请问巫师 #277

首先，值得重申的是，16对10的牌局是一手介于要牌和停牌之间的牌。如果允许投降，那么对于采用基本策略的玩家来说，这比要牌或停牌要好得多。否则，平均而言，要牌会稍微好一点。只需从八副牌的牌盒中取出一张小牌，就能改变停牌的赔率，因为少了一张小牌，剩下的大牌就更多了，要牌的风险也就更大了。这就是为什么我说，如果你的16点由三张或更多牌组成，你就应该停牌，因为一张三张16点通常会从牌盒中取出至少两张小牌。

其次，洗牌后的第一手牌，如果基本策略和算牌策略在如何玩这手牌上有所不同，则以基本策略为准。基本策略是根据观察到的具体牌型精心设计的，旨在考虑牌堆的具体构成。索引值表是一种更直观的工具，适用于所有牌盒。

在这种特殊情况下，算牌者可以选择要牌或停牌，这取决于他如何对真实点数进行舍入。如果他向下舍入，真实点数将为 -1，因此他要牌。如果他向上舍入，即舍入到最接近的整数，则真实点数将为 0，因此他停牌。只要我提到这一点，根据唐·施莱辛格 (Don Schlesinger) 的《黑杰克攻击》(Blackjack Attack)，舍入的首选方法是“向下取整”，即向下舍入，在本例中为 -1，因此玩家可以正确要牌。

另一个类似的情况是 15 对 10。83% 的时间（10+5 或 8+7，但不是 9+6），这会导致洗牌后第一手牌的运行计数为 -1，而投降的索引号为 0。向下舍入会导致玩家错误地击中，而投降是更好的选择。

底线是，洗牌后第一次做决定时，如果其他玩家没有其他牌，算牌者应该使用基本策略。之后，恢复使用索引号。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

我不知道。我认为可以肯定的是，现今最早的赌场游戏专利是加勒比梭哈扑克。在此之前可能还有其他游戏的专利，但最终没有成功。加勒比梭哈的专利提交于1988年4月18日，并于1989年6月6日获得授权。专利号为4,836,553 。

不是你问的，但当时赌场游戏专利的有效期为自颁发之日起17年，或自申请之日起20年，以较长者为准。1995年，专利期限延长至自申请之日起20年。就加勒比梭哈而言，其专利将于2008年到期。然而，我认为它仍然拥有有效的商标，这意味着赌场可以免费提供该游戏，但必须想出另一个未注册商标的名称。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

是的！押注抛硬币者手中朝上的一面。Persi Diaconis、Susan Holmes 和 Richard Montgomery 合著的学术论文《抛硬币的动态偏差》得出的结论是，硬币落地时朝上的概率为 51%。

这个问题是在我的同伴网站Wizard of Vegas的论坛中提出并讨论的。

要找到这类条纹问题的近乎精确的答案，我们需要用到矩阵代数。我在2010年6月4日的专栏中回答过一个类似但更简单的问题。如果你的矩阵代数还生疏，我建议你先看看那个问题。

步骤1：确定前5000手牌中出现0到6+张皇家牌的概率。假设皇家牌的概率为40000分之一。5000手牌中的预期皇家牌数为5000/40000 = 0.125。使用泊松估计，恰好出现r张皇家牌的概率为e ^-0.125 × 0.125 ^r / r!。这些概率如下：

步骤 2：假设剩余的 24,995,000 手牌有 7 种状态。对于每种状态，之前的 5,000 手牌可能出现 0、1、2、3、4 或 5 张皇家牌，或者玩家可能已经在 5,000 手牌中拿到了 6 张皇家牌，在这种情况下，成功了，并且无法被剥夺。每出现一手新牌，玩家的状态都可能发生以下三种情况之一：

1. 降低一级。如果5000局前打出的牌是皇家牌，现在被降级，而新出的牌不是皇家牌，就会发生这种情况。
2. 保持相同水平。如果5000场之前的牌局不是皇家牌，而新牌局也不是皇家牌，通常就会发生这种情况。如果5000场之前的牌局是皇家牌，而新牌局也是皇家牌，也会出现这种情况。
3. 升级一级。如果5000场游戏前玩的牌不是皇家牌，而新牌是皇家牌，就会发生这种情况。

步骤 3：制定额外游戏中每次状态变化的几率的转换矩阵。

第一行对应新一手牌开始前的0级。下一手牌晋级到1级的概率仅为40,000分之一。停留在0级的概率为39,999/40,000。

第二行对应新一手牌开始前的1级。下一手牌晋级到2级的概率，等于该手牌不丢皇家的概率与新一手牌拿到皇家的概率之积 = (4999/5000)×(1/40000) = 0.0000250。回到0级的概率，等于当前牌局丢皇家的概率与当前牌局没拿到皇家的概率之积 = (1/5000)×(39999/40000) = 0.0002000。保持不变的几率是 pr(无皇室成员退出) × pr(无新皇室成员) + pr(皇室成员退出) × pr(新皇室成员) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 0.9997750。

第2行到第6行的概率取决于过去5000手牌中皇家牌的数量。皇家牌越多，在新牌局中掉落一张皇家牌的概率就越大。设r为过去5000手牌中皇家牌的数量，p为出现新皇家牌的概率。

Pr(提升一级) = Pr(无皇室成员流失) × Pr(新皇室成员) = (1-(r/5000))× p。

Pr（保持在同一水平）= Pr（没有皇室成员流失）× Pr（没有新的皇室成员）+ Pr（皇室成员流失）× Pr（新的皇室成员）=（1-（r/5000））×（1-p）+（r/5000）×p。

Pr(降级) = Pr(皇室成员流失) × Pr(无新皇室成员) = (r/5000)× (1-p)。

第7行代表在5000手牌中拿到6张皇家牌，达到了成功的状态。一旦达到这一成就，就永远不会被剥夺，因此保持这种成功状态的几率是100%。

转换矩阵的行对应于新一手牌之前的等级，从最上面一行的 0 级开始。列对应于新一手牌之后的等级，从最左边一列的 0 级开始。矩阵中的数字部分对应于在一场游戏中从每个旧状态移动到每个新状态的概率。我们将其称为 T1 =

如果我们将这个转移矩阵乘以自身，就能得到连续两局游戏中每次状态变化的概率。我们将其称为 T2，表示两局游戏中的转移矩阵：

顺便说一下，在 Excel 中，要将两个大小相同的矩阵相乘，首先要选择新矩阵要放置的区域。然后使用公式 =MMULT(矩阵 1 的范围，矩阵 2 的范围)。最后按下 Ctrl-Shift-Enter 键。

如果我们将 T2 乘以自身，我们就会得到连续四场比赛中每次状态变化的概率，即 T4：

因此，继续重复这个加倍过程 24 次，直到达到 T-16,777,216：

如果再次翻倍，就会超出 T-24,995,500 的目标。所以现在我们需要仔细地乘以较小的转换矩阵，这些矩阵我们已经计算过了。你可以用 2 的幂来得到任何数字（二进制算术的乐趣！）。在这种情况下，T-24,995,500 = T-16,777,216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

说实话，为了简单起见并节省时间，你真的不需要费心计算最后四个乘法。它们只对应最后56手牌，而这56个乘法对最终结果产生影响的可能性微乎其微。我敢肯定，如果可以的话，我的许多完美主义读者会因为我这么说而把我打得落花流水。

步骤4：将5,000手牌后的初始状态乘以T-24,995,500。令步骤1中的S-0为：

因此 S-0 × T-24,995,500 =

底部单元格中的数字表示在 25,000,000 手牌中至少有一次在 5,000 手牌中出现六张皇家牌的概率。因此，概率为 7,336 分之一。

感谢 CrystalMath 对这个问题的帮助。