请问巫师 #320
你好，巫师。玩10万手21点，我预计会输10手或以上吗？
首先，我们必须计算出任何一手牌的获胜概率，这取决于规则，而这些规则在你最初的问题中并没有明确说明。在我关于二十一点方差的页面上，我给出了在“自由脱衣舞规则”下，净赢、平局和净输的概率。这些规则包括：六副牌，二十一点赔率为3比2，庄家在软17点停牌，分牌后允许加倍，允许投降，允许再次分牌。根据这些规则，以下是必要的概率：
- 胜率：42.43%
- 推动：8.48%
- 亏损：49.09%
你的问题也没有说明如何处理“推牌”。我假设“推牌”算作一手牌，但不会推进或重置一系列的输牌。除去“推牌”，在已结算的赌注下，赢和输的概率如下：
- 胜率：46.36%
- 亏损：53.64%
也就是说，对于这样的问题，一个很好的近似方法是：
n × l × w m
在哪里：
n = 玩过的牌数
l = 损失概率
w = 获胜概率
m = 连续输牌的最少手数
在这种情况下，预期亏损次数为 100000 × 46.36% × 63.64% (10) = 91.4。换句话说，平均每 1,094 手牌至少会出现 10 手连败。随机模拟结果也证实了这一点。
说到这儿，我敢肯定，我那些追求完美的读者们正准备给我发邮件，对马尔可夫链进行一番智力上的鞭策。我想强调一下，我的公式只是一个估算，而且实际上相当不错。
一个装满水的100升水箱，里面装有10公斤盐。如果我们每分钟加入10升纯净水，同时每分钟排出10升溶液，30分钟后水箱中会剩下多少盐？
让我们首先定义几个变量：
- s = 罐中盐的重量
- t = 将盐倒入水箱后的分钟数
已知每分钟流失10%的盐分。用数学语言来表达就是：
ds/dt = (-10/100) × s
让我们重新排列一下：
ds = (-10/100) × s dt
-10/s ds = dt
整合双方：
（1）-10×ln(s) = t + c
接下来，我们来求出那个令人头疼的积分常数。为了求出这个常数，我们已知当 t = 0 时 s = 10。将其代入上面的公式 (1) 中，我们得到：
-10 × ln(10) = 0 + c
所以 c = -10×ln(10)
将其代入公式 (1) 中，我们得到：
（2）-10×ln(s) = t -10×ln(10)
问题是，t=30 时，水箱里有多少盐。求解 t=30 时的 s：
-10×ln(s) = 30 -10×ln(10)。接下来将两边同时除以 -10……
ln(s) = -3 + ln(10)
s = exp(-3 + ln(10))
s = exp(-3) × exp(ln(10))
s = 指数(-3) × 10
s =~ 0.4979 公斤盐。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。
我经常思考，当庄家有10点时，分牌A的统计优势究竟有多大。等额下注真的明智吗？等额下注是硬性规定吗？这个问题的前提是假设玩家不算牌。
数学永远不会说谎。根据我的二十一点附录1 ，以下是四种玩法（A、A 和 10）的预期值，假设牌堆无限大，庄家在软 17 点停牌，并且不允许重新分牌 A。
- 立场 = -0.540430
- 命中 = -0.070002
- 双倍 = -0.514028
- 拆分 = 0.179689
所以，这种情况并不理想，分牌比初始下注的金额大约高出 11%。如果允许再次分牌，那么胜算会更大。
加州彩票中有一种叫做“热点”的游戏。它涉及一个随机抽取的“靶心”球，号码范围从1到80。每天有300场游戏。在五天内，同一个热点号码在三天内在同一日的游戏中被抽出的概率是多少？例如，数字23在周一、周三和周五的134号游戏中被抽出（这个数字在圣经中有什么含义？）。
首先，我们来计算任意给定游戏号码，5天中恰好有3天出现相同号码的概率。答案是 COMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0.001523682。这是从5天中选出3个匹配日期的方式数乘以第二天和第三天与第一天匹配的概率乘以其他两天不匹配的概率。
因此，对于任何给定的比赛号码，5 天中不存在 3 场比赛的概率为 1 - 0.001523682 = 0.9984763。
300 天内不发生这种情况的概率是 0.9984763 300 = 63.29%。
因此，另一种可能性是，5 天中有 3 天至少有一个抽奖号码与相同的靶心号码匹配，其概率为 36.71%。
我在Wizard of Vegas论坛上提出并讨论了这个问题。