请问巫师 #322
我坐在一局德州扑克桌前，牌局进行时，高手拿到了同花顺。桌上另外两位玩家说，这是连续第三张同花顺。这概率是多少？
在一场10人参与的德州扑克游戏中，假设无人弃牌，那么高手牌为顺子或同花大顺的概率是350.14分之一。三局中有三局出现这种情况的概率是42,926,491分之一。
然而，那张牌桌可能已经玩了好几个小时了。或许更现实的问题是，这种情况在一天中至少发生一次的概率是多少。假设整整24小时都在玩，每小时24手牌，那么这个问题的答案是59,621分之一。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
假设策略正确，在终极德州扑克中，如果玩家加注4倍，获胜的概率是多少？我记录了96手4倍牌局。不算平局，我赢了66手，输了30手。这与预期相比如何？
假设 4 倍加注策略正确，则在 4 倍加注的情况下，每个结果的概率为：
- 胜率：58.82%
- 亏损：38.47%
- 平局：2.72%
如果排除平局因素，胜率是60.46%。在96手牌中，4倍胜的预期次数为58.04次。因此，66次胜率略高于预期，但幅度并不显著。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
阿克塞尔和鲍勃各自有一副52张的牌。两人都随机洗牌。然后，他们同时从每副牌中翻出一张牌。他们同时翻出同一张牌至少一次的概率是多少？
答案很容易估算为 1-(51/52) 52 = 0.63568648。然而，估算在智力上实在难以令人满意。所以，让我们来求一个精确的解吧！
步骤 1：首先，考虑第二副牌的排序方式数，其中第一张牌是 1。答案是排序其他 51 张牌的方式数，即 51！= 1551118753287382280224243016469303211063259720016986112000000000000。
任何牌都能匹配第一副牌，所以我们必须对所有 52 张牌都进行同样的操作。这样一来，就有 52*51! = 52! 种组合，其中至少有一张牌匹配。
步骤 2：然而，步骤 1 会重复计算两张牌匹配的所有情况。例如，如果前两张牌是 1 和 2，那么我们需要将其他牌的 50! 种排列方式计算两次，第一次将 1 作为第一张牌，第二次将 2 作为第二张牌。从 52 张牌中选择 2 张牌的方式数为 combin(52,2) = 1326。对于每两张牌的组合，其他牌的排列方式有 50! = 3041409320171337804361260816606476884437764156896051200000000000000 种。因此，对于步骤 2，我们需要减去 combin(52,2)*50! = (52*51/2!)*50! = 52!/2! 种组合。
步骤 3：接下来，考虑随机牌堆中前三张牌的顺序为 1、2 和 3 的情况。其余 49 张牌有 49! 种排序方法。在初始步骤中，我们会数三次，以找出至少一张匹配的牌。然后，在第二步中，我们会减去所有 combin(3,2)=3 种从这三张牌中选择 2 张的方法。因此，这种情况会被计算 3-3=0 次，因此我们需要将它们加回去。有 combin(52,3) 种选择至少 3 张匹配牌的情况。因此，我们需要重新添加 combin(52,3)*49! = 52*51*50*49!/3! = 52!/3! 种组合。
步骤 4：接下来，考虑随机牌堆中前四张牌的顺序为 1、2、3 和 4 的情况。其余 48 张牌有 48! 种排序方法。在初始计数至少一张匹配牌的步骤中，我们需要数四次。然后，在步骤 2 中，我们需要减去所有 combin(4,2)=6 种从这四张牌中选择两张的方法。然后，我们需要加上所有 combin(4,3)=4 种从这四张牌中选择三张的方法。因此，每种情况都有 4-6+4=2 种计数方法。因此，我们需要减去其中一种计数方法，使每种情况都只计算一次。共有 combin(52,4)*48! = 52*51*50*49*48!/4! = 52!/4! 种需要加回去的情况。
我们将继续这样做，交替进行加法和减法来纠正重复计算。
最后，随机牌堆中至少有一张牌与有序牌堆匹配的情况数量 = combin(52,1)*51! - combin(52,2)*50! + combin(52,3)*49! - combin(52,4)*48! ... - combin(52,52)*1! = 52!/1! - 52!/2! + 52!/3! - 52!/4! ... - 52!/52! = x = 333239808909468890675694068318655265019682314241643033726180828783。
共有 52 种方法可以排列 52 张牌！= y = 5271776154963652194226185415451226599692124538619822080000000000000 种方法可以排列 52 张牌。
因此，答案是 x/y = 0.6321205588285576784044762298
没有匹配的概率是 1-(x/y) = 0.3678794411714423215955237702。
如果这个数字看起来很熟悉，那就对了。1/e = 0.3678794411714423215955237702。
因此，答案可以非常接近地估计为 1-(1/e)。
致谢
数学计算是在Pari/GP中进行的
这个问题已在我的Wizard of Vegas论坛中提出并讨论过。
在您网站上名为宾果模式概率(PDF) 的文档中，您指出，假设游戏中有 300 张牌，那么找到获胜者的预期呼叫次数如下：
- 四角球：8.43
- 小钻石：11.833
两种模式都只需要四个标记，并且只有一种获胜方式。为什么获胜所需的球数不同？
这个问题很难解释。首先，我想说的是，单张牌游戏中的预期叫牌次数是一样的。然而，多张牌游戏中存在相关效应。
这个问题很难快速回答，但如果硬要回答，那是因为四角图案需要球集中在B列和O列。而小菱形图案则更容易在B、N和O列上更均匀地分布球。
让我们把游戏简化成无限多张牌，并且每次抽球都会放回原位。以下是两种游戏中获胜所需的球数：
- 四个角：2.5+2.5+((1/2)*10+(1/2)*(2.5+5)) = 13.75
- 小钻石：=(5/3)+((1/3)*((5/3)+(5/2)+5)+(2/3)*((5/2)+((1/2)*((5/2)+5)+(1/2)*(5+5)))) = 12 + 2/9
这表明四个角球多花了 1.53 个球。
根据正常的宾果游戏规则，通过模拟运行此程序，假设有无限张牌，结果如下：
- 四角：12.8289
- 钻石：11.3645
这次相差 1.46 个球。
我希望展示的是，如果标记分布在更多列上，图案更容易被覆盖。因此，我认为在单排宾果游戏中，你通常会看到获胜的宾果图案是水平的。
这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛中讨论过的。
上图中，边长为1的正方形中有一个四分之一圆和两个半圆。请问红色区域的面积是多少？
点击以下按钮查看我的答案。
[spoiler=答案](3/8)*asin(4/5)-(1/4)=~0.0977357067506052[/剧透]单击以下按钮查看我的解决方案。
[剧透=解决方案]这是我的解决方案的链接。（PDF）
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
致谢：我要感谢Mind Your Decisions提供这个数学谜题。