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请问巫师 #279

平均而言，在一场50/50的游戏中，需要多少次尝试才能连续输两次？连续输3次、4次、n次呢？

JyBrd0403

我们先来解决两次损失的情况。

令 x 为从开始或每次获胜后未来翻转的预期次数。
令 y 为一次失败后未来抛掷的预期次数。

我们可以建立以下两个方程：

（1）x = 1 + .5x + .5y

一代表玩家必须抛硬币来改变状态。获胜的概率为 50%，保持在状态 x。失败的概率为 50%，进入状态 y。

（2）y = 1 + .5x

再次从状态 y 开始，1 表示在该点进行翻转。获胜的概率为 50%，返回状态 x。失败的概率为 50%，游戏结束，无需再次翻转，因此隐含的概率为 0.5*0。

将两个方程乘以 2 并重新排序可得：
（3）x - y = 2
（4）-x + 2y = 2

将两个方程相加可得：

（5）y=4

将其代入 (1) 至 (4) 中的任何方程，得到 x=6。

对于三损失的情况，将三种可能的状态定义为：

令 x 为从开始或每次获胜后未来翻转的预期次数。
令 y 为一次失败后未来抛掷的预期次数。
令 z 为两次失败后未来抛掷的预期次数。

初始方程为：

x = 1 + .5x + .5y
y = 1 + .5x + .5z
z = 1 + .5x

我们可以将初始状态设置为矩阵形式：

0.5 -0.5 0 1
-0.5 1 -0.5 1
-0.5 0 1 1

如果你还记得矩阵代数，我们可以用行列式（A）/行列式（B）来解 x，其中

A =

1 -0.5 0
1 1 -0.5
1 0 1

B =

0.5 -0.5 0
-0.5 1 -0.5
-0.5 0 1
0.5 -0.5 0
-0.5 1 -0.5
-0.5 0 1

Excel 有一个方便的行列式函数：=mdeterm(range)。在本例中，x = mdeterm(矩阵 A)/mdeterm(矩阵 B) = 1.75/0.125 = 14。

我们可以使用递归来处理更多连续失败的情况。假设是 4 次。根据上文所述，平均需要抛硬币 14 次才能连续失败 3 次。此时，硬币将再次抛出，重新开始的概率为 50%。因此：

x = 14 + 1 + x/2
x/2 = 15
x = 30

换句话说，在前一个答案上加一，然后加倍。

不难看出其中的规律。连续 n 次失败的期望抛掷次数是 2 n+1 -2。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛上提出并讨论的。

在您的“问问巫师”专栏 #277中，有人问您最早的赌场游戏专利是什么。您的回答提到了加勒比梭哈扑克。这并非第一个获得授权的赌场游戏专利，尽管它可能是第一个成功游戏的专利。我查了谷歌专利（信不信由你，但美国专利商标局的网站没有1976年之前的专利），我发现最早的赌场类游戏专利是1898年颁发的一项游戏设备专利。

Jon M. 来自 Philadelphia, PA

谢谢。我不知道这是什么专利，不过很有趣的是，发明赌场游戏的生意可以追溯到那么久以前。

多伊尔·布伦森（Doyle Brunson）在1976年和1977年两次赢得世界扑克锦标赛主赛事冠军。他每次都拿着10-2的底牌，并且两次都在河牌圈拿到了葫芦。这到底有多大的概率呢？

Jonathan F.

给定两张不同点数的牌，凑成葫芦的概率是1/121.6。河牌凑成葫芦的概率是1/207。

在两次河牌圈中拿到这种牌的概率是 43,006 分之一。

如果起始牌是相同的两张牌（仅在等级上），则发生这种情况的概率为 3,564,161 分之一。

两次都恰好出现 10-2 的概率是 295,379,826 分之一。

如果扑克游戏中期有玩家死亡，会发生什么情况？

P90

我咨询了一位前内华达州博彩监管人员兼赌场总裁。他说，这种情况会被视为“全押”的情况，就像网络扑克中意外断线的处理方式一样。

换句话说，玩家死亡时，中间的筹码会组成一个边池。之后，任何额外的下注都会被放入一个单独的池子中。如果死亡玩家的牌型最高，那么他将赢得边池。无论输赢，他在该局牌结束后留在桌上的所有筹码都将作为死者的遗产。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛上提出并讨论的。

在牌九牌桌上，我可以请荷官检查我的出牌方式，看看我是否按照赌场的规则出牌吗？按照赌场规则出牌的频率是多少？

soulhunt79

只要你不拖慢游戏节奏，尤其是在牌桌上有大注玩家的情况下，你通常可以演示一下如何摆牌，然后问荷官：“你会这样做吗？” 这也取决于荷官的耐心程度，以及/或者其他玩家是否反对。我认识的一位荷官不喜欢被问到这个问题，因为她说，当她不得不摆自己的牌时，这个问题让她感到困惑。对于任何高难度的游戏，如果你是新手，我建议你第一次就尝试自己摆一张牌，这样就不会因为问太多问题而给其他玩家带来不便。

关于第二个问题，如果玩家违背了传统的庄家玩法，庄家玩法的正确率将达到80.2%。剩下的19.8%也是牌九如此难以精通的原因之一。

这个问题是在我的“拉斯维加斯巫师”论坛上提出并讨论的。

在骰子战争中，给定进攻和防守骰子的数量，成功的概率是多少？作为进攻方，哪个比例的预期收益最大？

odiousgambit

对于不熟悉游戏的人来说，进攻方和防守方都会根据战斗中各自拥有的军队数量，掷1到8个骰子。点数较高的一方获胜。如果平局，则防守方获胜。如果进攻方失败，他仍然可以在发起进攻的领土上保留一支军队。因此，他必须至少拥有两支军队才能进攻，这样如果他获胜，一支军队可以占领被征服的领土，另一支军队可以留在原地。

下表显示了根据所有 64 种骰子组合，攻击者获胜的概率。

攻击者获胜的概率

攻击者后卫
第1军2支军队3支军队4支军队5支军队6支军队7支军队8支军队
2 0.837963 0.443673 0.152006 0.035880 0.006105 0.000766 0.000071 0.000005
3 0.972994 0.778549 0.453575 0.191701 0.060713 0.014879 0.002890 0.000452
4 0.997299 0.939236 0.742831 0.459528 0.220442 0.083423 0.025450 0.006379
5 0.999850 0.987940 0.909347 0.718078 0.463654 0.242449 0.103626 0.036742
6 0.999996 0.998217 0.975300 0.883953 0.699616 0.466731 0.259984 0.121507
7 1.000000 0.999801 0.994663 0.961536 0.862377 0.685165 0.469139 0.274376
8 1.000000 0.999983 0.999069 0.989534 0.947731 0.843874 0.673456 0.471091

下表显示了攻击者的预期收益，定义为pr(攻击者获胜)*(防御者骰子)+pr(防御者获胜)*(攻击者骰子-1)。结果显示，最大的预期收益是以8点进攻，对手以5点进攻。

攻击者获胜的净收益

攻击者后卫
第1军2支军队3支军队4支军队5支军队6支军队7支军队8支军队
2 0.675926 0.331019 -0.391976 -0.820600 -0.963370 -0.994638 -0.999432 -0.999955
3 0.918982 1.114196 0.267875 -0.849794 -1.575009 -1.880968 -1.973990 -1.995480
4 0.989196 1.696180 1.456986 0.216696 -1.236464 -2.249193 -2.745500 -2.929831
5 0.999250 1.927640 2.365429 1.744624 0.172886 -1.575510 -2.860114 -3.559096
6 0.999976 1.987519 2.802400 2.955577 1.996160 0.134041 -1.880192 -3.420409
7 1.000000 1.998408 2.951967 3.615360 3.486147 2.221980 0.098807 -2.158736
8 1.000000 1.999847 2.990690 3.884874 4.372772 3.970362 2.428384 0.066365

你看过2012年1月23日的呆伯特漫画吗？你猜沃利当时玩的是牌九（骨牌）还是牌九扑克？

Michael M. 来自 Las Vegas

是的！我很喜欢。我觉得沃利玩的是瓷砖。我的理由如下：

  • 沃利看起来就像是那种在牌桌上常见的非亚洲玩家。
  • 呆伯特是科学派，通常非常注重使用正确的术语。把牌九扑克称为“牌九”既不准确，又很懒惰。我知道大多数人都这么做，但我对呆伯特的期望更高。
  • 在第二帧中，呆伯特说牌九“在几杯成人饮料下肚后就很难学会了”。请注意，他说的是“学”，而不是“玩”。牌九扑克其实并不难学。如果你懂扑克，那么不到一分钟就能轻松解释清楚。而骨牌则既难学又难玩。
  • 这幅漫画是在农历新年发布的。这可能是一个内部笑话。

万一斯科特·亚当斯 (Scott Adams) 读到这篇文章，我会很高兴得到一个明确的答案。

我在Wizard of Vegas论坛上讨论过这个问题。