六面中选择三面共有 combin(6,3) = 20 种方法。任何特定的三面从未掷出的概率是 (3/6)^20。所以，现在我们得到的结果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20= 约 0.847987537。
然而，如果任何一组从未掷出的四面在第一步中被减去四倍，在第二步中被加去四倍，在第三步中被减去四倍，我们需要将它们加回去，因为每个这样的状态已经被减去了两次。从六面中选择四面，共有 combin(6,4) = 15 种方法。任何特定的四面从未掷出的概率是 (2/6)^20。所以，现在我们得到的结果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 = 约 0.84798754089。
然而，如果20次掷出的点数都相同，那么第一步就应该减去五倍，再加去五倍，第三步再减去五倍，第四步再加去五倍。我们需要把这些点数减掉。所以，现在我们得到的结果是：1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 - 6*(1/6)^20 = 约 0.84798754089。
所以答案是 1-6*(5/6)^20+COMBIN(6,4)*(4/6)^20-COMBIN(6,3)*(3/6)^20+COMBIN(6,2)*(2/6)^20-6*(1/6)^20 = 约 0.84798754089。[/剧透]
一个标识牌上有十个灯泡插座，每个插座都装有一个灯泡。每个插座都安装不同尺寸的灯泡。除了每个插座中现有的灯泡外，每个插座还有一个备用灯泡。每个灯泡的寿命呈指数分布*，平均寿命为一天。一旦一个灯泡坏了，如果该插座还有备用灯泡，备用灯泡就会立即更换。
预计最后一个灯泡烧坏的时间是多久？
一位赌场荷官正在研究一种新的三张牌扑克游戏。她从一副标准牌中取出所有人头牌，并彻底洗牌。然后，她给玩家1发了3张牌，给玩家2发了3张牌，给玩家3发了3张牌，最后给玩家4发了3张牌。四手牌中都包含顺子（任意花色的JQK）的概率是多少？
[剧透=解决方案]
第一手牌是AKQ的概率是1*(8/11)*(4/10) = 29.09%。
假设第一手牌已经是 AKQ，那么第二手牌是 AKQ 的概率等于 1*(6/8)*(3/7) = 32.14%。
假设第一和第二手牌都是 AKQ，那么第三手牌是 AKQ 的概率等于 1*(4/5)*(2/4) = 40.00%
由于前三手牌都是AKQ，所以剩下的牌一定是AKQ。因此，概率是上述三个概率的乘积，即216/5775 = 约0.037402597。
[/spoiler]我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
我在 6,000 次体育投注中获利，投注 11 次，赢 10 次。假设每次投注的获胜概率为 50%，那么实现这一目标的概率是多少？
您的预期投注额将为 6000/22 = 272.73。
6000 次投注的标准差为 sqrt(6000)*0.954545 = 73.93877。
因此，您的业绩比预期高出 272.73/73.94 = 3.688556 个标准差。使用高斯曲线，高出这么多或更多标准差的概率约为 0.000112765 = 约 8868 分之一。